逆極限空間上的平均跟蹤性質(zhì)

汪 軼,付傳秀

(皖西學(xué)院 金融與數(shù)學(xué)學(xué)院,安徽 六安 237012)

一個(gè)對(duì)(X,f)稱(chēng)為動(dòng)力系統(tǒng),其中X是緊致度量空間,具有度量d,f:X→X是一個(gè)連續(xù)映射。跟蹤性質(zhì)與系統(tǒng)的穩(wěn)定性和混沌有著密切的關(guān)系,它在動(dòng)力系統(tǒng)的質(zhì)理論中起著重要作用[1,2]。因此,跟蹤性質(zhì)在動(dòng)力系統(tǒng)理論中具有重要意義,研究者們?cè)谟盟鉀Q不同的問(wèn)題中引入了各種跟蹤性質(zhì)[3-7]。其中Blank引入了平均跟蹤性質(zhì)[8],Gu引入了漸近平均跟蹤性質(zhì)并且被廣泛地研究[9]。M.Kulzycki 和 P.Oprocha深入地討論了幾乎specification性質(zhì)、漸近平均跟蹤性質(zhì)和平均跟蹤性質(zhì)之間的關(guān)系,得到幾乎specification性質(zhì)蘊(yùn)含漸進(jìn)平均跟蹤性質(zhì)。如果系統(tǒng)是滿的,則漸近平均跟蹤性質(zhì)蘊(yùn)含平均跟蹤性質(zhì)[5-7,10-19]。

1 定義與記號(hào)

回顧一些基本概念,并給出一些記號(hào)。

稱(chēng)為集合J的上半密度。

類(lèi)似地

稱(chēng)為集合J的下半密度。

(1)f的一個(gè)δ-偽軌,如果對(duì)所有i∈+有d(f(xi),xi+1)<δ;

(3)f的一個(gè)δ平均偽軌,如果存在N∈使得所有的n≥N和k∈+,均有

(4)f的一個(gè)漸近平均偽軌,如果

定義2 動(dòng)力系統(tǒng)(X,f) 有

2 逆極限系統(tǒng)的平均跟蹤性質(zhì)

引理2 設(shè)(X,f) 為具有度量d的動(dòng)力系統(tǒng),下面成立:

證明(1) 假設(shè)

令A(yù)={i∈+:d(fi(z),xi)<ε}, 那么由引理1,所以

此矛盾說(shuō)明 (1)成立。

(2) 令E={i∈+:d(fi(z),xi)<η}, 那么由引理1,所以

引理2證畢。

引理3[5]假設(shè)(X,f) 是一個(gè)鏈混合的動(dòng)力系統(tǒng),那么下面兩個(gè)條件是等價(jià)的:

(1)(X,f) 有平均跟蹤性質(zhì);

證明(?) 假設(shè)(X,f)是鏈混合的。對(duì)任意的ε>0, 取N∈使得由f的一致連續(xù)性,存在δ>0使得d(u,v)<δ推出對(duì)一切的 0≤i≤N,有

由引理2中的 (1),

因?yàn)?/p>

所以