挖掘“軸對稱”本質，建構知識體系

陳明子

在學習“軸對稱圖形”的過程中，有一道題目的解法引起了我的興趣。

原題呈現 如圖1，在四邊形ABCD中，AC平分∠BAD，∠ABC+∠ADC=180°。求證：BC=DC。

這個題目是在學習了“角平分線的性質”之后的練習中出現的，我想到利用“角平分線上任意一點到角兩邊的距離相等”這一性質添加輔助線，作CE⊥AB，CF⊥AD，得到CE=CF，進而可證△CEB[≌]△CFD，所以BC=DC。

但是，在老師評講這道題目的時候，我發現很多同學都和我的方法相同。因此，老師進一步啟發我們，讓我們再次觀察角的特征。我忽然想起來角也是軸對稱圖形，角的兩條邊關于角平分線對稱。我們過于關注“角平分線上任意一點到角兩邊的距離相等”，反而忽視了角的一般性，從這個角度想，我的思路就開闊多了。

證法二：如圖3，在AB上取AG=AD，可證△ADC[≌]△AGC，得到CD=CG，再由角的關系得到CG=CB，所以BC=DC。

有了上述題目的啟發，我在看幾何圖形時，就不會局限于定理的應用，而是會看到圖形的本質。我們不妨一起來試一試。

變式 在△ABC中，∠C=2∠B。

（1）如圖4，若AD平分∠BAC，求證：AB=AC+DC。

（2）如圖5，若AD是底邊上的高，求證：BC=AC+2DC。

（3）如圖6，若BC=2AC，求證：∠BAC=90°。

第（1）問中出現角平分線，如圖7，我們可以利用軸對稱性在AB上截取AE=AC，并連接DE（即作點C關于AD的對稱點）或延長AC到點F，使得AF=AB，并連接DF（即作點B關于AD的對稱點）。

第（2）問中出現了底邊上的高，如圖8，我們可以利用垂直平分線的性質，在BC上截取DE=CD，并連接AE（即作點C關于AD的對稱點）或延長BC到點F，使得DF=BD，并連接AF（即作點B關于AD的對稱點）。

第（3）問中出現了BC=2AC，要證明∠BAC=90°，即要證明∠B=30°，因此要采取的方法是利用等腰三角形的軸對稱性進行等角的轉換。如圖9，作射線AD交BC于點D，使得∠BAD=∠B。

通過對一道題的深入研究，我們才能透過現象看本質，從而解鎖這一類題。在以后的學習中，我還會發現更多的軸對稱圖形，想到這兒，我越發興奮，我要把我的“軸對稱”體系不斷地擴大！

教師點評：

軸對稱變換是非常重要的一種幾何變換，正如文中所提到的，很多同學往往只關注定理的應用，而忽略了“軸對稱”的本質。小作者借助一個題目，抓住“軸對稱”的本質進行深入研究，觸類旁通，收獲一類題，并體會到學習數學的樂趣，感悟數學之美！

（指導教師：張萬潔）