平方反比有心力場中的3個拋體包絡線及其證明

李忠相

(重慶市第一中學校 重慶 400030)

在幾何學里,一個曲線族的包絡線是跟該曲線族的每條線都至少一點相切的一條曲線.在很多物理問題中,也用到包絡線的概念.

比如,在均勻重力場中,空中某一定點以相同速率向各個方向拋出物體,如果只考慮重力,物體運動軌跡均為拋物線,所有這些拋物線的包絡線也是一條拋物線,如圖1所示.若拋體初速度大小為v0,重力加速度為g,將拋出點記為坐標原點,水平向右為x軸正方向,豎直向上為y軸正方向,包絡線的方程為

圖1 均勻重力場中拋體軌跡及其包絡線

(1)

這是大家熟知的結論,證明從略.下面介紹3個平方反比有心力場中的拋體包絡線,并給出簡潔的證明.

包絡線1：平方反比引力場中,從定點同速率向同一平面內不同方向拋出物體的橢圓軌跡的包絡線也為橢圓.

以地球(質量記為M、半徑為R,萬有引力常量為G)的引力場為例,在離地球表面h高度處的同一點以相同的速率u向各個方向拋出大量小物體,只要初始速率u不太大,這些小物體都繞地球做橢圓運動,這些橢圓軌跡的包絡線也是橢圓,如圖2所示.

圖2 平方反比引力場中橢圓的包絡線

證明:

易知,所有小物體具有相同的機械能,于是它們的軌跡具有相同的半長軸a,由橢圓軌跡的能量公式

(2)

(3)

小物體軌跡為橢圓要求初始速率u的范圍為

(4)

顯然,地心O為所有軌跡的一個公共焦點F1,若將拋出點記為A,由于拋出點是橢圓軌跡上的一點,它到兩焦點的距離之和為2a,所以另一個焦點F2與A的距離r為

r=2a-(R+h)

(5)

所有可能的F2點在紙平面內構成一個圓,如圖3中虛線圓所示.對于圓周上任意一個F2點對應的軌跡如圖3中實線橢圓.在軌跡上的任何一點P,到A點和到O(F1)點的距離之和有

圖3 軌跡分析圖

(6)

式中第一個小于等于是因為三角形的一邊小于另兩邊之和,當3段線段共線時取等于;第二個等于再次利用了橢圓上的點到兩焦點距離之和為2a.當P點在AF2延長線上時取等于.上式表明,任意一個軌跡上任意一點到兩個定點(A、O)的距離之和小于等于一個定值,也就是說所有軌跡上的所有點都在一個橢圓范圍之內,這個邊界橢圓就是所有軌跡的包絡線,A點和O點就是這個橢圓的焦點.對于任一特定的軌跡,AF2連線上的P就是剛好處于包絡上的點.于是可以寫出這個包絡線橢圓的半長軸a0、半焦距c0以及半短軸b0為

(7)

(8)

(9)

若以地心O為坐標原點,OA方向為y軸正方向,垂直于OA向右為x軸正方向,則包絡線的方程為

(10)

包絡線2：平方反比斥力場中,從定點同速率向同一平面內不同方向拋出物體的雙曲線軌跡的包絡線也為雙曲線.

以固定點電荷(電荷量記為 +Q)的靜電場為例,在離點電荷距離為d的同一點以相同的速率u向同一平面內各個方向發射質量為m、電荷量為+q的粒子,這些帶電粒子的軌跡均為雙曲線,這些雙曲線的包絡線也是雙曲線,如圖4所示.

圖4 平方反比斥力場中雙曲線的包絡線

證明：

易知,所有帶電粒子具有相同的能量,于是它們的軌跡具有相同的半實軸a,由雙曲線軌跡的能量公式

(11)

得

(12)

顯然,固定點電荷所在處為所有軌跡的一個公共焦點F1.如圖5所示.

圖5 平方反比斥力場中雙曲線的包絡線

將拋出點記為A,選擇其中任意一根雙曲線軌跡,過F1作軌跡的對稱軸即為雙曲線的實軸,實軸上存在另一個焦點F2,雙曲線上的點到兩焦點的距離之差為定值2a,則A點和F2之間的距離也為定值.即

(13)

所有可能的F2點在紙平面內構成一個圓,如圖5中虛線圓所示.在軌跡上的任何一點P,到F1點和到A點的距離之差有

2a-(d-2a)=4a-d

(14)

式中第一個大于等于是因為三角形的一邊小于另兩邊之和,當3段線段共線時取等于;第二個等于再次利用了雙曲線上的點到兩焦點距離之差為2a.當P點在AF2延長線上時取等于.上式表明,任意一個軌跡上任意一點到兩個定點(A、F1)的距離之差大于等于一個定值,也就是說所有軌跡上的所有點都在一個雙曲線的一支范圍之內,這個邊界雙曲線就是所有軌跡的包絡線,A點和F1點就是這個雙曲線的焦點.對于任一特定的軌跡,AF2連線上的P就是剛好處于包絡上的點.于是可以寫出這個包絡線雙曲線的半實軸a0、半焦距c0以及半虛軸b0為

(15)

(16)

(17)

若以地心F1為坐標原點,F1A方向為x軸正方向,垂直于F1A向上為y軸正方向,則包絡線的方程為

(18)

包絡線3：平方反比斥力場中,從過力心的同一平面內遠處同方向同速率不同瞄準距離入射物體的雙曲線軌跡的包絡線為拋物線.

以固定點電荷(電荷量記為 +Q)的靜電場為例,如圖6所示.

圖6 平方反比斥力場中雙曲線的包絡線

在過點電荷的平面內從遠處以相同的向右的速率u入射質量為m、電荷量為 +q的粒子,它們具有不同的瞄準距離b.這些帶電粒子的軌跡均為雙曲線,這些雙曲線的包絡線為拋物線.

證明：

易知,所有帶電粒子具有相同的能量,于是它們的軌跡具有相同的半實軸a,由雙曲線軌跡的能量公式

(19)

得

(20)

圖7 軌跡分析圖

(21)

式(21)右邊

(22)

于是

(23)

即該雙曲線軌跡上任一點到一定點的距離和到一定直線的距離大于等于零,當P點在AF2延長線時取等于.如果把軌跡的偏轉角記為θ,由雙曲線的基本性質有

(24)

(25)

(26)

這就是所有這些雙曲線軌跡的包絡線方程,其中a由式(20)確定.