物理學家視角的模型建構層級設計*

陳偉孟

(中國人民大學附屬中學 北京 100080)

馬朝華

(北京市海淀區教師進修學校 北京 100097)

1 關于模型建構

核心素養中的科學思維主要包括模型建構、科學推理、科學論證、質疑創新等要素.模型思維是一種重要的科學思維,為了描述客觀事物的運動規律,科學家往往把研究對象抽象為理想模型,突出問題的主要方面,忽略次要因素,建立理想化的“物理模型”.我們通常可以把物理的模型建構分為:建立模型、分析模型、驗證模型等過程.高中物理課程標準將科學思維中的模型建構分為五級水平,如表1所示.

表1 科學思維中模型建構水平劃分

其中,水平二是學業水平合格性考試的要求,水平四是學業水平等級性考試的要求.在物理模型教學中,通過學習物理模型的建立及其應用,可使學生逐步認識模型的設計依據,建立模型的方法,從而初步掌握建模方法.

理想模型是為了便于研究問題而對研究對象進行理想化抽象的過程.實際問題往往比較復雜,影響的因素很多,直接研究它們會比較困難.科學研究中運用這種方法,人們就可以用模型來表示研究對象,使得研究變得簡單、有效,從而便于人們去認識和把握問題的本質.理想模型在現實中并不存在,但是通過它可以對實際問題進行本質探討,并得到有價值的結論.物理學習中通過抽象方法建構的理想化模型有很多,如表2所示,按照研究對象來看可以分為質點、點電荷、單擺、彈簧振子、理想氣體等模型,按照研究過程來看可以分為勻變速直線運動、勻速圓周運動、簡諧運動和碰撞等模型.實際上,具體問題的研究往往是對象模型和過程模型組合研究的過程,比如質點的勻變速直線運動和彈簧振子的簡諧運動.

表2 一般物理模型的分類

如圖1所示,模型建構既是用理想模型去描述表示實際問題的過程,也是將實際問題抽象為理想模型的過程.物理學科核心素養要求具有建構理想模型的意識和能力,能正確運用科學思維方法,具有批判性思維的意識,能基于證據大膽質疑,從不同角度思考問題.每當遇到新問題時,物理學家們總是試圖建立一個物理模型加以解釋.高中物理學習過程中,學生會遇到各種物理模型,這是對自然世界認識過程的提煉.因而,模型建構不僅是處理問題的手段,更是人類認識這個世界的方式.在物理學中發展起來的建模方法已經滲透到其他科學領域和社會的各個方面.

圖1 模型建構過程

我們在認識、解決某個實際問題時,總要把實際問題抽象成一個簡化的模型加以解決.例如研究一列火車從北京到南京的運行問題時,盡管火車各部分的運動各不相同,很復雜,但對于我們要研究的問題而言,可以把火車各部分運動的差別忽略,甚至火車的長度都可以忽略不計.在這種情況下,我們可以用一個有質量的點來表示火車的運動,稱為“質點”.但要研究車輪上某點的運動,則不能把火車看成一個點.因此,把一個實際問題抽象成與之對應的理想模型總是有一定的適用條件的.突出問題的主要方面,忽略次要因素,抽象出研究對象或研究過程的本質特征,進而對其進行研究.

以物體的運動為例,物理學家大致是通過3個層次進行力學解釋的,并由此體現3個方面的物理學思想.第一個層次是提出物理實在的基本構成的假設性構型.通過設想物質基本單元的構型和相互作用來回答“物體究竟是怎樣構成的和怎樣運動的”問題.質點就是作為組成物體的物質粒子理想模型,被看作最基本的物質單元,其他物體可以看作由質點構成的質點系.然后再設定質點之間的相互作用,由此建立質點的運動理論.第二個層次是設定物理實在的假設性力學模型.通過從模型演繹得到的運動變化來回答“物體的運動及其變化究竟是怎樣發生的”問題.自由落體運動、勻速圓周運動和簡諧運動等就是這樣的力學模型.第三個層次是建立分析動力學的運動方程.通過數學抽象把運動規律上升提煉為用符號表示的數學方程,來回答“物體的運動規律究竟具有怎樣的普遍性”的問題,也被稱為數學模型.從質點構型到物理模型再到抽象符號表示,從本體論思想到物理建模再到數學綜合的思想,是物理學家研究力學現象的3個層次.

2 單體模型建構

【案例1】某同學將質量m=0.60 kg的籃球從距地面高度h1=1.5 m處由靜止釋放,籃球與地面碰撞后反彈高度h2=1.2 m.設籃球始終在豎直方向做一維運動,不計空氣阻力,取重力加速度g=10 m/s2.

模型分析：本案例對應學業質量水平四的內容,通過模型建構層級的具體情境劃分,能將實際問題中的對象和過程轉換成所學的熟悉物理模型.模型建構中體現著層級的設置,對應著學生問題認識和問題解決能力的水平.

研究對象為籃球,“籃球從距地面高度h1=1.5 m處由靜止釋放”.籃球在此處僅僅做一維的平動,一般運動物體可視為質點的條件是“該物體的大小遠遠小于其位移的大小,或者該物體僅僅做平動運動”,不考慮籃球的轉動,因此可視為質點,按照質點模型來分析.

研究過程為勻變速直線運動和碰撞.籃球在整個過程中做自由落體、勻加速和勻減速等勻變速直線運動,同時與地面碰撞時涉及機械能的損失,因此屬于一般碰撞.

建模層級(1)：假設籃球每次與地面碰撞損失的機械能相同,籃球通過與地面多次碰撞反彈,反彈高度會越來越低,最終停下來.求由靜止釋放到最終停下來,籃球與地面碰撞的次數n.

問題解決(1)：

籃球一次碰撞損失的機械能為

ΔE=mgh1-mgh2=1.8 J

籃球與地面碰撞的次數

建模分析(1)：假設籃球每次與地面碰撞損失的機械能相同.學生通過觀察籃球高度的變化,能夠直觀發現籃球碰撞過程中是伴隨著機械能的損失的,故該碰撞并非彈性碰撞.每次機械能損失相同,與實際運動情況有聯系又有區別,屬于機械能減小過程中的最初級的建構.

建模層級(2)：實際上籃球每次因碰撞損失的機械能會隨著碰前動能的減小而減小,假設籃球每次與地面碰撞前后的動能之比不變.為了使籃球反彈得高一些,可以通過拍球來實現.

當籃球第一次與地面碰撞后反彈至h2=1.2 m時,該同學向下拍球,要使籃球落地后反彈的高度仍為1.2 m,求該同學在拍球過程中需要對籃球所做的功W.

問題解決(2)：籃球每次與地面碰撞后與碰撞前的動能的比值為

根據動能定理,籃球下落過程

W+mgh2=Ek1

籃球反彈上升過程 -mgh2=0-Ek2

可得

W=1.8 J

建模分析(2)：機械能等比減小.學生結合實際拍球時籃球高度的變化,能夠發現籃球碰撞過程中的高度應該是非線性減小的.每次機械能損失不同,但是損失量與籃球碰撞前的動能有關,建立兩者之間的關系,接近實際情形并能通過計算解決.對做功的問題并不做恒力或變力的區分,用一般性的動能定理解決問題.

建模層級(3)：在拍球過程中,可以通過改變拍球的作用力大小從而改變拍球的節奏,我們會發現不管是籃球的下落還是上升,有一段過程籃球好像粘在手上一樣.這是因為球開始下落的同時向下拍球,手通過接觸會對球施加一向下的動力F1;當球反彈上升至某一高度時,手通過接觸對球施加一向下的阻力F2,使球和手一起向上運動至最高點.若拍球過程中籃球最大高度始終為1.2 m,手對球的兩次作用力均視為恒力,且在上升和下降過程中,球與手作用的距離均為s=0.2 m.請推導F2大小與F1大小之間的關系式,并在圖2中畫出F2-F1圖線,標出圖線與橫軸交點的橫坐標.

圖2 F2-F1坐標系

問題解決(3)：根據動能定理,籃球下落過程

根據

可得F2大小與F1大小關系

F2-F1圖線如圖3所示.

圖3 F2-F1圖線

建模分析(3)：學生結合實際拍球時籃球高度的變化,能夠發現籃球碰撞過程中的高度應該是非線性減小的,采用了等比的方式.每次機械能損失不同,但是損失量與籃球碰撞前的動能有關,建立兩者之間的數學關系.做功的角度,將外力做功細化為恒力做功,使得手對籃球的做功問題更直觀具體,并且是學生運用已有知識能夠解決的問題.

建模層級(4)：若某中學物理研究性學習興趣小組設計制作了一款傳感器手套,他們用該手套測試同學在運球、傳球、投籃時手對籃球施加的力的大小.某同學戴著手套原地連續在一維豎直方向練習拍球測試,通過傳感器手套得到了手對籃球施加向下的壓力F隨籃球距地面高度h的變化關系如圖4所示.求:拍球時籃球與地面碰撞前后的動能之比.

圖4 F-h變化關系

問題解決(4)：拍球時是恒力→線性變力做功.隨位移線性變化的力做功,與彈簧彈力的做功類似,由恒力功→變力功,通過圖像中線性力與位移所圍成的面積進行計算解決

建模分析(4)：對做功進行建模的過程中,恒力做功應該是較簡單的一種情形,在此基礎上聯系實際,將恒力做功轉變為變力做功.變力做功時,與彈簧彈力的做功類似,進行關聯整合,線性恒力做功是學生能夠通過公式或圖像來計算的,因此在此基礎上進行線性變力做功的進階,從而實現建模層級的進一步提升,更接近實際問題的情境.

3 系統模型建構

【案例2】如圖5所示,一條輕繩跨過定滑輪,繩的兩端各系一個小球a和b,用手托住球b,當繩剛好被拉緊時,球b離地面的高度為h,球a靜止于地面.已知球a的質量為m,球b的質量為3m,重力加速度為g,定滑輪的質量及輪與軸間的摩擦均不計.若無初速度釋放球b,則下列判斷正確的是( )

圖5 案例2圖

B.在球b下落過程中,球b所受拉力大小為mg

C.在球b下落過程中,球a的機械能保持不變

建模分析：

研究對象從單體→二體系統.在一種情形中,將a、b均由靜止釋放,故a、b在相同時間內運動的距離相等,故輕繩對a做的正功和對b做的負功之和為零,使b減少的機械能完全轉移給a,系統機械能守恒.而在另一種情形中,將b托起一定高度釋放后,輕繩繃緊的過程中,b在極短時間內減速而a在極短時間內加速從而兩者共速.在這個極短過程中,b運動的距離大于a運動的距離,a與b相當于發生了一次完全非彈性碰撞,故細線對b所做的負功大于對a所做的正功,使得b減少的機械能沒有完全轉移給a,部分轉化為細線伸長而產生的內能.

通過以上分析可見:同樣是細線連接的兩個物體a和b,由于初始狀態不同,導致結果相異.其關鍵就在于對“不可伸長的細線”的正確理解,“不可伸長”決不是絕對不可伸長的意思,而是伸長量相對原長而言可忽略.形變是產生彈力的必要條件,如果輕繩不可伸長,那輕繩中將不會出現彈力.因為繃緊時間極短,導致彈力極大,極大的彈力在極小的位移內做功不為零,進一步導致系統機械能不守恒.

如圖6(a)所示,這個裝置原型叫阿特伍德機(Atwood machine),是由英國數學家兼物理學家的喬治·阿特伍德在1784年提出的,用于測量加速度及驗證運動定律的機械.一個理想的阿特伍德機包含兩個物體質量為m1和m2,及由無重量、無彈性的繩子連結并包覆理想且無重量的滑輪.當m1=m2時,無論兩物體在何位置、機器處于力平衡的狀態.當m1≠m2時,兩物體皆以大小相等的加速度做運動.如圖6(b)所示,從阿特伍德機衍生出去,我們可以將其與驗證牛頓第二定律的實驗聯系起來,兩物體皆以大小相等的加速度做運動,實現認識的關聯與整合.

圖6 阿特伍德機衍生裝置示意圖

【案例3】應用物理知識分析生活中的常見現象,可以使物理學習更加有趣和深入.例如人原地起跳時,總是身體彎曲,略下蹲,再猛然蹬地,身體打開,同時獲得向上的初速度,雙腳離開地面.從開始蹬地到雙腳離開地面的整個過程中( )

A.地面對人的支持力始終等于重力

B.地面對人的支持力的沖量大于重力的沖量

C.人原地起跳過程中獲得的動能來自于地面

D.人與地球所組成的系統的機械能是守恒的

建模分析：對于質點模型,我們不能僅停留在“一個有質量的點”的理解上.牛頓第二定律的研究對象是一個質點.對于由多個質點組成的系統,在質點的牛頓第二定律基礎進一步可以推導出質點組的牛頓第二定律

F=m1a1+m2a2+…+mnan

其中F為質點組所受合外力.

人站在原地起跳時,人獲得的機械能是怎么來的?很多學生會下意識覺得來自于地面支持力做的功.如圖7所示,可以通過類比進行建模.

圖7 人原地起跳與彈簧組合類比

一小球和一輕質彈簧組合一起,處于壓縮狀態的彈簧能夠將這個組合彈起,這個過程中小球增加的機械能就是彈簧的彈性勢能轉化而來的.經過思考分析就會發現這個能量不會來自地面,因為這個過程中地面是不動的,其支持力是不做功的.人在起跳的過程中,人不能看成質點,而是由無數個質點組成的系統,人在起跳的過程中,通過系統內力做功把化學能轉化為人的機械能.值得注意的是:在人起跳的過程中,由于內力等大反向、且作用時間相等,故內力沖量的矢量和為零,人的動量變化與人的內力沖量無關、只由人所受外力沖量決定,即地面支持力和人的重力沖量共同決定.由此可以看出:質點相關的運動規律是復雜體系運動規律的基礎,有了質點這個概念以及建立在質點概念基礎上的規律使我們認識復雜系統的運動成為可能.如圖8所示的兩個人在冰面上互推的過程,就是一個動量守恒而機械能增加的過程,與彈簧的彈性勢能轉化為兩物塊的動能類似,這是化學能轉化為機械能的過程,也是屬于定性分析的過程.

圖8 人在水面上互推與彈簧組合類比

【案例4】高壓采煤水槍出水口的截面積為S,水的射速為v,射到煤層上后,水的速度變為零,水的密度為ρ,不計水的重力影響.如何求水對煤層的沖力?

建模分析：這是中學物理中另一個常見模型即“流體模型”,是一個更為綜合的多體系統模型,我們可以從二體系統過渡到多體系統進行分析,如圖9所示.

圖9 案例4模型

取Δt內與煤發生作用的水為研究對象,其質量Δm=ρSvΔt,對其應用動量定理,得-FΔt=0-Δmv,可得F=ρSv2,故水對煤的沖力F′=F=ρSv2,進一步可求出壓強p=ρv2,可見水沖擊產生的壓強與速率平方成正比.工業上可以用高速水流產生的巨大壓強進行金屬切割、工業加工等應用,就是所謂的“水刀”.

如何看待這兩種建構的模型?

這實際上與上述的質點系統模型有關:一段時間內與煤發生作用的流體在減速過程中,相互之間必然有“擠壓”的作用力,這種作用力屬于這些流體間的內力,與人原地起跳類似,內力做功并不為零.也就是說,在流體與煤作用過程中,并不能把流體看成質點.因此,上述動能定理的表達式中應該還有一項流體內力做功的表達式(內力做功的結果把機械能轉化為內能),而動量定理表達式中并沒有內力沖量的問題,所以模型二與實際情形是有出入的.相對于判斷系統的能量增減,運用動量定理算是屬于定量分析的過程.

4 總結

在學生學習的不同階段,對于同一個模型的理解和認識是需要逐步加深的,可以根據具體的標準和條件進行修正,以更逼近實際問題,這是物理學中一種典型的研究思想方法的體現.人們認識任何事物一般總時遵循著從簡單到復雜,由“點”到“面”再到“體”的各個認識階段的.從質點理想模型入手,逐步修改近似條件,以求得更加接近對實際復雜事物真實面貌的認識.理想化模型源于具體事物又高于具體事物,是感知和思維的產物.模型建構,不僅是我們研究具體問題的手段,也是我們認識這個世界的方式,這是科學認識方式對我們學習的重要啟示,在學生學習和教師教學過程中都應充分的重視.