基于Tracker的非光滑下滑軌道的最速降線研究

魏王杰

(云南師范大學物理與電子信息學院 云南 昆明 650092;云縣第二中學 云南 臨滄 675800)

劉 垚

(云南師范大學體育學院 云南 昆明 650092)

姚 斌

(云南師范大學物理與電子信息學院 云南 昆明 650092)

1 引言

最速降線在逃生軌道、糧食輸運軌道[1]、過山車軌道、滑板場地、以及我國古建筑中的“大屋頂”排水系統[2]中均有應用.

最速降線最初由伽利略提出,后經牛頓、洛必達、萊布尼茨等驗證,在不考慮阻力時,它是一條下凹的圓擺線[3].然而,在真實的物體下滑過程中,下滑物體總會受到諸如摩擦力、粘滯力等的作用(其中摩擦力受正壓力影響,正壓力又受物體自重、速度和所處下滑軌道位置的影響;而粘滯力則受速度、溫度等影響,因此,這些力都是大小、方向均在變化的非線性力),使得對真實下滑過程的研究變得異常復雜.

Tracker是一款視頻分析和物理建模軟件,利用它可以標記用戶所指定的視頻中的目標,從而進行位置追蹤、旋轉角度分析、動力學模型分析等操作[4].因此,可利用該軟件輔助進行非光滑最速降線問題的研究.

本文在分析最速降線問題的基礎上,設計制作非光滑下滑軌道實驗裝置,進行6個軌道的下滑實驗;利用Tracker軟件分析獲取下滑實驗中小球的位移時間曲線,進而對比研究6個非光滑下滑軌道的下滑時間,獲得并驗證其中下滑時間最短的下滑軌道曲線.

2 最速降線問題

無阻力時的最速降線問題可表述為:在一豎直平面內有不重合的兩點P和M,M位于P的斜下方,在該豎直平面內的所有連接P和M的路徑里,找出一條路徑,使得質點在只受重力作用下,從P點開始靜止下滑,到M點的滑行用時最短.

該問題最早由伽利略在1630年提出[5],后經眾多學者分別利用常規數學變分法、斯涅爾定律等方法求解[6-8],得出一致結論:無阻力時的最速降線是一條下凹的圓擺線,其解的形式為

(1)

其中,C為常數,α為引入的參量.

然而,在實際的下滑過程中,物體不僅受重力作用,而且還受其他阻力——如摩擦力等的影響,于是,最速降線將不再是圓擺線.不過,經文獻[8]證明可知,當只考慮摩擦力時,最速降線中任意一點的切線方向與水平方向的夾角(記為β)對時間的導數應為常數,即β-t圖像應是一條直線.在后文中,我們也將把這個因素作為判別是否是最速降線的一個標準.

3 實驗裝置設計及實驗過程

3.1 實驗裝置設計

為了利用Tracker軟件研究從P點到M點的最速降線問題,本文設計了如圖1所示的最速降線實驗裝置.該裝置由底座、起點擋板、終點擋板、雪弗板軌道、背景板、激光筆校準裝置、校準條以及直徑為10 mm的紅色小玻璃球構成.其中,起點擋板高45 cm,終點擋板高5 cm,兩板水平距離60 cm,P點和M點水平相距60 cm,豎直相距40 cm.此外,制作雪弗板軌道的雪弗板長度、寬度和厚度分別為90 cm、30 cm、0.3 cm,以保證其有足夠的延展性可以彎成不同的軌道,且足以承載小玻璃球對軌道的壓力,從而在小球滾下時軌道不發生明顯彎曲,進而影響實驗結果.同時,為了使小球的運動軌跡在豎直平面上,沿著彎曲雪弗板軌道表面還粘貼了彼此平行的兩條間距為10 mm的雪弗板細條.

圖1 最速降線實驗裝置

實驗還設置了激光筆校準裝置.實驗時打開激光筆開關,調整其位置使小球在點P位置時激光均射在小球球心,以確保小球每次都能從點P開始運動,從而減小實驗誤差.此外,實驗裝置中還有長0.4 m的校準條,作為在Tracker軟件中建立標尺時的參照物.另外,本實驗之所以選擇白色背板和紅色小球,是為了提高小球和背景的對比度,便于利用Tracker軟件更準確的實時追蹤小球,從而獲得較為精確的小球運動軌跡.

3.2 實驗過程

(1)6個下滑軌道的獲得

(2)小球的自由下滑

參看圖1,從軌道上端P點無初速度釋放小球,使其沿雪弗板軌道自由下滑到M點.釋放小球前已先打開激光筆校準裝置,使小球每次釋放時激光都正射過小球的球心,以確保每次小球都從相同的位置釋放.

(3)視頻錄制

利用靜止放置的手機以錄像的形式記錄下小球在各軌道上的運動過程.為了能利用Tracker軟件準確抓取小球的運動過程,手機視頻錄制時設置視頻的分辨率為1080 P,幀率60幀,視頻編碼的兼容性設置為最好,并在良好的光照條件下進行視頻錄制.

4 數據提取及分析

4.1 利用Tracker軟件提取數據

實驗視頻處理過程如圖2所示,詳細步驟為:

(1)如圖2(a)所示,找到所錄制的小球下滑視頻;

(2)導入視頻:如圖2(b)所示,打開Tracker軟件,將實驗視頻慢放0.5倍處理并導入;

(3)建立坐標系:如圖2(c)所示,用“十”字定位針選取起點擋板的頂部為坐標原點,使坐標的橫軸正向與底座平行并指向右,縱軸正向建立在豎直面內豎直向上.

(4)建立標尺:如圖2(d)所示,選擇底板上的白色雪弗板校準條為參照物,并輸入參照物的長度為0.4 m;

(5)建立質點:如圖2(e)所示,將小球中心設為質點;

(6)追蹤質點:如圖2(f)所示,逐幀分析小球運動的視頻,找到小球從P點運動到M點的起始幀和結束幀,可獲得小球的運動時間、位置坐標和速度等物理量.

4.2 實驗數據分析

(1)小球運動的6個軌跡

將Tracker中小球運動的水平位移x和豎直位移y全精度導入Origin,可得小球在軌道1～6上的運動軌跡,分別如圖3(a)～(f)所示.

圖3 小球在6個軌道上的運動軌跡

(2)小球的運動時間

小球在6個軌道上的運動時間均少于1 s,用手動計時方法難以準確記錄.實驗中采用逐幀追蹤的方法,利用Tracker追蹤小球在每一幀的運動時間,再利用總幀數計算出小球運動的總時間.為了進一步提高時間精度,導入Tracker中時把視頻進行了慢放0.5倍處理,使每幀對應的時間減少了一倍,即把時間精度提高了一倍.

表1 各軌道上的小球下滑總時間

圖4 軌道3的小球運動數據

圖5 軌道3和5的小球β-t線性擬合圖

(3)小球運動最速下降軌道的尋找

6個軌道的下滑時間如表1所示.由此可得,小球在軌道3和5上的運動總時間都出現了極小值,因此,我們還需考慮這兩條軌道的軌跡斜率是否具有勻變性,即在最速降線軌道上運動的物體其軌道切線方向與x軸的夾角β隨時間是均勻變化的,也就是β-t圖像應該滿足線性關系(是一條直線).利用Origin軟件繪出軌道3和5上小球運動的β-t散點圖,并進行線性擬合,如圖6所示.經計算,軌道3的線性擬合度為0.986 34,而軌道5的線性擬合度僅為0.941 79.因此,軌道3更趨近于最速降線.

圖6 圓擺線軌道上的小球運動軌跡

(4)最速降線軌道與圓擺線軌道的比較

將M點的位置坐標(0.6,-0.4)代入圓擺線方程(1),可解出C=0.2,α=3.07,取α∈[0,3.07]作出此擺線,并將雪弗板軌道彎成該擺線的形狀,進而進行小球下滑實驗.同樣,利用Tracker分析小球的下滑視頻,可得小球的運動軌跡如圖6所示,下滑的總時間為0.517 s,比軌道3的更長.可見,對于非光滑軌道,圓擺線并不是最速降線,這也和現存文獻的結論是一致的.

4.3 誤差分析

在利用Tracker軟件進行實驗數據提取過程中,最主要的誤差可能出現在把小球近似為質點所引起的誤差.這個誤差來源于兩方面,一方面是運動方式的不同(小球做的是滾動,包含一部分角動能,而質點的運動則不包含角動能),一方面是運動路徑識別的時候,小球的球心高于實際軌道,也會引入一定的誤差.

為此,本文還利用Matlab編程求解了光滑軌道時的最速下滑時間為0.438 s,和非光滑軌道的最速下滑時間0.483 s(表1)比較,我們的求解誤差應遠小于10%,應用在教學甚至研究中都較為可靠.

5 結論

本文利用Tracker軟件輔助進行非光滑下滑軌道最速降線問題的研究.在分析最速降線問題的基礎上,制作了非光滑下滑軌道實驗裝置,進行了6個軌道的下滑實驗,進而利用運動軌跡分析軟件Tracker從下滑視頻中分析獲得下滑過程的位移時間曲線.研究結果表明,利用Tracker軟件輔助,可以分析原本難以分析的復雜運動學問題,為物理教學提供了便利.