基于位移矢量三角形的拋體運動射程問題探析

黃 偉

(湖北漢川一中 湖北 孝感 431600)

1 問題的提出及緣由

拋體運動的形式及應用很多,其中有一類關于射程的特殊問題,以一定速率沿水平面斜上拋、沿斜面向上拋、沿斜面向下拋(忽略空氣阻力,重力加速度為g).

問題1：當射程最遠時,拋射方向需要滿足什么條件?

問題2：當射程一定時,最小速度的拋射方向需要滿足什么條件?

問題3：當射程相等時,兩次拋射方向需要滿足什么條件?

問題4：當射程最遠時,初速度方向與末速度方向有什么關系,有沒有一定的規律呢?

伽利略在1638 年出版的《關于兩門新科學的對話》這部著作中,有了慣性思想和對自由落體運動的研究,進一步研究了拋體運動,伽利略認為拋體運動具有勻速運動和自然加速運動的復合運動的性質.

在中學階段一般采用正交分解法分析拋體運動,對于斜面上的斜拋運動,若涉及復雜的三角函數,采用正交分解法在兩個方向上多次分解往往會讓問題變得比較復雜.而把拋體運動分解為沿初速度方向的勻速直線運動和豎直方向的自由落體運動,建立位移矢量三角形,利用正弦定理來求解,可以得到簡單的表達式,無需多次分解,這也正是回到了伽利略對拋體運動研究的思想,下面筆者具體展開分析.

2 問題分析

2.1 以沿斜面向上拋為例

2.1.1 數學分析

如圖1所示,小球從傾角為α的斜面上的O點向上拋,落于P點,初速度v與斜面的夾角為θ.小球從O到P的運動,可分解為沿初速度v方向的勻速直線運動和豎直方向的自由落體運動,如圖2所示建立位移矢量三角形.

圖1 沿斜面向上拋情境圖

圖2 位移矢量三角形

由正弦定理可得

(1)

取前一個等號化簡得

(2)

將式(2)代入式(1)得

(3)

由三角函數積化和差得

(4)

(5)

2.1.2 得出結論

(6)

(2)由式(5)可知,當射程x一定時,拋射方向為豎直向上方向與位移方向之間的角平分線時,速度最小

(7)

(3)由式(4)可得,x相等時有兩個解θ1和θ2,滿足

2θ1+α+2θ2+α=π

(8)

(9)

如圖3所示,OO1為豎直向上方向和位移方向夾角的角平分線.

圖3 關于角平分線對稱拋

當兩個拋射角滿足θ1+θ2=∠MOP時,則

∠MOB=∠AOP=θ1∠BOO1=∠O1OA

即OO1也為兩個拋射方向的夾角∠BOA的角平分線,即兩個拋射方向關于豎直向上方向與位移方向之間的角平分線OO1對稱時,射程相等.

(4)如圖4所示,在上述圖2的分析基礎上,小球從傾角為α的斜面上由O點以初速度v拋至P點,沿初速度方向與豎直方向建立位移矢量三角形OAP.同理,由運動的反演,在P點以vP將小球反向拋出,則落于O點,同樣沿初速度方向與豎直方向建立位移矢量三角形PBO,由于BO與AP平行且相等,則四邊形ABOP為平行四邊形.當拋射方向為豎直向上方向與位移方向之間的角平分線時,此時平行四邊形ABOP為菱形,即拋出速度v與落點速度vP方向垂直,由上述本節的第(1)個小問題的分析可知,拋射方向為豎直向上方向與位移方向之間的角平分線時,射程最遠,可得:當射程最遠時,初速度方向與末速度方向垂直.

圖4 初速度方向與末速度方向垂直

2.2 類推至沿水平面斜上拋和沿斜面向下拋

如圖5和圖6所示,OP2為水平面,即α=0,設傾斜面OP1的傾角α1為正值,則傾斜面OP3的傾角α3為負值,滿足對應相同的位移矢量三角形關系.

圖5 沿不同面的最遠射程圖

圖6 沿不同面的等射程圖

同理可得到:

當射程x一定時,拋射方向均為“豎直向上方向與位移方向之間的角平分線”時,速度最小.同理可知,兩個拋射方向關于豎直向上方向與位移方向之間的角平分線OO1對稱時,射程相等,且射程最遠時,初速度方向與末速度方向垂直.

2.3 利用幾何畫板模擬驗證

以下是在幾何畫板中取重力加速度為g=10 m/s2,初速度v=4 m/s,拋射方向與x軸正方向成5°～85°每間隔5°所得到的17條拋物線組合圖像.由圖7可知,當兩個拋射方向關于角平分線45°線方向對稱時射程相等,且沿角平分線45°線方向拋出至水平面射程最遠.

圖7 沿水平面斜上拋拋物線族

由圖8可知,當兩個拋射方向關于角平分線60°線方向對稱時射程相等,且沿角平分線60°線方向拋出至傾角為30°的斜面上射程最遠.

圖8 沿斜面向上拋拋物線族

由圖9可知,當兩個拋射方向關于角平分線40°線方向對稱時射程相等,且沿角平分線40°線方向拋出至與水平面成10°向下的斜面上射程最遠,具體射程也可以根據理論計算值與實際模擬值對比.

圖9 沿斜面向下拋拋物線族

3 得出結論

綜上可得,無論沿水平面斜上拋,還是沿斜面向上拋、向下拋,均滿足:

(3)當兩個拋射方向關于“豎直向上方向與位移方向之間的角平分線”對稱時,射程相等.

(4)當射程最遠時,初速度方向與末速度方向垂直.

4 結束語

還有很多其他的運動學問題也可以通過建立位移矢量三角形或速度矢量三角形求解,這里只是以拋體運動中一類特殊規律的位移矢量三角形探析為例.矢量三角形在運動學中有著廣泛的應用,正弦定理及三角函數的運用,進一步體現了高考物理能力要求中的應用數學處理物理問題的能力.