由實(shí)驗(yàn)結(jié)論到牛頓第二定律的幾種常見導(dǎo)出方法

張利國

(北京交通大學(xué)附屬中學(xué) 北京 100081)

李 璐

(中國船舶集團(tuán)有限公司綜合技術(shù)經(jīng)濟(jì)研究院 北京 100081)

1 問題的提出

1.1 教材中的導(dǎo)出過程

質(zhì)量M一定時(shí),a∝F

1.2 對(duì)于導(dǎo)出過程的困惑

學(xué)生展示的導(dǎo)出過程如下

a∝F?a=k1F

(1)

(2)

其中k1、k2為常數(shù).

1.3 學(xué)生導(dǎo)出過程的問題

學(xué)生認(rèn)為k1、k2為常數(shù),分別建立在保持質(zhì)量M、力F不變的基礎(chǔ)上,故將二者結(jié)合的過程中,應(yīng)考慮到k1是一個(gè)關(guān)于質(zhì)量M的函數(shù),而k2是一個(gè)關(guān)于力F的函數(shù),k1、k2并非常數(shù).

如果我們用反證法,很容易推翻學(xué)生得出的結(jié)論:

2 4種常見的導(dǎo)出方法

在用反證法推翻學(xué)生的結(jié)論后,學(xué)生們希望能展示至少一種正向推導(dǎo)的思維過程,所以筆者在本節(jié)課堂上,將時(shí)間和發(fā)言權(quán)交給學(xué)生,下面是學(xué)生比較容易想到的4種方法.

2.1 方法一

隨機(jī)給出不同數(shù)值的質(zhì)量M和力F,如表1所示,給a1一個(gè)數(shù)值,對(duì)比第1行和第2行,發(fā)現(xiàn)可以控制質(zhì)量M不變,根據(jù)加速度和力成正比可確定a2;將第1行和第3行對(duì)比,發(fā)現(xiàn)可以控制力F不變,根據(jù)加速度和質(zhì)量成反比可確定a3;同理,我們可以任意取具有兩行數(shù)據(jù),只要它們具有相同的質(zhì)量或者相同的力,就可確定其他加速度a4,…

表1 加速度a與的關(guān)系

2.2 方法二

式(1)成立的前提為控制質(zhì)量不變,若不加控制,還要式(1)成立,可以認(rèn)為k1是一個(gè)關(guān)于質(zhì)量M的函數(shù);同理,去掉式(2)的控制條件后,可認(rèn)為k2是一個(gè)關(guān)于力F的函數(shù),分別將其寫成k1=k1(M)、k2=k2(F)的形式,代回式(1)和(2),有

a=k1F?a=k1(M)F

(3)

(4)

對(duì)于任意給定的一組數(shù)據(jù)(M,F,a),應(yīng)同時(shí)滿足式(3)和式(4),故兩式的a為同一數(shù)值,聯(lián)立式(3)、(4),有

思路1：

同理,觀察式(4),若控制M不變,有a∝k2(F),結(jié)合M不變時(shí),有a∝F,得

思路2：

假設(shè)k是關(guān)于M、F的函數(shù),即

即k(M,F)為常數(shù).

2.3 方法三

將式(3)和式(4)變形為

(5)

(6)

思路1：

控制質(zhì)量M不變,改變力F,有

若固定其中一組數(shù)據(jù),可以寫成

k2(F)=k2(1)F

將其代入式(6),有

Ma=k2(1)F

取國際單位制,有k2(1)=1,即F=Ma.

思路2：

控制力F不變,改變質(zhì)量M,有

k1(M1)·M1=k1(M2)·M2

若固定其中一組數(shù)據(jù),可以寫成

k1(M)·M=k1(1)·1

2.4 方法四

假設(shè)有一組數(shù)據(jù),其中包括給定數(shù)據(jù)1(M0,F0,a0)、中間過渡數(shù)據(jù)2(M0,F,a1),以及變化后的任意數(shù)據(jù)3(M,F,a),如圖1所示.

圖1 數(shù)據(jù)

選擇數(shù)據(jù)1和數(shù)據(jù)2,因?yàn)榭刂芃0不變,加速度和力成正比,總有

(7)

選擇數(shù)據(jù)2和數(shù)據(jù)3,因?yàn)榭刂艶不變,加速度和質(zhì)量成反比,總有

(8)

式(7)和式(8)相乘,有

(9)

3 導(dǎo)出過程的類比遷移

教材中用類似的方法導(dǎo)出的復(fù)合函數(shù)還有很多,如表2所示.

表2 人教版教材中部分復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)出

教師們不妨在此處多花一些時(shí)間,讓學(xué)生充分討論牛頓第二定律的導(dǎo)出過程,只要能思考出一種推導(dǎo)方法,對(duì)比初中學(xué)過的歐姆定理的導(dǎo)出過程,學(xué)生會(huì)有恍然大悟之感,就可以避免在將來的學(xué)習(xí)過程中一再出現(xiàn)學(xué)習(xí)障礙.