利用Matlab軟件對一維薛定諤方程的動力學可視化教學*

劉 通 胡蓉蓉

(南京郵電大學理學院 江蘇 南京 210003)

1 引言

薛定諤方程是描述量子力學中粒子行為的基本方程之一,它描述了粒子的波函數隨時間的演化[1].盡管薛定諤方程本身并沒有直接給出粒子的位置或動量,但它提供了一個重要的數學框架,通過求解薛定諤方程可以獲得波函數,從而獲得系統在時間和空間上的性質.

通過可視化方法,我們可以更直觀地了解薛定諤方程的含義和解法.對于簡單的系統,如自由粒子、無限深勢阱或簡諧振子,薛定諤方程的解可以用數學上的函數表示[2].然而,對于更復雜的系統,薛定諤方程通常需要通過數值方法來求解.薛定諤方程的可視化研究經歷了從理論推導到數值計算再到計算機可視化的演進過程.隨著科學技術的不斷進步,薛定諤方程的可視化方法也變得越來越多樣化和精確化,為研究人員提供了更好的工具和視覺化手段來探索和理解量子世界.

本文結合一維方勢壘模型的具體示例[3],利用Matlab仿真軟件提供的強大模擬功能,旨在通過圖像式直觀教學拓展課程的深度和廣度,并攻克知識難點和課程難點,以獲得正確的量子力學圖景.通過仿真軟件的支持,我們可以更加直觀地觀察和分析一維方勢壘模型的量子化行為[4].其次,通過Matlab仿真軟件,我們可以更新方勢壘模型的表達方式.學生可以靈活調整勢壘高度、寬度和形狀等參數,并實時觀察波函數的變化.這種交互式的學習方式有助于學生深入理解勢壘對波函數的影響,加深對量子力學基本概念的理解.

在教學實踐中,基于Matlab仿真軟件的圖像式直觀教學可以激發學生的學習興趣和積極參與.通過展示具體的數值結果和動態演示,學生可以更好地理解量子力學的概念和原理,并將其應用于實際問題的求解.此外,基于問題驅動的混合式課堂教學實踐可以進一步提升學生的學習參與度.通過提出問題、討論分析和引導學生自主探索,可以培養學生的批判性思維和解決問題的能力.Matlab仿真軟件的使用為學生提供了實踐的機會,使他們能夠應用所學的知識解決實際問題.

2 一維方勢壘

在一維方勢壘模型中,勢能函數為

(1)

這是一個粒子入射的模型,粒子從無限遠處入射來,遇到一個勢壘會發生透射或者反射,所以粒子的動量在右半空間處為+x方向,在左半空間既有-x方向,又有+x方向.粒子在兩邊空間的運動方程均為

(2)

所以波函數的解的形式均為

Ψ(x)=Aeik1x+Be-ik1x

(3)

其中

考慮到粒子動量的取向問題,可以直接給出波函數在兩側的解為

(4)

在勢壘區域-a

(5)

可以得到波函數的解為

Ψ(x)=Eek2x+Fe-k2x

(6)

其中

帶入邊界條件得

(7)

帶入k1、k2可得

(8)

可以發現:R+T=1符合預期.

當E>V0時量子情況下運動方程為

(9)

則波函數的解為

Ψ(x)=Eeik2x+Fe-ik2x

(10)

其中

接下來帶入關系式sh(ik2a)=sin(ik2a),可得

(11)

3 Crank-Nicolson算法解一維薛定諤方程

3.1 Crank-Nicolson算法

Crank-Nicolson差分格式是由John Crank和Phyllis Nicolson于1947年提出的.他們發展了這種差分格式作為數值方法,用于解決拋物型偏微分方程.Crank-Nicolson差分格式結合了前向差分和后向差分兩種方法,以提供更好的數值穩定性和精確性.這種差分格式在數值計算和科學工程領域中得到了廣泛應用.

該算法基于隱式差分格式,使用了當前時間步和下一個時間步的平均值來估計方程的導數.Crank-Nicolson算法的優點是它是一個無條件穩定的算法,可以處理一些數值上的穩定性問題,并且在精度方面通常比顯式差分方法更好.它適用于各種線性和非線性偏微分方程.

3.2 Crank-Nicolson算法解一維薛定諤方程

在量子力學的許多理論或數值計算中,選用原子單位會更方便.因此在原子單位制下,薛定諤方程為

(12)

傳播子作用于波函數為

ψ(x,t+Δt)=exp(-iHΔt)ψ

(13)

用Crank-Nicolson得到的結果是

(14)

其中ψn是時刻tn的波函數列矢量(已知),ψn+1為時刻tn+1的波函數列矢量(未知),Hn是tn時刻的哈密頓矩陣.

但事實上,還可以繼續減少計算量,若近似認為Hn+1≈Hn,將上式整理后得

(15)

解這個方程,再減去ψn即可.對于等間距坐標網格x1,x2,…,可以用差分法計算二階導數,表示為矩陣

(16)

現在若要求基態,我們可以用虛數時間,即t′=

-it,使用虛時間后,兩公式變為

(17)

4 Matlab仿真結果與分析

我們采用Matlab來進行仿真,結果中可以發現方勢壘的含時概率圖描述了在一維有限深方勢壘中[6],粒子的概率隨時間和空間的變化.橫軸表示空間位置,縱軸表示波函數,曲線表示粒子的概率或波函數的模值.通過在二維坐標系上繪制概率密度隨空間和時間的變化,可以觀察到粒子在不同位置和時間的出現概率.

圖1～5依次展示出t=2 s,t=6 s,t=10 s,t=14 s,t=18 s時的波函數的絕對值.

圖1 當t=2 s時波函數的絕對值

圖3 當t=10 s時波函數的絕對值

圖4 當t=14 s時波函數的絕對值

圖5 當t=18 s時波函數的絕對值

在可視化方勢壘的過程中,我們可以觀察到入射粒子的一部分以反射的方式返回原來的區域,從而形成反射現象.另一部分粒子則能夠穿越方勢壘,從勢壘的一側透射到另一側[7].在可視化方勢壘的過程中,我們還可以觀察到入射粒子的一部分即使能量低于勢壘的高度,仍然以某種概率穿過勢壘并出現在勢壘的另一側[8].

方勢壘可視化可以通過圖形方式將抽象的概念轉化為直觀的形象,使學生能夠更加清晰地理解粒子之間相互作用的過程和特征.這種直觀理解有助于學生建立起對概念的準確認知,提高學習效果.學生可以深入了解相互作用的本質和機制.他們可以觀察粒子在方勢壘中的運動.這種深化的認識可以加深學生對科學原理的理解,并激發他們對科學研究的興趣.

方勢壘可視化呈現科學現象的過程和變化能夠激發學生的好奇心和興趣.通過觀察和探索方勢壘的變化,學生可以體驗到科學的魅力,激發他們對進一步學習和探索的動力.

方勢壘可視化在教學中能夠提供直觀的學習工具,幫助學生更好地理解和應用科學概念,培養問題解決能力,激發學生的興趣和熱情.這種可視化手段在科學教育中具有廣泛的應用前景,并有助于提高學生的科學素養.

5 總結

本文利用Matlab仿真軟件的強大模擬功能,結合一維方勢壘模型的具體示例,通過圖像式直觀教學拓展課程深度和廣度,攻克知識難點和課程難點,從而獲得正確的量子力學圖景.基于問題驅動的混合式課堂教學實踐將進一步提升學生的學習參與度,實現多元化教學目標.