另解連接兩小球的均質(zhì)桿離開墻面位置

張金濤

(昆明市第三中學(xué) 云南 昆明 650599)

唐 龍

(重慶市巴川中學(xué) 重慶 402560)

1 題目

【題目】如圖1所示,可視為質(zhì)點的小球A和小球B質(zhì)量分別為m1、m2,兩球之間用一根長為L,質(zhì)量為m的輕桿連接,桿放在光滑的水平面和光滑的豎直墻壁之間,開始時,桿與豎直墻面之間的夾角為θ0,某一時刻釋放桿,試分析當(dāng)小球A脫離墻壁時桿與墻壁的夾角.

圖1 題目題圖

2 桿的轉(zhuǎn)動慣量及動能

設(shè)下落過程中,某時刻球A的速度大小為v1,球B的速度大小為v2,做v1與v2的垂線,相交于O點,可認(rèn)為桿在此瞬間只繞O點轉(zhuǎn)動,沒有平動,其轉(zhuǎn)動慣量為

?愛新覺羅·弘歷:《平湖秋月》，齊耀珊重修、吳慶坻重纂:《民國杭州府志》(一)，《中國地方志集成·浙江府縣志輯》第1冊，第46頁。

3 運動及能量分析

以墻角為原點,設(shè)球A和球B的位移大小分別為x1和x2,加速度大小分別為a1和a2,則

（2）由題意可知當(dāng)x∈［0，+∞），f（x）≤ax+b，即x∈［0，+∞），f（x）-ax≤b成立，所以當(dāng)0≤x＜1時，可得（1-a）x+2＜b恒成立，即當(dāng)0＜a＜1時，（1-a）x+2無最大值，所以a≥1，此時（1-a）x+2的最大值為2，所以b≥2，當(dāng)x≥1時，可得（3-a）x+2＜b，所以當(dāng)a≥3時，（3-a）x+2的最大值為2，所以b≥2。

v1=v2tanθ

因此可以得到如下結(jié)論：(1)相比矩形布局策略，UPRFloor布局策略在犧牲一定算法時間復(fù)雜度的情況下能夠節(jié)省更多的可重構(gòu)資源；(2)隨著w1取值的增大，節(jié)省的可重構(gòu)資源隨之增多，同時算法耗時也有所增長，在可重構(gòu)資源稀缺且布局時限寬松的應(yīng)用場景中，可選擇如參數(shù)配置4的參數(shù)方案以便獲得最高的資源利用率；(3)當(dāng)w1的取值小于w2與w3時，該布局策略仍能具有較好的布局性能；(4)因為算法耗時與資源利用率增速不匹配的原因，不建議采用類似配置5、6的極限參數(shù)配置方式.

將v1、v2代入簡化得

gL(2m1+m)(cosθ0-cosθ)=

整理得

T(x)是一個關(guān)于x的一元三次方程,它的零點x0即為脫離角度的余弦值,即脫離角度θ=arccosx0

(1)

對時間求導(dǎo)

故T(x)在其定義域范圍內(nèi)至少有一個零點.

進(jìn)一步整理得

由系統(tǒng)機(jī)械能守恒得

(2)

4 脫離條件

球A水平方向的加速度在脫離前始終為零,桿的加速度為B球加速度的一半,脫離的條件是系統(tǒng)水平加速度為零,則3個物體加速度都為零,即

將上式代入式(2)得

進(jìn)一步整理得

(cosθ0-cosθ)2cosθsinθ(m2-m1)}·

整理得

2(cosθ0-cosθ)=

(cosθ0-cosθ)2cos2θ(m2-m1)}·

將式(1)代入上式得

(m1-m2)cos3θ-(3m1+m)cosθ+

該方程的解即為脫離時的角度.

5 方程解討論

恒成立

CPⅢ三角高程測量是建立在CPⅢ平面測量的基礎(chǔ)之上，采用的是平面測量網(wǎng)型。由CPⅢ平面網(wǎng)釆集的數(shù)據(jù)經(jīng)過計算得到CPⅢ三角高程測量的間接高差數(shù)據(jù)。根據(jù)式(2)可以求出相鄰兩個棱鏡之間的間接高差，在測量工作中，保證每個棱鏡至少被3個不同的自由設(shè)站觀測3次，確保為CPⅢ三角高程測量提供了大量的多余觀測值，為數(shù)據(jù)的對比提供基礎(chǔ)，同時CPⅢ三角高程測量短視距的性質(zhì)又為數(shù)據(jù)精度提供了保障。圖3為CPⅢ平面測量數(shù)據(jù)經(jīng)過計算轉(zhuǎn)化為間接高差的過程示意圖。

第四，要進(jìn)一步推進(jìn)體制機(jī)制創(chuàng)新。為解決投融資難的問題，鼓勵和支持西部地區(qū)的政府采取政府注入資本金、土地儲備和盤活資產(chǎn)存量，組建規(guī)范的投融資公司，搭建平臺擴(kuò)大水利投融資渠道。通過招標(biāo)投標(biāo)和承包制來吸引社會資金或外資投入水利設(shè)施建設(shè)。深化水管體制改革，完善工程水價，還有電價、用地政策，還有稅收優(yōu)惠等方面的政策，以保證建成的水利工程能夠確實良性運行。剛才提到的“最后一公里”問題，要在統(tǒng)一規(guī)劃的基礎(chǔ)上，通過財政的補貼，引導(dǎo)農(nóng)民積極參與工程和水利建設(shè)。還有一點要強(qiáng)調(diào)的，西部地區(qū)一定要把節(jié)水放在首位，要加強(qiáng)需求側(cè)管理，建成節(jié)水型社會。

T(cosθ0)=

設(shè)函數(shù)

291 冠心病患者 PCSK9 基因 D320N 位點多態(tài)性及其臨床意義 張明明，趙 培，于悅卿，張翠改，高 偉，李 芳

當(dāng)原水水質(zhì)出現(xiàn)異常惡化時，可通過芬頓高級氧化措施，確保后續(xù)生化處理的穩(wěn)定性。水質(zhì)狀況正常時，來水可僅通過芬頓反應(yīng)池體，而不需要投加芬頓試劑。芬頓出水進(jìn)入USAB（升流式厭氧反應(yīng)器）處理，通過厭氧反應(yīng)將大分子有機(jī)物分解為小分子有機(jī)物，厭氧出水選用“脫氮+生物接觸氧化”進(jìn)行好氧處理，小分子有機(jī)物進(jìn)一步被分解。接觸氧化池出水進(jìn)入二沉池進(jìn)行泥水分離，二沉池上清液自流進(jìn)入清水池暫存并排放。污水工藝系統(tǒng)產(chǎn)生的污泥排入污泥濃縮池進(jìn)行污泥收集濃縮，濃縮后的污泥進(jìn)一步進(jìn)行機(jī)械脫水處理。脫水后污泥可外運處理處置。

若m1≤m2,T′(x)<0恒成立,故此時在其定義域范圍內(nèi)有且僅有一個零點.

若m1>m2,T(x)在實數(shù)范圍內(nèi)先增后減再增,若滿足左區(qū)間函數(shù)大于零,右區(qū)間函數(shù)小于零的情況,則這個區(qū)間也只能存在一個零點.

綜上,T(x)在其定義域范圍內(nèi)有且僅有一個零點.代入一元三次方程通解公式加以處理可得以下結(jié)論:

(1)當(dāng)m2>m1時,脫離角度

θ=arccos

(2)當(dāng)m2

(3)當(dāng)m2=m1時,脫離角度

6 總結(jié)

用GeoGebra將本文和參考文獻(xiàn)的脫離方程分別繪制出來,其中cosθ0=1,m1=20 kg,m2=1 kg,m=30 kg,圖2中實線是前者,虛線是后者,可以看到用這兩種方程求零點實際上是等價的,本方程很大程度上簡化了參考文獻(xiàn)的脫離方程,并且給出了任意情況下脫離角度的求解公式,使得這類問題的處理非常方便.

圖2 結(jié)果對比圖