高中數學教學中培養學生數學抽象思維能力的嘗試

劉曉蘇

摘 要：以高中數學“數學抽象”核心素養為背景，高中數學教師應在實際教學工作中，嘗試通過多種途徑和手段培養學生數學抽象思維能力。文章以《普通高中數學課程標準》（2017年版2020年修訂，以下簡稱《課標》）對數學抽象的描述為依據，分析蘇教版高中數學教材（以下簡稱蘇教版教材）中的數學抽象，提出高中數學教學中培養學生數學抽象思維能力的具體方法。文章還以蘇教版教材為例，圍繞所提出方法列舉實例，意在與一線教師充分交流經驗，培養學生數學抽象思維能力。

關鍵詞：高中數學；數學抽象；思維能力

數學源于對現實世界的抽象，因此在高中數學教學中，數學抽象思維培養具有重要意義。新課標將高中數學學科核心素養劃分為六個部分，數學抽象便是其中之一。高中數學教師應正確認識數學抽象的基本內涵與價值，進而在高中數學教學中，對學生數學抽象思維能力展開積極培養。蘇教版教材被廣泛應用于高中數學教學，其內容對培養學生數學抽象思維能力起著重要的幫助作用。下面將以其為例，通過案例分析探究高中數學教學中培養學生數學抽象思維能力的具體方法。

一、數學抽象思維能力

《課標》指出：數學抽象是指通過對數量關系與空間形式的抽象，得到數學研究對象的素養。數學抽象思維能力，是在數學抽象基礎上形成的一種思維能力，包括“從數量與數量關系中抽象出數學概念”“從事物的具體背景中抽象出一般規律”等思維能力[1]。培養學生數學抽象思維能力，使學生能夠通過不同的事物抽象理解數學的本質特征，是學生深刻掌握數學的必經之路，也是高中數學核心素養教學的必然要求。

二、蘇教版教材中的數學抽象

數學是高度抽象的一門學科。此背景下，高中數學教材通常隱含豐富的數學抽象元素。比如：蘇教版教材高一數學必修第一冊“集合的概念與表示”“充分條件、必要條件、充要條件”“從函數觀點看一元二次方程和一元二次不等式”、高一數學必修第二冊“向量基本定理及其坐標表示”“空間圖形的表面積和體積”等內容，均隱含數學抽象元素，有助于培養學生數學抽象思維能力。高中數學教師應全面開發和應用蘇教版教材，以便在高中數學教學中，實現對培養學生數學抽象思維能力的有效嘗試。

三、高中數學教學中培養學生數學抽象思維能力的方法

（一）立足核心教學內容培養數學抽象思維能力

高中數學核心教學內容包括數學概念、數學題目與數學實驗，具有不同程度的抽象性。此背景下，教師可利用高中數學核心教學內容抽象性，培養學生數學抽象思維能力[2]。

1.數學概念：培養數學抽象思維能力的起點

高中數學概念教學規律為：引入概念、概括概念、明確概念、辨析概念、應用概念、納入概念系統。其中，概括屬性、明確概念、納入概念系統，都與學生數學抽象思維能力的發展息息相關。教師可以將數學概念視為“起點”，培養學生數學抽象思維能力。

教學案例1：蘇教版教材高一數學必修第一冊“集合的概念與表示”

教師首先通過形象的“集合”案例引入概念，帶領學生抽象概括數學概念。比如，教師首先為學生提供下面的“集合”案例：（1）北京、天津、上海等直轄市構成了“中國的直轄市”這一集合。（2）元

素C、h、i、n、a能夠組成一個名為“China”的集

合。（3）1—10以內的所有質數組成一個集合，集合應包含2、3、5、7。其次，教師引導學生觀察這些案例，使其發現案例共性，從中概括“集合”概念。

為使學生理解“集合是什么”，蘇教版教材特別針對“集合的概念與表示”教學內容編排形象、具體的案例。教師打亂教材內容的探究順序，以這些案例為起點展開教學，讓學生從具體情境出發概括數學概念，能夠使學生在“形象比較——抽象分析和概括”的過程中，實現數學抽象思維能力的有效發展。

2.數學題目：培養數學抽象思維能力的重點

高中數學題目抽象性不言而喻，有利于培養學生數學抽象思維能力。教師可以將例題分析視為培養數學抽象思維能力的重點，讓學生在由淺入深的抽象分析中提高數學抽象思維能力。

教學案例2：蘇教版教材高一數學必修第一冊“從函數觀點看一元二次方程和一元二次不等式”

教師在“從函數觀點看一元二次方程”方面，結合教材例1培養學生數學抽象思維能力。第一步，教師課件呈現例1內容，引導學生結合題意與證明過程，抽象分析二次函數與一元二次方程零點的聯系。第二步，教師講解“從函數的觀點看，一元二次方程的根，就是函數值取0時函數自變量的值”等抽象的數學理論。第三步，教師使學生比較自己的結論和以上理論，讓學生繼續從函數觀點看一元二次方程，完善自己的觀點表達。

教師重視教材例題對培養學生數學抽象思維能力的重要價值，穩步引導學生抽象推理教材例題，可以重點發揮高中數學例題教學價值，實現對學生數學抽象思維能力的有效培養。

3.數學實驗：培養數學抽象思維能力的焦點

實驗作為高中數學核心教學內容之一，能夠通過抽象計劃與實踐操作過程，培養學生數學抽象思維能力。教師還可以聚焦高中數學實驗，以“先抽象計劃，再實踐操作”為焦點，對學生數學抽象思維能力展開培養。

教學案例3：蘇教版教材高二數學選擇性必修第一冊“雙曲線”

教師組織學生展開“雙曲線與直線的位置關系”實驗，進而使學生在空間幾何關系的抽象探究中，發現數學抽象思維能力。具體過程中，教師使用GeoGebra幾何繪圖工具。教師提前立足智慧課堂，為學生準備GeoGebra幾何繪圖軟件。課上，教師先示范幾何繪圖，通過軟件繪制與對應的數學圖形，為學生提供實驗思路。緊接著，教師要求學生結合演示實驗抽象思考實驗計劃，假設雙曲線與直線的位置關系及其影響因素。最后，教師使學生在直線與雙曲線解析式中代入具體數字，自主繪制新的數學圖形，感受不同“數字”對雙曲線與直線位置關系的影響。

實驗為學生提供“化抽象為形象”的探究空間，同時滿足學生的抽象探究需要。通過抽象計劃、形象操作以及抽象分析實驗操作結果，學生不僅發現雙曲線與直線相交、相切、相離的數學規律，而且將數學抽象思維能力提升到更高層次。

（二）利用關鍵教學過程培養數學抽象思維能力

高中數學教學過程與學生抽象思維能力的發展密切相關，教學過程有助于學生思維活動，自然能在潛移默化中培養學生抽象思維能力，反之則不然。教師也應利用高中數學關鍵教學過程調動學生思維，培養其抽象思維能力[3]。而分析高中數學關鍵教學過程，其主要包括：導學過程、探究過程、應用過程。

1.導學過程：情境培養數學抽象思維能力

某種意義上，數學的抽象性決定了高中數學教學的枯燥性，使部分學生在高中數學教學中缺乏學習興趣，不利于其數學抽象思維能力的培養。而在導學過程中創設生動情境，有助于改善此情況。高中數學教師可以借助生活元素與信息化手段，完善高中數學教學流程，發揮導學情境的積極作用培養學生數學抽象思維能力。

教學案例1：蘇教版教材高一數學必修第二冊“空間圖形的表面積和體積”

一方面，教師通過“生活中的直棱柱”情境導入教學。教師提前在生活中收集符合棱柱、棱錐、棱臺等空間圖形特征的實物，進而將數學實物應用在教學導入過程，鼓勵學生圍繞實物情境想象不同空間圖形的展開圖，鍛煉數學抽象思維能力。另一方面，教師通過信息化教學工具，向學生呈現不同空間圖形的3D圖，讓學生繼續觀察不同的空間圖形，想象其展開圖與表面積、體積關系。

首先，情境具有生動性，能夠激發學生學習興趣，為在高中數學教學中培養學生數學抽象思維提供良好的學習心理環境。其次，想象是抽象的一種特殊形式。通過立足數學情境展開想象，學生在生動的數學背景下激活和運用數學抽象思維能力，可使教師有效培養其數學抽象思維能力。

2.探究過程：問題培養數學抽象思維能力

思維的提升與發展，是積極思考的必然結果。由此可見，高中數學教學中培養學生數學抽象思維能力，應給予學生充足的思考引導。問題探究能夠滿足此要求。教師可以在高中數學教學探究過程中，有意為學生提供環環相扣的問題。這樣，學生全面調動數學抽象思維探究問題串，自然能加強對數學抽象思維能力的訓練，取得一定進步和成長。

教學案例2：蘇教版教材高一數學必修第二冊“向量應用”

教師立足向量在物理中的應用價值，根據學生抽象思維能力發展要求設計下面的問題串：（1）在

一個物理情境中，存在兩個大小相等的共點力，如果當這兩個力的夾角為90°時，合力大小為20N，那么當這兩個力的夾角為120°時，合力大小為多少？你是怎樣計算的？（2）已知河水的流速為每秒2米，現有以漂浮物沿垂直于河岸的方向，以每秒10米的速度向對岸漂浮，則該漂浮物在靜水中的漂浮速度為多少？（3）有一艘船從南岸向北岸橫渡，測量結果表示，本日水流速度為每小時3000米，水流方向為正東，風向為北偏西30°。受風力影響，船在靜水中的漂行速度為每小時3000米，如果使其沿由南向北方向垂直于河岸的方向，以每小時千米的速度橫渡，則船本身的速度大小是多少？船的航行方向是哪個方向？

問題抽象性由淺入深，符合教材編排規律以及學生在高中數學教學中的抽象思考規律。教師以問題引導學生，一邊提出問題，一邊為學生點撥抽象思考方向，逐步使學生深化抽象思考，培養其數學抽象思維能力。

3.應用過程：作業培養數學抽象思維能力

應用過程，也是理論實踐過程。真正具有意義的高中數學教學應實現“理實一體化”，這要求教師在高中數學教學中培養學生數學抽象思維能力時，既重視學生對理論的抽象分析，也關心學生在實踐應用方面的抽象思考。而在實踐應用方面，教師可以通過作業引導學生。教師可以精心設計高中數學課后作業，并且督促學生在作業方面靈活應用所儲備的理論知識。學生每完成一項作業，都需要對作業內容與理論知識的關系展開抽象思考，從而繼續發展其數學抽象思維能力。

教學案例3：蘇教版教材高二數學選擇性必修第一冊“圓與方程”

教師基于“圓的綜合應用”教學內容，為學生設計以下課后作業：截至2023年4月21日8時，2023年第1號臺風“珊瑚”位于菲律賓馬尼拉偏東方向約3790公里的西北太平洋洋面上，中心附近最大風力有8級（20米/秒），中心最低氣壓995百帕，七級風圈半徑100～150公里。預計臺風“珊瑚”將以每小時5～10公里的速度向西北方向移動，強度變化不大。那么在多長時間后，菲律賓馬尼拉地區會受到影響？該影響持續多長時間？請以菲律賓馬尼拉為坐標原點，建立平面直角坐標系進行解答。

作業圍繞圓的綜合應用問題展開，屬于綜合題，具有高度抽象性，要求學生在實踐應用過程中，首先抽象分析臺風形成與運動路徑的數學特征，其次抽象分析題目內容，判斷問題答案。教師將作業發布給學生，督促學生運用數學抽象思維能力完成作業，既能使學生鞏固學習內容，又能增強學生數學抽象思維能力。

（三）借助自主學習模式培養數學抽象思維能力

歸根結底，學生是思維和學習的“主人”。這也說明，高中數學教學中培養學生數學抽象思維能力，需要重視學生的主體地位，讓學生最大限度地經歷抽象的思維活動過程[4]。對此，教師可以構建自主學習模式，在課堂適度

“放手”。

例如：蘇教版教材高二數學選擇性必修第一冊“圓與圓的位置關系”教學，基于“圓的方程”以及“直線與圓的位置關系”學習經驗，學生基本能對“圓與圓的位置關系”自主展開抽象分析。教師可以遷移任務型教學方法，設計“圓與圓的位置關系”任務型教學方案。課上，教師直接向學生出示任務要求，提示學生自主學習，抽象分析圓與圓的位置關系。課下，教師督促學生完成任務報告，使學生運用抽象的數學語言反饋自主學習成果。

高中階段，學生已經掌握相對豐富的數學知識和技能，能夠運用數學的思想和方法獨立探究問題，同時在問題中抽象出數學本質。教師根據學生特點構建自主學習模式，為學生提供自主學習任務，讓學生在自主學習過程中運用抽象思維，也是對學生數學抽象思維能力的培養。學生在自主學習過程中，可以選擇始終保持獨立的抽象思考狀態，也可以自愿建立學習小組，深化數學抽象的相關交流。而無論選擇任何一種自主學習方法，學生都能在加強抽象思考的過程中，實現數學抽象思維能力的進一步發展。

結束語

數學抽象是高中數學核心素養的重要組成部分，培養學生數學抽象思維能力，是高中數學教學的關鍵任務之一。文章探究高中數學教學中培養學生數學抽象思維能力的方法，得出一些結論。高中數學教師可以根據蘇教版教材中的數學抽象，通過核心教學內容、關鍵教學過程與自主學習模式培養學生數學抽象思維能力，促進學生高中數學核心素養的形成與發展。其中，核心教學內容包括數學概念、數學題目與數學實驗，關鍵教學過程包括導學過程、探究過程、應用過程。

參考文獻

[1]袁志勇.新高考背景下培養學生數學抽象素養的策略探究[J].讀寫算，2022（16）：144-146.

[2]陳娟.高中數學教學中學生抽象能力的提升途徑探究[J].文理導航（中旬），2022（6）：7-9.

[3]湯仲劍.高中數學核心素養之數學抽象思維培養策略[J].高考，2022（13）：57-59.

[4]黎方平，張丹.提升高中生數學抽象素養的途徑[J].教育科學論壇，2022（10）：52-55.