基于Python的直方圖均衡探討

惠為君

（鹽城工學院，江蘇鹽城 224051)

0 引言

圖像增強是指對圖像進行灰度變換，使圖像與視覺響應相匹配，加強圖像的視覺效果的一種圖像處理方法。灰度變換的方法很多，其中的一種是點運算，指用一個單調遞增的函數對原圖像的灰度進行非線性運算，從而實現對比度增強[1-3]。

如圖1 所示，x 表示變換源圖像的灰度值，y 表示目標圖像的灰度值。變換函數y=T(x)需要滿足以下兩個要求：

圖1 變換函數

1) 0 ≤x ≤255,0 ≤y ≤255,x 和y 的取值范圍相同。這一條保證變換以后，像素值不能超過范圍。

2)T(x)在區間[0 255]上嚴格單調遞增。這一條保證源像素值和目標像素值大小一一對應。不允許出現灰度倒置甚至于灰度翻轉，否則影響視覺效果。

不是所有的單調遞增函數都可用于灰度變換。常用的變換函數有兩種形式，函數Ⅰ和函數Ⅱ。對于函數Ⅰ,源圖像像素范圍[0 128]變換到[0 N2],對于函數Ⅱ,則變換到[0 N1]。可以看出，N2＞128，N1＜128,函數Ⅰ拉伸了低灰度級，壓縮了高灰度級，函數Ⅱ則相反。可知，曲線斜率大于1的時候，灰度拉伸，小于1的時候，灰度壓縮。

1 直方圖均衡原理

一幅數字圖像中，不同灰度值的像素的數目是不同的。由于光照等的影響，像素值的分布不同，如果光照較強，高灰度級像素較多，如果光照弱，低灰度級像素較多[4]。

設置的變換函數需要把灰度值相對集中的灰度范圍拉伸，灰度值分布較少的灰度范圍壓縮，使得總體上灰度的分布更均勻。

在需要拉伸的灰度區域，設置的變換函數斜率大于1，在需要壓縮的灰度區域變換函數斜率小于1。因此，灰度值越集中，對應的變換函數的斜率越大，反之越小，灰度變換函數的斜率與灰度分布有關。

直方圖均衡指的是利用圖像的直方圖，構建符合以上要求的變換函數，實現圖像增強[5]。

為了方便討論，假設圖像的灰度值連續分布，其取值范圍[0，L-1]。灰度值分布具有隨機性，用概率密度為f(x)表示，其含義表示灰度值x 附近單位區間的像素數目占總數的百分比。

T(x)單調遞增，x,y 的灰度值變化范圍都取[0，L-1]，符合變換函數的要求。灰度值y 對應的概率密度為g(y)。對于任意x,必然存在y，使得公式(2)成立。

式(2)兩邊對x求導：g(y)dy/dx=f(x)

式(1)對x求導：dy/dx=(L -1)f(x)

得到g(y)=1/(L -1)

變換以后，概率密度函數g(y)為常數，灰度值分布為均勻分布。變換之前，x 的分布局限在一個較小的范圍，反映在視覺效果上，圖像不清晰，變換以后灰度值分布是均勻的，圖像對比度增強，在視覺效果上圖像更清晰。

對于數字圖像，j表示灰度級，xj表示灰度級j對應的灰度值，nxj表示灰度值為xj的像素數目。灰度值xj的范圍為[0,L-1]，N 表示像素的總數目。和模擬圖像對應的數字圖像變換函數定義如表1所示。最終得到變換函數：

表1 數字圖像灰度變換函數

由于變換函數與直方圖有關，變換結果為均勻分布，因此稱這種圖像增強方法為直方圖均衡。yi為目標圖像的灰度值，xi為源圖像的灰度值，i為對應的灰度級。

2 Python實現

直方圖均衡算法實現步驟如下：

1)獲取圖像灰度級分布i。

2)統計灰度級i對應的像素數目ni。

3)計算灰度直方圖的歸一化概率表達式:p(si)=ni/N,N為像素總的數目。

4)計算累積灰度直方圖。

5)進行取整擴展，計算映射后輸出圖像各灰度級對應灰度值的歸一化表達形式tk。

6)確定映射關系sk→tk。

7)統計映射后各灰度級的像素數目nk。

8)得到新的灰度統計直方圖的歸一化概率表達形式：pt(tk)=nk/N，N 為輸出圖像的像素數目，即原始圖像的像素數目。

基于Python 和OpenCV 實現以上直方圖均衡算法[6-7]。其步驟如下：

1) 調用cv2.imread()函數，讀取JPEG 數字圖像[2]，通過參數設置，直接保存為n灰度圖像數據。對各個灰度級進行累計計算，并歸一化。

2)累積直方圖函數pix_gray(img_gray)，累積直方圖函數乘以(L-1)得到轉換函數。

3)利用轉換函數實現源圖像的直方圖均衡，得到目標圖像。

4)保存目標圖像。

在讀取圖像之后，實現直方圖灰度級統計的函數如下：

其中，N=h×w,表示總的像素數目，lut 存放變換的結果。

3 測試及分析

測試了三種256 色灰度圖像，這三種圖像的灰度值分布都比較集中，一種灰度值較小的像素較多，如圖2 所示，一種灰度值居中的像素較多，如圖3 所示，一種灰度值較大的像素較多，如圖4所示。

圖2 灰度值偏小圖像及處理結果

圖3 灰度值居中圖像及處理結果

圖4 灰度值偏大圖像及處理結果

由圖2 直方圖可知，圖像像素值主要分布在0～100 之間，源圖像偏暗。轉換函數分為兩個部分，0～100之間部分斜率較大，對0～100級之間的灰度有很好的拉伸效果。由于拉伸以后，圖像灰度均勻分布，目標圖像清晰很多。

由圖3 直方圖可知，圖像像素值主要分布在100～200 之間，源圖像灰蒙蒙的。轉換函數在100～200之間部分斜率較大，對100～200級之間的灰度有很好的拉伸效果。由于拉伸以后，汽車和地磚清晰很多。

由圖4 直方圖可知，圖像像素值主要分布在100～255之間，源圖像偏亮。轉換函數在100～200之間部分斜率較大，對100～255級之間的灰度有很好的拉伸效果。由于拉伸以后，陽光下的植物清晰很多。

4 結束語

由于光照等環境的影響，圖像的灰度值分布可能比較集中，這就導致圖像對比度較小、不清晰。利用直方圖累積函數作為變換函數可以對源圖像進行點運算，對源圖像的灰度范圍進行拉伸或壓縮，目標圖像的灰度值將是均勻分布，這樣圖像的對比度將增強，清晰度將提高。直方圖均衡將灰度值集中的灰度值拉伸，并不代表灰度值一定增多。