燕海軍

摘 要： 函數與導數的綜合應用問題是高考中一個重要的解答題類型.結合一道高考真題的分析，從不同視角切入，利用函數與導數思維來證明對應的不等式成立，歸納解題技巧與策略，指導數學教學與學習.

關鍵詞： 函數；導數；不等式；最值

涉及函數的不等式恒成立問題，是函數與導數的綜合應用的體現，是高中數學此類模擬知識的重要內容之一，也是歷年高考中的一大熱點之一.常常需要利用導數法來轉化，結合函數的單調性、極值與最值等來處理，能夠很好地考查學生的數學基本知識，數學基本思想方法和數學基本能力，以及數學學科的核心素養，倍受各方關注.

1 真題呈現

【高考真題】 ??（2023年高考數學新課標Ⅰ卷·19） 已知函數f（x）=a（ e x+a）-x.

（1） 討論f（x）的單調性；

（2） 證明：當a＞0時，f（x）＞2 ln ?a+ 3 2 .

2 真題剖析

函數與導數的綜合應用問題，是歷年高考試卷中解答題不變的考點之一，形式多樣，變化多端，創新新穎.

而在2023年高考數學新課標Ⅰ卷中，函數與導數的綜合應用問題放在解答題第三個的位置上，難度在一定程度上有所降低，屬于中等難度程度，也是近幾個新高考數學試卷中此類問題位置變化最明顯的一次，也是位置最靠前的一次.

這樣回避了前幾年新高考數學試卷中此類問題位于解答題的最后兩題的位置，在一定程度上也給以后的數學教學與學習提供一個明確的方向.導數作為研究函數及其應用問題的一種重要工具，重在基礎，重在根本，重在導數應用的本質屬性，而不在于繁雜的邏輯推理與復雜的數學運算.

因而，把握函數與導數的綜合應用問題的根本技巧策略是解決此類問題的關鍵，也是數學教學與學習中的重點所在.

3 真題破解

解析： ?（1） 依題知函數f（x）的定義域為 R ，且f ′（x）=a e x-1，

當a≤0時，f ′（x）＜0，故函數f（x）在 R 上單調遞減；

當a＞0時，由f ′（x）=a e x-1=0，解得x=- ln ?a，

則當x∈（-∞，- ln ?a）時，f ′（x）＜0，函數f（x）單調遞減；當x∈（- ln ?a，+∞）時，f ′（x）＞0，函數f（x）單調遞增；

綜上分析，當a≤0時，函數f（x）在 R 上單調遞減；當a＞0時，函數f（x）在（-∞，- ln ?a）上單調遞減，在（- ln ?a，+∞）上單調遞增.

解后反思： ?根據函數的求導處理，利用導函數的正負取值情況來判斷函數的單調性，是解決問題的基本思維方法.要注意的是，涉及函數含參，必須對參數的取值情況進行合理的分類討論，這也方便對導函數的正負取值情況的判斷.分類討論時，要注意不重復不遺漏，全面細致.

（2） ??方法1 ?（函數最值法）

由（1）知，當a＞0時，f（x） ?min =f（- ln ?a）=a（e- ln ?a+a）+ ln ?a=1+a2+ ln ?a，

令函數g（a）=1+a2+ ln ?a- 2 ln ?a+ 3 2 ?=a2- ln ?a- 1 2 ，a＞0，

則有g′（a）=2a- 1 a = 2a2-1 a ，由g′（a）=0，解得a= ?2 ?2 ，

則當x∈ 0， ?2 ?2 ?時，g′（a）＜0，函數g（a）單調遞減；當x∈ ??2 ?2 ，+∞ 時，g′（a）＞0，函數g（a）單調遞增，

所以g（a）≥g ??2 ?2 ?= ??2 ?2 ?2- ln ???2 ?2 - 1 2 =- ln ???2 ?2 ＝ ln ??2 ＞0，所以f（x）＞2 ln ?a+ 3 2 ，證畢.

解后反思： ?延續第一小問的結果，直接利用函數f（x）的單調性來確定其最小值問題，通過作差比較法構建新的函數，進一步通過求導與運算，結合函數的單調性判斷與最值的確定可證明新構建的函數恒為正，進而得以證明對應的不等式.函數最值法比較直接地延續了前面問題中解題思路與結果，解法方法自然，水到渠成.

方法2 ?（切線放縮法）

當a＞0時，利用重要的切線不等式，可得f（x）=a（ e x+a）-x= e x+ ln ?a+a2-x≥x+ ln ?a+1+a2-x=a2+ ln ?a+1，當且僅當x+ ln ?a=0時等號成立，

以下部分同方法1，所以f（x）＞2 ln ?a+ 3 2 ，證畢.

解后反思：借助重要的切線不等式 e x≥x+1，對原函數關系式進行放縮處理，確定函數的最小值，并在此基礎上同方法1構建新函數，利用導數及其應用來分析與證明.利用重要的切線不等式來放縮處理，在解決指數型、對數型的函數不等式問題中經常用到，熟悉掌握重要的切線不等式是基礎，也是破解問題的關鍵所在.

方法3 ?（逆推分析法）

由（1）知，當a＞0時，f（x） ?min =f（- ln ?a）=a（ e - ln ?a+a）+ ln ?a=1+a2+ ln ?a，

要證不等式f（x）＞2 ln ?a+ 3 2 成立，只需證1+a2+ ln ?a＞2 ln ?a+ 3 2 成立，等價于a2- 1 2 ＞ ln ?a，

結合重要的切線不等式 ln ?a≤a-1，當且僅當a=1時等號成立，

即證不等式a2- 1 2 ＞a-1成立，等價于a2-a+ 1 2 ＞0，

因為a2-a+ 1 2 = a- 1 2 ?2+ 1 4 ＞0成立，所以f（x）＞2 ln ?a+ 3 2 ，證畢.

解后反思： ?分析法是推理證明中非常常用的一種基本方法，比較契合思維過程，從結論入手，合理通過等價變形以及相關公式、定理等的應用，逆向思維，反向操作.特別在證明此類不等式成立問題中，也是比較常用的方法.在逆推分析過程中，要保證不等式成立的等價性，并會加以合理變形與轉化，以及巧妙的過渡應用.

方法4 ?（同構法）

當a＞0時，要證不等式f（x）＞2 ln ?a+ 3 2 成立，只需證a（ e x+a）-x＞2 ln ?a+ 3 2 成立，

等價于 e x+ ln ?a-（x+ ln ?a+1）+ 1 2 （a2- ln ?a2-1）+ 1 2 a2＞0，

借助重要的切線不等式 e x≥x+1，可得 e x+ ln ?a-（x+ ln ?a+1）≥0，

又由于重要的切線不等式 ln ?a≤a-1，可得 1 2 （a2- ln ?a2-1）≥0，

而 1 2 a2＞0，故不等式 e x+ ln ?a-（x+ ln ?a+1）+ 1 2 （a2- ln ?a2-1）+ 1 2 a2＞0顯然成立，

所以f（x）＞2 ln ?a+ 3 2 ，證畢.

解后反思： ?結合所要證明的不等式成立加以分析法處理，并對所要證明的不等式應用同構法，合理分拆并重組，利用重要的切線不等式進行放縮處理，這是同構法的難度與重點所在.同構法的目的是通過結合共同點等結構特征來合理變形與轉化，進而方便利用指數型、對數型的重要切線不等式進行綜合與應用.

4 教學啟示

4.1 方向明確，按部就班

此類涉及函數不等式恒成立的問題，解題思路與方向相對比較明確，關鍵就是構造與之相吻合、比較恰當的函數，把不等式恒成立問題合理轉化，借助導數法對函數的單調性、極值或最值問題進行分析與處理.

在具體證明不等式或解決相關的不等式恒成立問題時，合理按照既定的方向，按部就班，逐步推進，只是處理過程中的函數的構建不同，以及邏輯推理與數學運算量的大小不一而已，基本上都可以突破.

數學教學與學習過程中要注重對考生這方面自信心的養成.

4.2 把握根本，掌握技巧

解決此類函數與導數的綜合應用問題時，切入點眾多，技巧性和方向性強，思維方法多樣，具有一定的綜合性與交匯性.

在具體解題過程中，隨著問題的深入分析與解決，巧妙形成完整的數學知識體系，清晰數學解題思路，綜合應用相應的推理方法，從而提升學生的理解問題、分析問題與解決問題的能力，提升數學能力，拓展數學品質，培養數學核心素養.