非均布約束剛度下硬涂層圓柱殼自由振動(dòng)的半解析建模及分析

楊 建, 張 月, 宋 華

(遼寧科技大學(xué) 機(jī)械工程與自動(dòng)化學(xué)院,遼寧 鞍山 114051)

由于結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單和力學(xué)性能好等優(yōu)點(diǎn),薄壁圓柱殼已廣泛應(yīng)用于航空航天等領(lǐng)域,如航空發(fā)動(dòng)機(jī)機(jī)匣、空間站艙室、飛機(jī)及火箭殼體等。該類結(jié)構(gòu)在服役過程中,長(zhǎng)期承受動(dòng)力源強(qiáng)迫振動(dòng)等復(fù)雜交變載荷作用,極易發(fā)生過大振動(dòng)、結(jié)構(gòu)共振甚至疲勞失效等現(xiàn)象[1]。硬涂層作為一種特殊的金屬基或陶瓷基熱障涂層材料,同時(shí)兼具高硬度、耐高溫、耐腐蝕和高阻尼等優(yōu)點(diǎn)[2]。近年來,通過表面涂敷硬涂層材料對(duì)薄壁圓柱殼結(jié)構(gòu)實(shí)施阻尼減振的方法受到廣泛關(guān)注,這為航空航天薄壁圓柱殼構(gòu)件在復(fù)雜環(huán)境下的振動(dòng)控制提供了新方向[3-5]。

在航空動(dòng)力裝備中,薄壁圓柱殼結(jié)構(gòu)通常通過螺栓連接的方式固定在其他殼體或基體部件上。由于制造、安裝誤差以及振動(dòng)松動(dòng)等因素的影響,螺栓預(yù)緊力會(huì)呈現(xiàn)一定程度的周向不一致的失諧特征,導(dǎo)致薄壁圓柱殼邊界端部螺栓連接約束剛度呈現(xiàn)周向非均勻分布,進(jìn)而直接影響硬涂層薄壁圓柱殼復(fù)合結(jié)構(gòu)的模態(tài)及強(qiáng)迫振動(dòng)特性[6]。因此,在考慮螺栓連接失諧的基礎(chǔ)上,開展非均布約束剛度下硬涂層薄壁圓柱殼強(qiáng)迫振動(dòng)的半解析建模及分析具有重要實(shí)際意義。

近年來,國內(nèi)外學(xué)者對(duì)螺栓連接彈性約束下的硬涂層薄壁圓柱殼復(fù)合結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)建模及振動(dòng)特性分析開展了大量研究工作。Sun等[7]結(jié)合試驗(yàn)測(cè)試和Rayleigh-Ritz法構(gòu)建了均勻分布彈性約束下硬涂層薄壁圓柱殼的半解析模型,并分析了該復(fù)合結(jié)構(gòu)的固有振動(dòng)特性。Zhang等[8-9]分別利用有限單元法和Rayleigh-Ritz法對(duì)彈性約束硬涂層薄壁圓柱殼的線 性及非線性強(qiáng)迫振動(dòng)特性進(jìn)行分析,并提出一種連續(xù)變剛度彈性約束模型,可以在一定程度上考慮螺栓連接的非均布性,但該模型的應(yīng)用基礎(chǔ)在于各螺栓連接具有相同的約束剛度分布,無法描述螺栓連接的失諧問題。而現(xiàn)有關(guān)于薄壁圓柱殼振動(dòng)問題的研究大多將螺栓連接考慮為均勻分布的彈性約束[10-12]。因此,目前對(duì)于螺栓連接失諧條件下的硬涂層薄壁圓柱殼復(fù)合結(jié)構(gòu)的半解析建模及振動(dòng)特性研究仍不完善,螺栓連接失諧對(duì)復(fù)合結(jié)構(gòu)振動(dòng)特性的影響尚有待進(jìn)一步深入探討。

本文通過建立周向離散化的螺栓連接非均布約束剛度模型,來描述硬涂層薄壁圓柱殼的螺栓連接失諧問題,在此基礎(chǔ)上,利用Rayleigh-Ritz法建立非均布約束剛度下硬涂層薄壁圓柱殼復(fù)合結(jié)構(gòu)自由振動(dòng)的半解析模型。進(jìn)而,深入分析螺栓連接失諧對(duì)硬涂層(NiCoCrAlY+YSZ)薄壁圓柱殼復(fù)合結(jié)構(gòu)固有振動(dòng)特性的作用規(guī)律。

1 周向離散非均布彈性約束模型

以8個(gè)螺栓連接為例,考慮螺栓彈性約束的硬涂層薄壁圓柱殼復(fù)合結(jié)構(gòu)的幾何模型如圖1所示,該結(jié)構(gòu)通過底部法蘭固定在其他基體部件上。圖1中,L和R0分別為圓柱殼的高度和內(nèi)徑。

圖1 螺栓連接硬涂層薄壁圓柱殼復(fù)合結(jié)構(gòu)幾何模型

由于螺栓連接自身的離散性,螺栓附近法蘭與基體的接觸壓力沿周向方向?qū)⒊室欢ǖ姆蔷鶆蚍植肌Ｈ袈菟A(yù)緊力存在周向不一致問題,該接觸壓力還將出現(xiàn)相應(yīng)的周向失諧現(xiàn)象。對(duì)于螺栓連接來說,預(yù)緊力越大,兩連接件之間的接觸壓力越大,螺栓約束剛度則越大,這恰好說明接觸壓力的周向分布規(guī)律則從側(cè)面反映了螺栓約束剛度的周向分布規(guī)律。為有效描述螺栓預(yù)緊力周向不一致所導(dǎo)致的彈性約束剛度失諧問題,本文提出了一種周向離散非均布彈性約束模型,其示意圖如圖2所示。

圖2 硬涂層圓柱殼周向離散非均布彈性約束模型

圖2中:正交曲線坐標(biāo)系xθz的原點(diǎn)位于硬涂層薄壁圓柱殼復(fù)合結(jié)構(gòu)的中性面上;R為中性面曲率半徑;u,v和w分別為中性面上任意一點(diǎn)沿軸向x、周向θ和徑向z方向的位移;t1和t2分別為圓柱殼基體和硬涂層的厚度。與常用的周向均布彈性約束模型一致,該模型采用彈簧約束描述螺栓連接的彈性約束,其約束邊界任意一點(diǎn)的組合彈簧包含x,θ,z方向的3個(gè)平動(dòng)彈簧和繞y軸的一個(gè)扭轉(zhuǎn)彈簧,對(duì)應(yīng)的彈性約束剛度分別為ku,kv,kw和kt。該模型根據(jù)螺栓連接的數(shù)量,將硬涂層圓柱殼結(jié)構(gòu)沿周向以螺栓為中心等距離散為M個(gè)區(qū)域,在假定單個(gè)螺栓連接區(qū)域彈簧剛度均勻分布的條件下,允許不同的螺栓連接具有不同的彈性約束剛度,因而可以有效表征硬涂層圓柱殼的彈性約束剛度失諧問題,是對(duì)傳統(tǒng)周向均布彈性約束模型的進(jìn)一步發(fā)展。對(duì)于周向彈性約束剛度均勻分布的螺栓連接,其彈性約束勢(shì)能Ub為

(1)

式中,wx為?w/?x。然而,由于約束剛度的非均布性,式(1)不再適用于周向離散非均布彈性約束的螺栓連接。為此,本文給出了改進(jìn)后的周向離散非均布彈性約束勢(shì)能Ub,具體可表示為

θλ1=2(λ-1)π/M,θλ2=2λπ/M

(3)

2 自由振動(dòng)半解析建模

本文利用Love一階近似理論和Gram-Schmidt正交多項(xiàng)式構(gòu)建殼體能量方程和位移容許函數(shù),進(jìn)而采用Rayleigh-Ritz法建立非均布約束剛度下硬涂層薄壁圓柱殼復(fù)合結(jié)構(gòu)自由振動(dòng)半解析模型。

2.1 能量方程

根據(jù)Love一階近似理論,對(duì)于h?L的條件下,硬涂層圓柱殼復(fù)合結(jié)構(gòu)中任意點(diǎn)的正應(yīng)變和切應(yīng)變可分別表示為

(4)

(5)

假設(shè)硬涂層圓柱殼處于平面應(yīng)力狀態(tài),則該復(fù)合結(jié)構(gòu)的延伸剛度Aij、耦合剛度Bij和彎曲剛度Dij可通過式(6)進(jìn)行計(jì)算

(6)

(7)

(8)

則硬涂層圓柱殼復(fù)合結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能Uε可通過式(9)進(jìn)行計(jì)算[13]

(9)

式中,ψ和χ分別為剛度系數(shù)矩陣和應(yīng)變向量,其表達(dá)式分別為

(10)

(11)

類似地,硬涂層圓柱殼復(fù)合結(jié)構(gòu)的動(dòng)能Tk可表示為

(12)

式中,ρ為加權(quán)密度,ρ=t1ρ1+ρ2t2。

2.2 位移容許函數(shù)

硬涂層圓柱殼復(fù)合結(jié)構(gòu)中性面上任意一點(diǎn)沿軸向、周向和徑向的位移容許函數(shù)可假設(shè)為

u=U(x)cos(nθ)sin(ωt),v=V(x)sin(nθ)sin(ωt),w=W(x)cos(nθ)sin(ωt)

(13)

式中:n為周向波數(shù);ω為角頻率;U(x),V(x)和W(x)為軸向振型函數(shù),可定義為

(14)

2.3 動(dòng)力學(xué)方程

通過去除彈性約束勢(shì)能Ub、結(jié)構(gòu)應(yīng)變能Uε和動(dòng)能Tk表達(dá)式中的時(shí)間t項(xiàng),構(gòu)造硬涂層圓柱殼的拉格朗日函數(shù)如下

∏=Uε+Ub-Tk

(15)

根據(jù)Rayleigh-Ritz法,分別利用式(18)對(duì)變量am,bm和cm求偏導(dǎo)并賦零值,即

(16)

由此可得到3N個(gè)包含變量am,bm和cm的方程,將其轉(zhuǎn)換成矩陣形式則可表示為

(K*+Kb-ω2M)q=0

(17)

式中:K和M分別為硬涂層圓柱殼的3N×3N階復(fù)剛度矩陣和質(zhì)量矩陣;Kb為周向離散非均布彈性約束的3N×3N階剛度矩陣;q為3N×1階特征向量(Ritz向量),可表示為

q={a1,a2,…,aN,b1,b2,…,bN,c1,c2,…,cN}T

(18)

將式(13)代入式(2)并展開可得任意周向波數(shù)n和任意螺栓個(gè)數(shù)λ條件下的周向離散非均布彈性約束勢(shì)能Ub的通用表達(dá)式,去除時(shí)間項(xiàng)后可表示為

(19)

其中,

(20)

則周向離散非均布彈性約束剛度矩陣Kb為

(21)

(22)

其中,

(23)

矩陣K*和M的具體表達(dá)式可參考文獻(xiàn)[15]。由于復(fù)彈性模量中引入了各層材料的耗損因子,則材料阻尼矩陣D已經(jīng)包含在硬涂層圓柱殼復(fù)剛度矩陣K*的虛部中。通過求解動(dòng)力學(xué)方程式(17),便可得到特征向量q,進(jìn)而獲得各種彈性約束失諧情況下的模態(tài)振型。同時(shí),周向波數(shù)n下的固有頻率f可通過下式進(jìn)行計(jì)算

|K*+Kb-ω2M|=0

(24)

fn=Re(ωn)/2π

(25)

式中,函數(shù)Re(x)為返回復(fù)數(shù)x的實(shí)部。

3 分析與討論

3.1 模型驗(yàn)證

本文以涂敷NiCoCrAlY+YSZ硬涂層的圓柱殼復(fù)合結(jié)構(gòu)為例,搭建了螺栓連接硬涂層圓柱殼振動(dòng)試驗(yàn)平臺(tái),以驗(yàn)證所研發(fā)的半解析模型的合理性。試驗(yàn)測(cè)試系統(tǒng)如圖3所示,硬涂層圓柱殼的底部通過8個(gè)M8螺栓將其固定到水平振動(dòng)臺(tái)臺(tái)面上,螺栓擰緊力矩設(shè)置為40 N·m,通過力錘法獲得硬涂層圓柱殼的各階固有頻率,其中錘擊后硬涂層圓柱殼的時(shí)域加速度響應(yīng)則通過激光多普勒測(cè)振儀進(jìn)行測(cè)量。需要說明的是,由于試驗(yàn)條件限制,在固有頻率測(cè)試過程中會(huì)出現(xiàn)一定程度的丟階現(xiàn)象。

圖3 硬涂層圓柱殼自由振動(dòng)試驗(yàn)測(cè)試系統(tǒng)

本文所采用的硬涂層圓柱殼的幾何參數(shù)為:高度L=95 mm,內(nèi)徑R0=142 mm,圓柱殼基體厚度t1=2 mm,硬涂層涂敷厚度t2=0.31 mm,相關(guān)材料參數(shù)如表1所示。這里為方便模型驗(yàn)證,針對(duì)周向離散非均布彈性約束模型,各離散螺栓連接區(qū)域的約束剛度值均取為相同,具體如表2所示。

表1 復(fù)合結(jié)構(gòu)材料參數(shù)

表2 周向離散非均布彈性約束剛度取值

硬涂層圓柱殼固有頻率的理論計(jì)算和試驗(yàn)測(cè)試結(jié)果對(duì)比如表3所示,其中偏差C=(A-B)/B×100%。

表3 硬涂層圓柱殼固有頻率的計(jì)算與試驗(yàn)值對(duì)比

從表3中可以看出,結(jié)構(gòu)固有頻率的計(jì)算值與試驗(yàn)值的最大偏差為4.54%,具有較好的一致性;同時(shí),該計(jì)算值與經(jīng)典的周向均布彈性約束模型計(jì)算結(jié)果完全一致,該對(duì)比結(jié)果有效驗(yàn)證了半解析模型和周向離散非均布彈性約束模型的正確性。

另外,作為試驗(yàn)驗(yàn)證的補(bǔ)充,這里將理論和有限元計(jì)算結(jié)果作進(jìn)一步的對(duì)比,如表4所示。由于有限元方法中模擬螺栓連接的彈簧約束剛度的含義、單位及取值均與半解析不同[16],為保證結(jié)果的可比性,這里以固支作為硬涂層圓柱殼底部的邊界條件。對(duì)比結(jié)果顯示,結(jié)構(gòu)固有頻率的計(jì)算值與有限元值的一致性較好,進(jìn)一步驗(yàn)證了該半解析公式的正確性。

表4 硬涂層圓柱殼固有頻率的半解析與有限元值對(duì)比

3.2 約束剛度失諧參數(shù)影響分析

螺栓連接區(qū)域約束剛度的失諧對(duì)硬涂層圓柱殼復(fù)合結(jié)構(gòu)的振動(dòng)特性具有重要影響。因此,這里分別以單螺栓約束剛度失諧為例,分析不同螺栓連接數(shù)量(以M=8,16,32和64為例)條件下失諧參數(shù)對(duì)該復(fù)合結(jié)構(gòu)各階固有頻率的影響規(guī)律?；诒?中各螺栓的周向離散非均布彈性約束剛度值,定義失諧參數(shù)為相應(yīng)約束剛度的縮放系數(shù)rk,其取值范圍假定為0.50～1.00,間隔為0.05。其中,螺栓個(gè)數(shù)M=8,16,32和64時(shí),約束剛度失諧參數(shù)對(duì)結(jié)構(gòu)各階固有頻率的影響規(guī)律分別如圖4所示。從圖4可以看出,在不同螺栓數(shù)量下,隨著約束剛度縮放系數(shù)rk的增加,復(fù)合結(jié)構(gòu)的各階固有頻率整體呈現(xiàn)逐漸增加的變化規(guī)律,相應(yīng)的變化率則呈現(xiàn)逐漸減小的變化趨勢(shì)。

圖4 不同螺栓數(shù)量下失諧參數(shù)對(duì)各階固有頻率的影響

在螺栓數(shù)量M=8條件下,周向波數(shù)n=5,9時(shí)的固有頻率變化則出現(xiàn)略微減小的變化規(guī)律,且當(dāng)周向波數(shù)n=1,3,5,7和9奇數(shù)時(shí),固有頻率對(duì)約束剛度縮放系數(shù)rk的變化相對(duì)較為敏感;在螺栓數(shù)量M=16條件下,周向波數(shù)n=5,6和7時(shí)的固有頻率變化則出現(xiàn)略微減小的變化趨勢(shì),且當(dāng)周向波數(shù)n=1,2和3時(shí),約束剛度縮放系數(shù)rk的變化對(duì)結(jié)構(gòu)固有頻率影響較為顯著,當(dāng)周向波數(shù)n≥4時(shí),不同失諧參數(shù)下固有頻率隨周向波數(shù)n的變化規(guī)律基本不變。在螺栓數(shù)量M=32條件下,失諧參數(shù)對(duì)結(jié)構(gòu)固有頻率的影響主要集中在n=1,2,3,4,5和6前6個(gè)周向波數(shù)范圍內(nèi),且不同失諧參數(shù)下固有頻率隨周向波數(shù)n的變化規(guī)律基本保持一致。在螺栓數(shù)量M=64條件下,失諧參數(shù)對(duì)結(jié)構(gòu)固有頻率的影響主要集中在n=2,3,4,5,6,7和8中間這7個(gè)周向波數(shù)范圍內(nèi),且與M=32情況類似,不同失諧參數(shù)下固有頻率隨周向波數(shù)n的變化趨勢(shì)保持較好的一致性。

綜合圖4中各曲線的變化規(guī)律可知,隨著螺栓數(shù)量的增加,約束剛度失諧參數(shù)對(duì)硬涂層圓柱殼復(fù)合結(jié)構(gòu)固有頻率的顯著影響整體上逐漸由低周向波數(shù)轉(zhuǎn)向高周向波數(shù)。由于硬涂層圓柱殼周向波數(shù)的增加與螺栓數(shù)量的增加存在一定程度的一致性,因此,這一現(xiàn)象可能與螺栓數(shù)量增加所導(dǎo)致的螺栓連接區(qū)域的減小存在密切聯(lián)系。

4 結(jié) 論

本文通過半解析建模及不同螺栓數(shù)量下約束剛度失諧參數(shù)對(duì)硬涂層圓柱殼復(fù)合結(jié)構(gòu)自由振動(dòng)特性對(duì)比分析,得到以下結(jié)論:

(1) 硬涂層圓柱殼復(fù)合結(jié)構(gòu)固有頻率的計(jì)算值與試驗(yàn)值的偏差不超過4.54%,具有較好的一致性,同時(shí)與有限元計(jì)算值基本一致,且與經(jīng)典的周向均布彈性約束模型結(jié)果完全一致,有效驗(yàn)證了該半解析模型及周向離散非均布彈性約束模型的正確性。

(2) 在不同螺栓數(shù)量下,隨著約束剛度失諧參數(shù)的增加,固有頻率整體呈現(xiàn)逐漸增加的變化趨勢(shì)其變化速率逐漸減小。且螺栓數(shù)量越多,不同失諧參數(shù)下固有頻率隨周向波數(shù)變化的一致性越好。

(3) 隨著螺栓數(shù)量的增加,約束剛度失諧參數(shù)對(duì)硬涂層圓柱殼固有頻率的顯著影響整體上由低周向波數(shù)轉(zhuǎn)向高周向波數(shù),這可能與螺栓數(shù)量增加所導(dǎo)致的螺栓連接區(qū)域減小存在密切聯(lián)系。