含集中質量的斜置輸流管路的流體誘發振動分析

劉 偉, 趙千里

(常州機電職業技術學院 機械工程學院,江蘇 常州 213164)

隨著人類在探索土地、深海、太空等領域的不斷深入,對各類機械裝備的性能也提出了越來越苛刻的要求,輸流管路作為大部分整機系統不可或缺的組成部分,因其在制造材料以及截面形狀等方面具有多樣性,還因其便于生產制造、可通過組合構造任意空間構型等特點,輸流管路被廣泛應用于各種場合,如:空間站機械臂的液壓系統,長距離石油、天然氣的傳輸系統,城市的供熱管網系統,中央空調的送風系統,農田灌溉用水泵的抽水、送水系統,化工行業液體原料的輸送系統等。

正因如此廣泛的應用范圍,導致在正常服役期間,輸流管路難免會因內部流體壓力不均、流速過快、存在雜質、材料本身存在缺陷、外部存在激振源等因素而誘發管路系統發生機械振動。在近半個世紀以來,借助飛速發展的自然科學技術,學者們從多個方面對管路的流固耦合振動問題開展了研究逐漸形成了兩大研究分支[1]：其一,建立問題的數學模型;其二,開發高效準確的數值方法。

目前,人們在建立研究輸流管路流固耦合振動問題的數學模型時多以梁模型為理論基礎,如:以Paidoussis教授為首的科研團隊[2-7]基于Euler-Bernoulli梁模型,從支承、材料屬性、空間構型、激勵等方面出發建立了管路的振動微分方程,并提出了許多重要的理論,如:Paidoussis耦合模態顫振、關于彎管軸線是否可伸長的三大理論等。

在數值方法方面,在近半個世紀以來,隨著計算機技術的不斷進步,大量的數值方法也隨之發展起來,在求解管路振動特性方面典型的方法主要包括:傳遞矩陣法[8],微分變換法[9],微分求積法[10]或其廣義形式[11],格林函數法[12]等。

前面提到的所有研究結果的共同點在于:管路的放置方向為水平或豎直。考慮到在實際的工程應用中,傾斜安置的管路并不少見,如:草坪的噴灑灌溉系統、噴泉的供水系統等。此外,很多場合下管路上需要添加附加質量以控制系統的動力學表現,如:消防車的水炮、發電站冷卻塔內的噴淋管路、含噴嘴的噴泉供水管路及含附加質量的城市灑水車的出水管路等,然而,同時研究這兩個因素對管路振動特性的影響的報道卻鮮有提及。

由于多數場合下管路兩端的支承沿管路軸線方向具有一定的長度,可以近似視為固定-固定的支承形式,因此,本文重點研究在該支承形式下含集中質量的斜置輸流管路的流體誘發振動特性。首先,以數學表達式表示了由傾斜角度和集中質量引起的管路受力的變化,而后將它們引入Euler-Bernoulli型輸流直管基本的流體誘發振動微分方程,得到了系統的動力學偏微分方程;其次,基于作者提出的基于新型形函數的Galerkin法[13]對上述偏微分方程進行離散,經過推導,獲得了計算系統固有頻率的特征方程;最后,研究了傾角和集中質量對管路固有頻率及臨界流速的影響。

1 振動微分方程

含集中質量的斜置輸流管路的力學模型如圖1所示,其中管路總長以L表示,單位為m。

圖1 含集中質量的斜置輸流管路的力學模型

一般而言,如果不計軸向張力、內部壓力、管路材料的能量耗散、管路和流體間的阻尼等因素,輸流直管的橫向振動微分方程可表示為

式中:E為彈性模量,N/m2;I為橫截面慣性矩,m4;w為截面的橫向位移,m;x為位置坐標,m;t為時間,s;mf為單位長度流體的質量,kg/m;mp為單位長度管路的質量,kg/m;U為橫截面內流體的平均流速,m/s。

在式(1)中,等號左端從左至右依次表示管路的彎曲回復力,流體的離心力,流體的科氏力以及管路和流體的慣性力。該式適用于水平放置且在力學模型上與Euler-Bernoulli梁相近的管路系統。而當管路傾斜放置時,需要計入管路連同流體微元以及附加質量的重力對橫向振動的影響,為便于描述,將重力沿管路軸線方向和與之垂直的法向分解為兩個分力,則上述影響主要體現在:

(1)重力在軸線方向的分力引起的附加力[14],并且在法線方向產生分力;

(2)附加質量引起慣性力發生變化和產生轉動慣性力[15]。

因此,以上兩個因素引起的附加項可以表示為

(2)

式中:Γ=mf+mp+M0δ(x-x0);M0為附加質量,kg;J0為轉動慣量,kg·m2,其定義為集中質量與它在轉動過程中回轉半徑的平方的乘積;g為重力加速度,m/s2;x0為附加質量的安置坐標,m;α為管路的傾斜角度,rad。

將式(2)代入式(1),于是圖1所示管路的控制方程可以表示為

從微分方程的角度來看,式(3)所描述的非齊次偏微分方程與對應的齊次方程的通解一致。而且,從振動力學的角度來看,考慮到管路中心線的法向分力僅能影響振動的平衡位置而與系統的固有特性無關,因此,為了求式(3)的通解,可將其改寫為

(4)

式(4)的無量綱形式為

式中:κ=λ+γδ(ξ-ξ0);ε=γδ(ξ-ξ0)/λ。且各參量的定義為

(6)

對于如圖1所示的兩端固定式輸流直管,其無量綱的邊界條件可以表示為

η(0,τ)=η′(0,τ)=η(1,τ)=η′(1,τ)=0

(7)

2 Galerkin法推導特征方程

式(5)的解可由Galerkin法表示為

(8)

式中:N為形函數的個數;φn為第n個形函數;qn為與之對應的時間相關項。

將式(8)代入式(5),可得

(9)

分別將各形函數與式(9)相乘并將結果關于ξ在區間[0,1]內積分,經過整理可得

(10)

其中,

經過整理,式(10)可以表示為

(11)

式(11)的解可以表示為

q=q0exp(iωτ)

(12)

將式(12)代入式(11),經過整理可得

[K+iωG-ω2M]q0=0

(13)

因此,為了得到q0的非平凡解,需滿足

|K+iωG-ω2M|=0

(14)

式(14)即為求解系統特征值的特征方程。由上述推到過程可知,為了最終求解式(14),需要知道形函數向量的具體形式,本文采用趙千里等研究中的形函數表達式,即

φn=anξn+1(1-ξ)2, (n=1, 2, …,N)

(15)

其中,

形函數向量則表示為

(N+2)(N+3)(N+4)ξN+1}T

(16)

將式(15)引入式(9)～式(14)便可得到系統的特征值。根據上述過程,可知特征值ωj(j=1,2,3,…)僅與E,I,L,U,mf,mp,M,x0和α等系統參數有關且必然為復數,據孫志禮等所述,它的實部表示系統的固有頻率,虛部與系統的阻尼有關。

3 計算結果與分析

以某段兩端固定式輸流直管為例,其中,管路部分的已知參數包括:長度L=1 000 mm,彈性模量E=2.06×1011Pa,密度橫截面內、外圓半徑分別為r1=12 mm,r2=14 mm,密度ρp=7 800 kg/m3,而管路內部的流體為水,密度ρf=1 000 kg/m3,經式(6)參量的定義計算,質量比β=0.262。趙千里等驗證了當函數個數N=8時,本文方法與格林函數法的解已經十分相近,隨著N的增加,本方法的計算結果將無限接近精確解。綜合考慮計算精度和計算效率,下面的計算均取N=8。下面研究分別固有頻率與傾角和集中質量的關系(過程中,出于貼近工程實際的考慮,任取水的流速U=35 m/s),臨界流速與傾角和集中質量的關系,且如無特殊說明,所有參數均采用無量綱的形式。

3.1 固有頻率與傾角的關系

下面計算當γ=μ=0.01,且ξ0=0.4時,傾角α變化時系統的前四階固有頻率隨傾角的變化關系,結果如表1所示。

表1 固有頻率隨傾角的變化

如表1所示,由于原始計算數據的原因,導致當傾角α變化時,各階固有頻率的變化并不明顯,但依然能夠發現:當管路向下傾斜(即α<π)時,計算結果比向上傾斜(即α>π)時的大,意味著同等參數水平下,向上傾斜的管路的剛度更低。

3.2 固有頻率與集中質量的關系

(1)固有頻率與γ和μ的關系

取α=0,ξ0=0.2,且其余參數不變,通過計算,得到固有頻率隨γ和μ的變化曲線,結果如圖2所示。

圖2 固有頻率隨γ和μ的變化曲線

由圖2發現,隨著γ和μ的增加,所有前四階固有頻率在最初階段均急速減小,而后減小趨勢放緩。

(2)固有頻率與ξ0的關系

取α=0,γ=μ=0.01,且其余參數不變,通過計算,得到固有頻率隨ξ0的變化曲線,結果如圖3所示。

圖3 固有頻率隨ξ0的變化曲線

由圖3發現,隨ξ0的增加,固有頻率產生波動形式的變化,此外,由于此處管路兩端的支承形式均為固定式,導致計算結果關于ξ0=0.5對稱。

3.3 臨界流速與集中質量的關系

(1)臨界流速與γ和μ的關系

取α=0,ξ0=0.2,其余參數不變,通過計算,得到在不同組γ和μ的前提下固有頻率隨流速的變化曲線,結果如圖4所示。

圖4 不同γ和μ下固有頻率隨流速的變化關系

根據圖4可以發現:①隨著γ和μ的增加,在未發生任何形式的失穩前,所有固有頻率均減小;②當γ和μ繼續增大,前兩階模態的發散失穩臨界流速始終保持不變,其中,一階對應u1=6.284,二階為u2=8.987。

(2)臨界流速與ξ0的關系

取α=0,γ=μ=0.01,且其余參數不變,通過計算,得到在不同ξ0的前提下固有頻率隨流速的變化曲線,結果如圖5所示。

圖5 不同ξ0下固有頻率隨流速的變化關系

由圖5結合圖4(a),發現無論ξ0如何變化,一階模態發散臨界流速始終保持u1=6.284不變,但在此臨界值以后出現的失穩形式有所差異,具體表現為:當ξ0=0.1時,二階模態首先出現發散,且臨界流速為u2=8.987,之后在u=9.084開始一階、二階模態合二為一;而當ξ0=0.2時,僅二階模態發生發散失穩,且與之對應的臨界流速仍為u2=8.987,之后直到u=10,一階、二階模態始終處于發散狀態;但是,當ξ0=0.5時,由于一階模態發散的提前結束,二階模態在未發生發散時便與一階模態耦合,發生顫振,與之對應的流速的臨界值為uc=8.976,之后二者合二為一,然后在u=9.121再次發散。

4 結 論

(1)通過引入重力和傾角這兩個因素,建立了含集中質量的斜置輸流直管的橫向振動微分方程,利用基于新型形函數的Galerkin法對該微分方程進行了離散,推導得到了計算管路固有頻率的特征方程。

(2)經過實例計算,發現:同等參數水平下,向上傾斜的管路的剛度更低;隨集中質量的增加,在既定的流速下,固有頻率首先急速減小,然后趨勢放緩,但集中質量的改變不會影響發散臨界流速的計算結果;隨集中質量安置坐標的增加,在既定的流速下,固有頻率波動變化,且安置坐標能夠引起臨界流速和失穩形式的變化。

(3)研究可被借鑒用于研究具有其他支承形式、附加元素的管路的流固耦合振動問題,為后續的振動可靠性等問題的研究作了良好的理論及計算方法方面的鋪墊。