交換半環上半線性空間的冪等變換相關性質

張興均,李 駿

（四川文理學院數學學院,四川 達州 635000）

引 言

半環作為環與分配格的共同推廣,是一種重要的基本代數結構.2007 年,Di Nola［1］等通過半環、半模等概念引入了半線性空間的概念,之后許多學者在半線性空間中做了大量的工作,得到了許多與經典線性代數不同的結果.如:半線性空間中基的向量個數不具有惟一性,線性無關的向量組不一定能擴充為半線性空間的基等.［1］線性變換是研究線性空間中向量間相互關系的重要工具.2020年,張興均［2］等人在半線性空間中對線性變換進行了推廣,介紹了半線性空間上線性變換、冪等變換等概念,得到了線性變換的值域與核的一些基本關系.本文進一步地介紹了交換半環上半線性空間中冪等變換的一些性質,得到了與經典線性代數中不一樣的結果.為了后續研究需要,接下來給出一些已知定義及一些基本概念.

1 基本概念

定義1.1［3-4］半環L=（L,+,·,0,1）是滿足以下性質的代數結構:

1）（L;+,0）是交換幺半群；2）（L;·,1）是幺半群；3）?r,s,t∈L,r?(s+t) =r?s+r?t與(s+t)?r=s?r+t?r成立；4）?r∈L,0 ?r=r?0 = 0成立；5）0 ≠1.

特別地,若?a,b∈L都有a?b=b?a,則稱半環L為可交換的.

定義1.2［3］設L=（L,+,·,0,1）為半環,A=（A,+A,0A）為交換幺半群.若外積*:L×A→A滿足:?r,r′∈L;a,a′∈A,1）(r?r′)?a=r?(r′?a), 2）r?(a+Aa′) =r?a+Ar?a′, 3）(r+r′)?a=r?a+Ar′?a,4）1?a=a, 5）0?a=r?0A=0A,則稱（L,+,·,0,1;A,+A,0A）為左L-半模.類似可給出右L-半模定義.

稱半環L 上的半模為L-半線性空間［1］.這里的半模或是左L-半模或是右L-半模.［4］不失一般性,設以下討論的半模均為左L-半模.

通常情況下,將半環中的元稱為標量或者系數,將半線性空間中的元稱為向量.在不致混淆的情況下, 將(r?r′)?a寫作(rr′)a.記-n={1,2,…,n}.下面給出一個L-半線性空間的例子.

例1.1［5］設L=（L,+,·,0,1）為半環,對n≥1,令:Vn(L) = {(a1,a2,…,an)T:ai∈L,i∈-n}.其 中 (a1,a2,…,an)T表 示(a1,a2,…,an) 的轉置.?x=(x1,x2,…,xn)T,y=(y1,y2,…,yn)T∈Vn(L) 和r∈L,定義x+y=(x1+y1,x2+y2,…,xn+yn)T,r?x=(rx1,rx2,…,rxn)T.則稱:Vn=(L, + , ?,0,1; ?;Vn(L), + ,0n×1) 是L-半線性空間.其中0n×1=(0,0,…,0)T.

定義1.3［4］半環L=（L,+,·,0,1）中元素a稱為加法可消的,當且僅當?b,c∈L由a+b=a+c可得b=c.用集合K+(L)表示半環L 中所有加法可消元構成的集合.若K+(L) =L,則稱半環L為加法可消的.

定義1.4［4］設L=（L,+,·,0,1）為半環,記:

W(L) = {a∈L:?b∈L,?r∈L; st:a+r=b or a=b+r}.

顯然W(L) ≠?.若W(L) =L,則稱半環L為yoked半環.

2 主要結果

半線性空間V到自身的映射稱為V的變換.

定義2.1［2］交換半環上L-半線性空間V 的變換A稱為線性變換,若?α,β∈V及?r∈L,都有:1）A（α+β）=A（α）+A（β）, 2）A（rα）=rA（α）.

定義2.2 設A為交換半環上L-半線性空間V 的線性變換,若A2=A,則稱A 為冪等線性變換,簡稱冪等變換.

設A 為L-半線性空間V 的線性變換,記Im（A）={A（a）:a∈V},稱Im（A）為A 的值域.記Ker（A）={a∈V:A（a）=0},稱Ker（A）為A 的核.［2］

命題2.1［2］設A 為交換半環上L-半線性空間V的可逆冪等線性變換,則A是單位變換.

命題2.2 L 為加法可消交換半環,A 為L-半線性空間V 的冪等變換,若A 是單變換,則A 為單位變換.

證明?a∈V,作A（a）+a,A 是冪等變換,:A（A（a）+a）=A2（a）+A（a）=A（a）+A（a）= A（a+a）,因為A 是單變換,則有A（a）+a=a+a,又因L為加法可消交換半環,所以A（a）=a,由向量a 的任意性,即證A為單位變換.

眾所周知,在經典線性代數中下述結果是成立的:設A、B 皆為數域P 上線性空間V 上的冪等變換,則Ker（A）=Ker（B）的充要條件為AB=A且BA=B.

將此結論推廣至交換半環上半線性空間中,可得如下命題.

命題2.3［2］設A 與B 是交換半環上L-半線性空間V 的兩個線性變換,若AB=A 且BA=B,則Ker（A）=Ker（B）.

命題2.4 設L 為加法可消的yoked交換半環,A、B 是半環上L-半線性空間V 的兩個冪等變換,若Ker（A）=Ker（B）,則AB=A且BA=B.

證明?a∈V,因為L 為yoked半環,所以存在γ∈V,使得A（a）=γ+a 或a=A（a）+γ.不妨設A（a）=γ+a.則:A（A（a））=A（γ+a）,A2（a）=A（γ+a）=A（γ）+A（a）,由于A 是交換半環上L-半線性空間V 的冪等變換,有A2（a）=A（a）,則:A（a）=A（γ）+A（a）,又因為L 為加法可消的,所以A（γ）=0,即有γ∈Ker（A）.

由已知Ker（A）=Ker（B）,則γ∈Ker（B）,即B（γ）=0,B（A（a））=B（γ+a）, B（A（a））=B（γ）+B（a）=B（a）,由向量a 的任意性,即得BA=B.同理可證:AB=A.

注2.1 一般說來,命題3.4 中L 為加法可消的yoked半環這一條件不可去.

例2.1 設L=（L,+,·,0,1）為半環,其中L為圖1 所示的分配格,定義:+ = ∨,?= ∧.在L-半線性空間V2 中定義A:a?Aa；B:a?Ba.其中,易見,A、B 為交換半環上L-半線性空間V2 上的兩個冪等線性變換,且有但在L-半線性空間V2上線性變換AB≠A,BA≠B.

圖1 分配格

推論2.1 設L 為加法可消的yoked交換半環,A、B 是半環上L-半線性空間V 的兩個冪等變換,則AB=A 且BA=B 的充分必要條件是Ker（A）=Ker（B）.

命題2.5 設A、B 是交換半環上L-半線性空間V 上的兩個線性變換,若AB=A 且BA=B,則A、B均為冪等變換.

證明 ?a∈V,A（a）∈V,由AB=A,BA=B可得:（AB）（A（a））=A（A（a））=A2（a）,（AB）（A（a））=A（BA（a））=A（B（a））=（AB）（a）=A（a）,所以A2（a）=A（a）,由向量a 的任意性,即證A 為冪等變換.同理可證,B為冪等變換.

由命題3.3和命題3.5可得如下推論.

推論2.2 設A、B 是交換半環上L-半線性空間V 上的兩個線性變換,若AB=A 且BA=B,則A、B 均為冪等變換的充分必要條件是Ker（A）=Ker（B）.

命題2.6 設A、B 是交換半環上L-半線性空間V 的兩個線性變換,若A 為冪等變換,BAB=B,且Im（B）?Im（A）,則B為冪等變換.

證明因為Im（B）?Im（A）,則對任意向量a∈V,有:B（a）∈Im（B）?Im（A）,所以存在向量γ∈V,使得A（γ）=B（a）,又因為BAB=B,A為冪等變換,從而有:B（a）=BAB（a）=BA（B（a））=BA（A（γ））=B（A2（γ））=B（A（γ））=B（B（a））=B2（a）,由向量a的任意性,即證B為冪等變換.

命題2.7 設A、B 是交換半環上L-半線性空間V 的兩個冪等變換,若AB=BA,則AB 為冪等變換.

證明 因為A、B 均為冪等變換,且AB=BA,所以:（AB）2=ABAB=A（BA）B= A（AB）B=A2B2=AB,即證AB為冪等變換.

注2.2 一般說來,命題3.7的逆命題不成立.

例2.2 設L 為例3.1 中半環,在L-半線性空間V2 中定義A:a?Aa；B:a?Ba.其中,向量易見,A、B 均為半環上L-半線性空間V2 上的冪等變換,滿足AB=B也是冪等變換,但顯然AB≠BA.