基于HJI理論的移動(dòng)機(jī)器人神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)自適應(yīng)控制

劉 鑫,陳昌忠,羅 淇,孫增誠(chéng)

(四川輕化工大學(xué)自動(dòng)化與信息工程學(xué)院,四川 自貢 643000)

1 引言

移動(dòng)機(jī)器人具有靈活性高,生產(chǎn)效率高,實(shí)用性強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn),已廣泛應(yīng)用于工業(yè)領(lǐng)域和社會(huì)場(chǎng)所。但是,由于其具有強(qiáng)耦合、摩擦負(fù)載不確定等非線性特點(diǎn),對(duì)于它的控制研究一直受到國(guó)內(nèi)外學(xué)者的關(guān)注。文獻(xiàn)[1,2]采用智能PID控制算法對(duì)一般PID控制算法的參數(shù)不易整定,魯棒性差等問(wèn)題進(jìn)行了優(yōu)化。文獻(xiàn)[3]設(shè)計(jì)出一種新型滑模控制算法,解決了移動(dòng)機(jī)器人在極坐標(biāo)系中的跟蹤控制問(wèn)題。文獻(xiàn)[4]針對(duì)參數(shù)不確定的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型,利用反演設(shè)計(jì)了自適應(yīng)控制器,并將其推廣到了動(dòng)力學(xué)模型中。隨著控制理論的發(fā)展,神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)技術(shù)也廣泛應(yīng)用于移動(dòng)機(jī)器人的控制之中。文獻(xiàn)[5]利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在線調(diào)整運(yùn)動(dòng)學(xué)控制器參數(shù)和補(bǔ)償動(dòng)力學(xué)PID控制器。文獻(xiàn)[6]設(shè)計(jì)了一種自適應(yīng)神經(jīng)滑模控制器,實(shí)現(xiàn)了不確定動(dòng)力學(xué)模型的移動(dòng)機(jī)器人的軌跡跟蹤控制。文獻(xiàn)[7]利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)打滑條件下的動(dòng)力學(xué)模型進(jìn)行補(bǔ)償,實(shí)現(xiàn)了打滑條件下移動(dòng)機(jī)器人的軌跡跟蹤。

文獻(xiàn)[1-3]雖然具有良好的運(yùn)動(dòng)學(xué)跟蹤效果但是并未考慮移動(dòng)機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)模型。文獻(xiàn)[4]雖然考慮了動(dòng)力學(xué)模型,但是并未考慮模型不確定性和外部擾動(dòng),在實(shí)際的控制中可能出現(xiàn)較大的誤差。

本文充分考慮移動(dòng)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)模型和動(dòng)力學(xué)模型的不確定建模項(xiàng)及不確定外部干擾等問(wèn)題,設(shè)計(jì)了基于反步法的運(yùn)動(dòng)學(xué)控制器,利用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)動(dòng)力學(xué)模型不確定項(xiàng)和外界干擾進(jìn)行補(bǔ)償,結(jié)合HJI理論設(shè)計(jì)了動(dòng)力學(xué)控制器。利用MATLAB對(duì)本文所設(shè)計(jì)的控制方法進(jìn)行數(shù)值仿真,仿真結(jié)果表明了本文設(shè)計(jì)的控制系統(tǒng)具有良好的魯棒性。

2 HJI理論

在模有界條件下,非線性不確定奇異系統(tǒng)的魯棒可鎮(zhèn)定性與一個(gè)擴(kuò)展的HJI微分不等式存在正解等價(jià)[8]。本文基于HJI不等式設(shè)計(jì)動(dòng)力學(xué)反饋控制器,并利用HJI理論來(lái)驗(yàn)證移動(dòng)機(jī)器人動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

(1)

為了評(píng)判系統(tǒng)的魯棒性,定義如下性能指標(biāo)

(2)

式(2)中,J為系統(tǒng)的L2增益,它的大小可用來(lái)反應(yīng)系統(tǒng)魯棒性能的好壞。J越小,系統(tǒng)的魯棒性能越好。

根據(jù)文獻(xiàn)[10],HJI理論可描述為:對(duì)任意給定一個(gè)正數(shù)γ,如果存在一個(gè)正定且可微的函數(shù)L(x)≥0,并且滿足

則J≤γ。

3 移動(dòng)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)與動(dòng)力學(xué)模型

考慮一類受非完整約束的差速驅(qū)動(dòng)的移動(dòng)機(jī)器人,其后方兩側(cè)為驅(qū)動(dòng)輪,前方兩側(cè)為自由輪,自由輪僅起支撐作用,如圖1所示。設(shè)兩驅(qū)動(dòng)輪的半徑都為r,軸距為2b,點(diǎn)N為兩輪的軸心。向量q=[xc,yc,θc]T表示移動(dòng)機(jī)器人的軸心N在笛卡爾坐標(biāo)系中的位置,θc表示移動(dòng)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)方向與笛卡爾坐標(biāo)系橫軸正方向的夾角。

圖1 移動(dòng)機(jī)器人示意圖

對(duì)于圖1所示的移動(dòng)機(jī)器人,滿足純滾動(dòng)、無(wú)滑動(dòng)情況下的非完整約束條件為

(3)

將(3)式改寫成如下形式,即

(4)

其中

(5)

(6)

選擇一個(gè)滿秩矩陣S(q)為AT(q)零空間的一組基,即

ST(q)A(q)=0

(7)

存在一個(gè)輔助速度控制向量V(t),使

(8)

其中

(9)

V(t)=[vω]T

(10)

v和ω分別表示移動(dòng)機(jī)器人的線速度和角速度。

則非完整移動(dòng)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程表示為

(11)

一般情況下,非完整移動(dòng)機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)方程可以表示為[11]

(12)

由Euler—Lagrange方程可知,移動(dòng)機(jī)器人動(dòng)力學(xué)模型的參數(shù)[6]

(13)

式(13)中,m表示移動(dòng)機(jī)器人的質(zhì)量,I表示轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,τr表示其右輪力矩,τl表示其左輪力矩。

(14)

將式(14)等式左右兩邊分別左乘ST(q),將式(8)代入整理后得移動(dòng)機(jī)器人一階動(dòng)力學(xué)模型

(15)

其中

由文獻(xiàn)[12]可知式(15)具有以下性質(zhì)

結(jié)合式(7)、式(11)和式(14)可得

(16)

4 控制器設(shè)計(jì)

為了實(shí)現(xiàn)移動(dòng)機(jī)器人位置跟蹤,本文針對(duì)移動(dòng)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)模型和動(dòng)力學(xué)模型分別設(shè)計(jì)相應(yīng)的控制器,具體如下:

1) 針對(duì)移動(dòng)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型采用反步法設(shè)計(jì)輔助速度控制率。

2)針對(duì)移動(dòng)機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)模型,基于HJI理論設(shè)計(jì)具有RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)補(bǔ)償模型不確定項(xiàng)和外部干擾的動(dòng)力學(xué)控制器。

4.1 運(yùn)動(dòng)學(xué)控制器設(shè)計(jì)

(17)

對(duì)位置跟蹤誤差求導(dǎo),可得誤差變化率

(18)

在給定參考線速度vr≥0,角速度ωr≥0的基礎(chǔ)上采用反步法設(shè)計(jì)運(yùn)動(dòng)學(xué)控制器[13]

(19)

其中,k1,k2,k3為大于0的可調(diào)節(jié)參數(shù)。

4.2 動(dòng)力學(xué)控制器設(shè)計(jì)

RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)能在一個(gè)緊湊集和任意精度下逼近任何非線性函數(shù)[14]。本文利用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)移動(dòng)機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)模型存在不確定建模項(xiàng)和不確定外部擾動(dòng)進(jìn)行逼近。

設(shè)

(20)

f=W*σ+εf

(21)

由于存在逼近誤差,利用自適應(yīng)算法調(diào)節(jié)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的權(quán)值,則神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的估計(jì)輸出如下

=σ

(22)

定義速度跟蹤誤差為

ec=V-Vc

(23)

(24)

設(shè)計(jì)如下自適應(yīng)率

=-ηecσT

(25)

其中,η為大于0的可調(diào)節(jié)參數(shù)。

結(jié)合式(15),式(20)和式(21)可得RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逼近下的動(dòng)力學(xué)模型為

(26)

根據(jù)該模型,設(shè)計(jì)前饋控制率為

(27)

其中,u為反饋控制率。

將式(27)代入式(26)整理后得

(28)

將速度跟蹤誤差ec作為評(píng)判指標(biāo)z,則

z=ec

(29)

式(28)可改寫成

(30)

式(30)中,設(shè)

h(ec)=ec

則式(30)可該寫成式(1)的形式。

為了保證動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)誤差收斂,根據(jù)HJI理論設(shè)計(jì)反饋控制率為

(31)

5 系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

定義運(yùn)動(dòng)學(xué)系統(tǒng)和動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的Lyapunov函數(shù)分別為L(zhǎng)1和L2

(32)

(33)

對(duì)式(32)求導(dǎo)可得

(34)

結(jié)合式(17),(18),(19)可得

(35)

對(duì)式(33)求導(dǎo)可得

(36)

結(jié)合式(28),式(36)可以改寫為

(37)

(38)

將反饋控制率式(31)代入式(38)中,可得

(39)

定義

(40)

將式(39)代入上式,整理可得

(41)

由于

可知H≤0,則

(42)

根據(jù)以上分析驗(yàn)證,設(shè)計(jì)移動(dòng)機(jī)器人的控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖2所示。

圖2 基于HJI理論的輪式移動(dòng)機(jī)器人的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制

6 仿真結(jié)果及分析

圖3為移動(dòng)機(jī)器人圓軌跡跟蹤仿真曲線,圖4為圓軌跡跟蹤下移動(dòng)機(jī)器人的位置跟蹤誤差。由圖3和圖4可以看出,移動(dòng)機(jī)器人能夠快速,平穩(wěn),且準(zhǔn)確的跟蹤上參考軌跡。且位置跟蹤誤差快速收斂到0,幾乎無(wú)抖動(dòng),表明控制系統(tǒng)具有良好的魯棒性。

圖3 軌跡跟蹤曲線

圖4 位置跟蹤誤差曲線

圖5為動(dòng)力學(xué)控制器對(duì)輔助速度控制輸入的跟蹤曲線。由圖可知,速度控制輸入平穩(wěn)無(wú)跳動(dòng),且實(shí)際速度能夠很快且準(zhǔn)確的跟蹤上輔助速度控制輸入,說(shuō)明本文所設(shè)計(jì)的動(dòng)力學(xué)控制器具有良好的跟蹤性能。

圖5 輔助速度跟蹤曲線

圖6為移動(dòng)機(jī)器人左右輪的控制力矩輸入曲線。由圖可知,左右輪的控制力矩呈正余弦波動(dòng),這是由于力矩控制器中存在RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的補(bǔ)償控制,而RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是對(duì)不確定項(xiàng)的逼近,這樣力矩控制器恰好能抵消不確定項(xiàng),提高系統(tǒng)的魯棒性。

圖6 驅(qū)動(dòng)力矩輸出曲線

圖7為RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)不確定建模項(xiàng)和不確定外界干擾的逼近曲線。由圖可知,所設(shè)計(jì)的RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)能夠快速且準(zhǔn)確的逼近不確定項(xiàng)。

圖7 不確定項(xiàng)逼近曲線

7 結(jié)論

本文以動(dòng)力學(xué)模型具有不確定建模項(xiàng)和不確定外界擾動(dòng)的非完整輪式移動(dòng)機(jī)器人為研究對(duì)象,分析了其運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)模型,介紹了HJI理論,并在此基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)具有RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)補(bǔ)償?shù)囊苿?dòng)機(jī)器人控制方法。通過(guò)MATLAB軟件對(duì)移動(dòng)機(jī)器人進(jìn)行軌跡跟蹤仿真,仿真結(jié)果表明,RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)能夠快速準(zhǔn)確地逼近不確定項(xiàng),移動(dòng)機(jī)器人能夠快速,平穩(wěn),準(zhǔn)確的跟蹤參考軌跡。在有較大不確定建模項(xiàng)及外界干擾等因素的影響下,該控制方法下移動(dòng)機(jī)器人依然具有良好的跟蹤效果,且相對(duì)于文獻(xiàn)[5,6],控制器需要調(diào)節(jié)的參數(shù)少。