一題多解 發散思維
——從一道菱形試題出發

張長青

? 甘肅省慶陽市寧縣早勝初級中學

在課堂教學時,筆者經常有這樣的經驗:如果學生的思維受限嚴重,那么數學課堂氛圍將會異常沉悶,而如果學生的思維比較靈活,那么課堂教學效果也會得到提升.由此可見,課堂教學不應只是傳授知識,而更應該培養學生的發散性思維.本文中從一道菱形試題出發,嘗試研究通過滲透數形轉化、一題多解的方式提升學生的思維能力.

1 數形轉化與思維發散之間的關系

數形轉化是解決數學問題非常重要的一種思想或方法,也就是將“數”與“形”進行轉化,借助直觀圖形對抽象的問題進行分析并最終解決問題.發散思維強調多角度分析問題及多方法解決問題,而當分析的問題比較抽象、復雜時,往往需要利用數形轉化思想具體化或簡化問題.因此,筆者認為數形轉化是思維發散的過程,而思維發散是數形轉化的結果.

下面,借一道例題進行分析和說明:

例題如圖1所示,在菱形ABCD中,對角線AC與BD相交于點O,點E,F,G,H分別是OA,OB,OC,OD的中點.

圖1

求證:四邊形EFGH是菱形.

本題需要證明四邊形EFGH是菱形,而所給的條件只有菱形ABCD和四條線段的中點.很顯然,需要僅僅抓住“中點”這一“數”的特點,并與“菱形”這一“形”結合起來分析問題.那么,此題如何體現出數形轉化與思維發散之間的關系?

首先,應明確各條件所能得到的結論有哪些,如由“菱形ABCD”可得四邊形ABCD的四條邊都相等、對角線互相平分且垂直、兩組對邊分別平行且相等、對角線平分一組對角等.“菱形ABCD”是“形”,而邊相等、角相等都是“數”量關系,是通過“形”推理出“數”.

然后,由“點E,F,G,H分別是OA,OB,OC,OD的中點”可證得EF,FG,GH,HE分別是△AOB,△BOC,△COD,△DOA的中位線,再結合三角形中位線定理即可證得四邊形EFGH是菱形．“點E,F,G,H分別是OA,OB,OC,OD的中點”是“數”,而證得“四邊形EFGH是菱形”是“形”,是通過“數”推理出“形”.

發散思維是一種不依常規、尋求變異、從多方面尋求答案的思維方式.那么,如何發散學生的數學思維與滲透數學轉化思想呢?由于菱形的判定定理非常多,因此可從多種思路出發,嘗試一題多解,最終讓問題得到解決.

2 一題多解及評析

根據上述分析,本題的解法非常多.在實際課堂教學中,主要出現了以下三種解法.

證法一：∵四邊形ABCD是菱形,

∴AB=BC=CD=DA.

∵E是OA的中點,F是OB的中點,

∴EF是△AOB的中位線.

∴EF=GF=HG=HE.

∴四邊形EFGH是菱形(四條邊都相等的四邊形是菱形).

證法一緊緊抓住“點E,F,G,H分別是OA,OB,OC,OD的中點”這個條件,積極利用三角形中位線定理和菱形的性質,通過證明四條邊都相等得到四邊形EFGH是菱形.可以說,靶向定位準確、思路清晰明了,過程層次分明,內容通俗易懂,是這種解法最大的特點.

證法二：∵E是OA的中點,F是OB的中點,

∴EF是△AOB的中位線.

∵四邊形ABCD是菱形,

∴AB∥DC,AB=DC.

∴EF=HG,EF∥HG.

∴四邊形EFGH是平行四邊形.

∵四邊形ABCD是菱形,

∴BD⊥AC.

∴四邊形EFGH是菱形(對角線互相垂直的平行四邊形是菱形).

證法二先根據“一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”證明四邊形EFGH是平行四邊形,然后結合菱形ABCD的性質“菱形的對角線互相垂直”得到BD⊥AC,最后根據“對角線互相垂直的平行四邊形是菱形”證得四邊形EFGH是菱形.其中,菱形的性質與判定的靈活使用是重要前提,如果性質與判定搞混淆了,將會給解題帶來極大的困擾[1].

證法三：∵E是OA的中點,F是OB的中點,

∴EF是△AOB的中位線.

∵四邊形ABCD是菱形,

∴AB=AD.

∴HE=EF.

∵H是OD的中點,G是OC的中點,

∵四邊形ABCD是菱形,

∴AB=DC,AB∥DC.

∴EF=HG,EF∥HG.

∴四邊形EFGH是平行四邊形.

∴四邊形EFGH是菱形(一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形).

證法三先結合菱形的性質、三角形的中位線定理證得一組鄰邊相等,即HE=EF,然后根據“一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”證明四邊形EFGH是平行四邊形,最后根據“一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形”證得四邊形EFGH是菱形.該判定方法與前兩種判定都不同,抓住菱形與平行四邊形之間的區別是解決這類問題的關鍵.

3 總結與啟示

首先,從題目要證明的結論出發,引導學生思考具體能根據哪些判定進行證明.如本題的結論是“四邊形EFGH是菱形”,那么讓學生思考菱形的判定方法有哪些,這樣就給學生解決問題提供了重要啟示.

然后,結合菱形的判定尋找條件.如果根據“四條邊都相等的四邊形是菱形”來證明,那么需要證明四條邊都相等.如果根據“對角線互相垂直的平行四邊形是菱形”來證明,那么需要證明四邊形是平行四邊形且對角線互相垂直.如果根據“一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形”來證明,那么需要證明四邊形是平行四邊形且一組鄰邊相等.

最后,繼續探究如何根據已知條件證明所需條件.例如,如果根據“一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形”來證明,那么題中有哪些已知條件可證明一組鄰邊相等,又有哪些條件可證明四邊形是平行四邊形.如此下去,將每個所需條件根據已知條件全部證得即可.

需注意的是,在以上三種不同的解法中,菱形的性質和判定都有體現,注意區分菱形的性質和判定是正確解決該問題的關鍵.因此,在講完性質和判定之后,筆者認為應將性質與判定之間的區別講清、講透,讓學生將性質與判定完全區分開,否則在解題時極易混用[2].

總之,像本文展示的例題一樣,有些題目的思維突破口非常多,但因其綜合程度較高,其中包含了許多其他的知識點,所以無形中提高了解題難度,學生解答的準確性也隨之降低.因此,在日常教學中注重基礎知識的夯實與借助變式、一題多解等訓練學生的思維非常有必要.