類比推理在數學教學中的應用原則與方法

張 程

? 江蘇省南通市小海中學

類比推理是結合兩類不同事物的類似特征,根據已知事物的特征,推導出另一類事物特征的一種方法.這種方法推導出來的結論不一定準確,但存在一定的合理性,可利用證明或反例來確定其可靠性.簡而言之,這是一種由特殊到特殊的推理形式,基本范式如下:

A的性質有:a1,a2,a3……,an,a′;B的性質有:b1,b2,……,bn.其中,ai和bi(i=1,2,3,……,n)類似或相同.據此可推斷B具有b′的性質,b′與a′相似或相同[1].

類比推理作為科學研究的重要方法之一,也適用于初中數學概念、解題等的教學中.掌握好這種思維,能有效地幫助學生通過已知獲得未知,實現思維的創新.

1 應用原則

1.1 參與性原則

新課標明確提出學生才是課堂的主人.隨著新課改的推進與深入,學生已然成為當前數學課堂中的主體,教師只是起引導作用.想要提高教學效率,首先需調動學生參與教學活動的積極性,鼓勵學生主動、自主地參與到類比推理過程中,為更好地獲得新知奠定基礎.

1.2 過程性原則

教師不能將眼光局限于類比推理的結論,而應關注學生在類比推理過程中思維的發展歷程,只有領悟到數學思想方法,才能從真正意義上實現思維的進步.為了啟迪學生的思維,教師可將自己的思維過程暴露出來供學生參考,讓學生從中看到類比推理的邏輯關系,從而促進自身學習能力的發展.

2 應用方法

2.1 引入概念

概念是數學學習的基礎,也是知識學習的首要環節,它的重要性不言而喻.隨著新課改的推進,教師的教學觀念也逐漸發生了轉化,概念教學由原來靜態的文字形式轉化成動態的教學模式,常見的有結合學生的生活素材或原有的認知結構進行概念的引入.

新課標特別強調數學與生活的關系,要求教師結合學生的生活實際進行教學.其實,不少數學概念在學生的實際生活里都能找到它的原型.為此,教師可在充分了解概念內涵與外延的基礎上,結合學情,利用與學生生活相關的情境,幫助學生抽象概念.

案例1“平面直角坐標系”的教學

平面直角坐標系是一個比較抽象的概念,若運用傳統的“講解+練習”方式,很難讓學生產生形象、深刻的認識.為此,筆者結合學生的生活,采取了以下類比推理的方法來引出概念.

第一步:展示一張18排18座的電影票,要求學生說說尋找該座位的具體方法.

初中學生都有看電影的生活經歷,根據電影票尋找座位是一件簡單且有趣的事,學生很快就能表達清楚尋找座位的方法.

問題為什么電影票上要運用幾排幾座來表示每個人的具體位置呢?

學生經過交流與分析,一致認為這么編排的作用就在于讓觀眾快速找到一對一的位置,避免出現擁擠或座位重復的情況,同時還利于售票工作的開展.

第二步:將電影院的座位抽象成點,一個座位用一個點表示,并在此基礎上滲透平面直角坐標系的概念.

學生很快就能根據對電影院座位的直觀感受及電影院座位的特點,類比推理出平面直角坐標系的基本特征.

此過程,教師通過一張電影票引出座位,再引入本節課的教學主題“平面直角坐標系的概念”,學生根據自己熟悉的生活素材,很快就能抓住本節課的重點,并對此產生直觀、形象、深刻的認識,使得概念教學更加生動、有效.

2.2 輔助解題

解題能力體現了學生數學綜合水平與素養.類比推理是一種重要的解題方法,它能幫助學生突破思維障礙,找到解題思路,使得原本模糊的問題變得條理清晰,亦可將原本復雜的問題,變得簡潔.初中階段的數學解題涉及到的內容比較多,如幾何、函數、方程等問題,均需用到類比推理法.

為此,筆者針對如何更好地將類比推理法應用于解題教學中,作了大量實踐與研究,頗有收獲.實踐證明,類比推理應用于解題教學中,能有效地激活學生的思維,可為提高課堂教學效率奠定基礎.

案例2“二次函數”的教學

“二次函數”是初中階段令不少學生頭疼的一個章節,本章內容多且復雜,既是中考的重點,也是難點.中考試卷中常以綜合類問題呈現,對學生知識基礎與思維能力的要求比較高,歷年學生的失分現象都比較嚴重.

問題在平面直角坐標系中,拋物線y=ax2+bx+c過點A(-2,-4),O(0,0),B(2,0).(1)求該拋物線的解析式;(2)若M為該拋物線對稱軸上的一點,則AM+OM的最小值是多少?

分析：本題的第(1)問比較容易,只要將A,O,B三點坐標代入拋物線解析式,即可通過解方程獲得結果.第(2)問對于學生而言有點難度,學生思維的障礙點在于求最小值的方法.因此,筆者引導學生類比之前求最短距離的問題,作對稱點,根據兩點間線段最短,將對稱點與另一個點相連,此時與對稱軸產生的交點就是所要找的點,再應用勾股定理,很快就能獲得AM+OM的最小值.

隨著與求最短距離問題的類比,本題的解題思路愈發清晰.若一味地從題目本身去思考,則很難突破思維障礙,從而導致解題失敗.由此可見,類比推理在解題教學中具有無可替代的重要作用.作為教師,應利用好類比推理方法,將它滲透于解題過程中,啟發學生的思維,培養學生的創新意識.

2.3 引發猜想

類比猜想是指應用類比推理法,將兩個數學研究對象或問題中存在的相似之處進行比較,推測出事物的基本屬性,獲得新的命題或方法.解題中,不論從命題的本身來說,還是從解題的思路方法來看,類比推理都能引發學生的猜想,從中獲得命題的引申與推廣的基本動力[2].

最常見的類比猜想有:①根據命題相似的條件,猜想結論的相似性;②根據命題相似的形式,猜想推理方法的相似性.在應用類比推理法求解問題時,應注重輔助問題的引入,輔助問題作為類比的參照,是引發猜想、形成解題思路的重要載體,從輔助問題上可預見到問題的答案.

案例3“軸對稱圖形”的教學

教師若從理論的角度再三強調軸對稱圖形的概念與性質,學生也很難從本質上掌握其內涵.而引導學生一起動手操作,則能引發學生的共鳴,很容易抽象出軸對稱、對稱軸與軸對稱圖形的概念.

邊操作,邊結合理論,既能突出教學重點,又能促進學生產生知識的正遷移[3].在了解軸對稱圖形的基礎上,對等邊三角形、等腰三角形、正方形、長方形、圓等圖形的性質進行類比猜想,并通過實際操作來驗證這種猜想.

活動中,教師鼓勵學生暢所欲言,積極參與實驗與探究,在親歷圖形性質的抽象過程中獲得相應的結論.如此,既展現了“做中學”的教育理念,又充分展現了“體驗、發展”的教育思想.從學生感知到數學定理的形成,需經歷一個類比推理、猜想、驗證的過程,而每個環節無不透露出數學學科的嚴謹性與思維的周密性.

通過活動的開展,學生親歷操作、推理與驗證的過程,有效地培養了學生的推理能力與創新意識,同時也讓學生深刻體會到數學與生活的實際關系:數學來自生活,高于生活,為生活服務.

綜上可知,教學中教師應結合教學內容與學情,巧妙地創設一些類比推理的機會,以推進學生思維的發展,讓學生體會到數學學習帶來的成就感,從而增強學習興趣,提高學習效率.

總之,類比推理作為一種歷經時代考驗的科學思維方法,可將舊知靈活地應用到新知中,使得學生快速熟悉并接納新事物,尤其是面對靈活多變的數學問題,類比推理法的應用,能有效地打開學生的思維,促進學生創新意識的形成與發展.