感悟等號意義 提高運算能力

于 莎

? 山東省淄博市臨淄區遄臺中學

等號是數學中常見的運算符號,與等號相關的計算是代數學習的基礎.等號是用來表示左右相等關系的,如果等號兩邊的數字、字母或者式子不對等,學生往往會因為對等號的理解不深刻,導致解題出現錯誤.

等號的對等性是數值大小的相等,計算的關鍵在于不改變數值的對等性.圍繞這一對等性,進行移項、去括號、添括號、配方、約分等運算是代數運算的法則和基礎.

1 學生計算中常出現的問題以及解決策略

1.1 運用配方法時只對等號一邊進行運算

例1解方程:3x2+8x-3=0.

常見錯解：原方程可變形為3x2+8x=3,則

錯解分析：學生解一元二次方程時,通常比較注重配方,但往往忽視了與等式性質的結合.在將二次項系數化為1進行配方時,容易忽略等號的右邊也要進行同樣的運算,計算過程中等號應兩邊始終保持相等.配方運算是建立在等式的基本性質之上.

在教授配方法解一元二次方程時,教師要強調等式的性質.將二次項系數化為1,不是僅僅對二次項系數化為1,而是要運用等式的性質2,將等式中的每一項都除以二次項系數,這一過程沒有改變等號兩邊的平衡.運用完全平方公式進行配方時,配方的過程運用的是等式的性質1,方程兩邊要同時加上一次項系數一半的平方.教學中要讓學生明白算理,展現前后兩個算式的形和大小是如何變化的.

分析：等式的性質是等式固有的運算規律,代數中的很多運算都要用到等式的性質.靈活運用等式的性質是解決方程問題的關鍵,也是一些化簡求值題的關鍵.

例1中將方程兩邊同時除以3把二次項系數化為1,運用的是等式的性質2,要讓學生明白等號的右邊不是沒有除以3,只不過0除以任何數都是0.配方運用的是等式的性質1,等號兩邊同時加上一次項系數一半的平方,學生經常出現的錯誤是左邊加了而右邊沒加.

無論是人教版還是魯教版,課本中的例題都沒有呈現如何將二次函數一般式轉化為頂點式.實際教學中,轉化運算是難點,也是易錯點.由于這部分內容是在學生學完利用配方法解一元二次方程后學習的,學生有了一定的基礎,可類比計算,但兩者有不同之處.一元二次方程等號一邊是0,而二次函數等號一邊是y,計算過程中,一元二次方程若不能直接配方,則將常數項移到等號的右邊,而二次函數的一邊是y,學生不知如何運算.將二次函數一般式化為頂點式有如下三種方法.

方法3:將二次項系數化為1(等式兩邊同時乘-2),得-2y=x2-2x+5.

移項,得-2y-5=x2-2x.

配方,得-2y-5+1=x2-2x+1,則-2y-4=(x-1)2,即-2y=(x-1)2+4.

分析：方法3與用配方法解一元二次方程類似,可類比學習,這樣學生更易理解.方法1和方法2的不同之處在常數項的處理上面,兩種方法區別不大,用的都比較多.學生類比配方法解二次函數的相關問題時,常常出現的問題是等號右邊二次項系數化為1,而等號左邊的y保持不變.究其根本原因是沒有深刻理解等式的性質.提取二次項系數后,括號里面要配方,還要把多余的數字再與二次項系數相乘后放到括號外面,這里十分容易出錯.教學中要讓學生明白等號之所以成立,是因為兩邊的變形改變的只是形式,沒有改變大小.二次函數一般式化為頂點式后,教師可再次引導學生將頂點式通過去括號化為一般式,讓學生感受其中的變化,深刻理解等號的意義.

1.2 解一元一次方程去分母常出現的問題

隨著振興蘇北戰略的實施，蘇北地區園林綠化發展迅速，綠化指標在同類城市中處于領先位置，如近年來，徐州以創建國家生態園林城市為抓手，大力推進城市生態園林建設，構建了功能完善、分布均衡、便民利民、管護精細的城市公園體系，繼2005年獲得國家園林城市稱號后，2016年1月又獲得首批“國家生態園林城市”稱號.宿遷近幾年重點建設“一山一河三路三園”，打造了一批園林亮點工程，形成以“大湖林海”為核心、外環路綠化為環、古黃河水系綠化為帶、高速出入口為點、特殊區域為片的環城生態綠化格局.

針對這個題,也可以拓展一下,由兩個分母0.4,0.5的最小公倍數為2,得到如下方法二.

例4的三種方法可以使學生充分理解等號的意義,等號之所以相等,體現在數值的不變性上.運用等式的基本性質對式子左右兩邊進行整體運算,運用分數的基本性質對式子進行局部化簡.

1.3 解分式方程與分式的運算中出現的問題

學生進行分式的加減時,常與解分式方程發生混淆,根源還在于沒有理解等號的意義以及運算法則.學生學完解分式方程后進行異分母分式的加減,會按照解分式方程的步驟乘最簡公分母去掉分式的分母.分式方程是等式,解分式方程與例3解一元一次方程方程是類似的,運用的都是等式的性質;而分式的加減不是等式,運用等式的性質顯然是錯誤的,應該運用分式的基本性質.

2 教學中要多角度理解等號的意義

2.1 等式的運算只是形的改變,是等量轉化

例6若3x+5y-3=0,求8x·32y的值.

可將8和32轉化為23和25,改變了形,將數字轉化為冪的形式,進行等量轉化,運用的是轉化思想,沒有改變數值的大小.

8x·32y=(23)x·(25)y=23x·25y=23x+5y=23=8.

2.2 借助等號的意義實現簡便運算

實際問題中方程的數值都比較大,學生計算容易出現錯誤.運用等式的性質或者分數的基本性質可使運算更加簡便.

等號的意義不僅僅在于表示運算的結果,更要讓學生理解其中的算理.學生雖然已經有一定的抽象運算能力,但很大程度上還停留在具體數字的運算層面,初中學生的思維正處在從具體到抽象的過渡期.因此,教師在授課時,要注意借助具體、形象的模型或事物幫助學生理解問題,促進其數學推理能力的發展.

運算能力是初中數學核心素養之一,提升運算能力有助于學生理解運算的算理,尋求合理簡潔的途徑解決問題.學生對等號的意義有了深刻的理解和感悟,才能夠提高運算能力,培養嚴謹的學習品質.Z