四邊形新定義問題例析

2023-10-29 02:09:16王崢

中學數學 2023年20期

王崢

? 江蘇省徐州市第十三中學

四邊形新定義問題,是培養學生創造性思維的良好素材,包括“等鄰邊四邊形”問題、“等角相鄰點”問題、“妙線”問題、“準等距點”問題等.以下作一分析探討,以饗讀者.

1 “等鄰邊四邊形”問題

菱形、正方形是四邊都相等的四邊形,它們都是從實際生活中抽象出來的,因為應用廣泛而得到推廣.“等鄰邊四邊形”是指有兩組鄰邊相等的凸四邊形.“等鄰邊四邊形”有什么性質?又如何判定呢?下面結合實例進行探討.

例1我們定義:有兩組鄰邊相等的凸四邊形叫做“等鄰邊四邊形”．如菱形、箏形都是特殊的“等鄰邊四邊形”．

(1)如圖1,四邊形ABCD中,若∠ABC=∠BCD,BC∥AD,對角線BD恰巧平分∠ABC,則四邊形ABCD______“等鄰邊四邊形”.(填“是”或“不是” )．

圖1

(2)在探究“等鄰邊四邊形”的性質時:

①小紅畫了一個“等鄰邊四邊形”ABCD(如圖2),其中AB=AD,BC=CD,若∠A=80°,∠C=60°,寫出∠B,∠D的度數．

圖2

②小紅猜想:對于任意四邊形,若有一組鄰邊相等,一組對角相等,則這個四邊形為“等鄰邊四邊形”.你認為他的猜想正確嗎?若正確,請證明;若不正確,請舉出反例．

(3)在銳角三角形ABC中,AB=AC,在平面內存在一點P,使PB=BA,PA=PC,四邊形PABC可能是“等鄰邊四邊形”嗎?若可能,畫出符合題意的圖形,并求∠BAC的度數;若不可能,請說明理由.

解析：(1)由AD∥BC,∠ABC=∠BCD,可知四邊形ABCD是等腰梯形,則AB=CD.

由∠ADB=∠DBC,∠ABD=∠DBC,得∠ABD=∠ADB,則AD=AB,AD=DC,所以四邊形ABCD有兩組鄰邊相等,即四邊形ABCD是“等鄰邊四邊形”.故填答案:是．

(2)①如圖3,連接AC．因為AB=AD,BC=DC,AC=AC,所以△ABC≌△ADC(SSS),可得∠B=∠D.又∠BAD=80°,∠BCD=60°,則∠B+∠D=360°-80°-60°=220°.所以∠B=∠D=110°．

圖3

②小紅猜想錯誤．反例,如圖4所示．四邊形ABCD中,BA=BC,∠ABC=∠ADC=60°,四邊形不是“等鄰邊四邊形”．

圖4

(3)①如圖5,當CB=CP時,由PA=PC,可知四邊形ABCD是“等鄰邊四邊形”．設BP交AC于點O.

圖5

②如圖6,當△ABC是等邊三角形時,四邊形ABCP是“等鄰邊四邊形”．

圖6

綜上所述,滿足條件的∠BAC的值為36°或60°．

2 “等角相鄰點”問題

平行四邊形的對角線互相平分;菱形的對角線互相垂直平分;矩形的對角線相等且互相平分;正方形的對角線相等且互相垂直平分.這些實際上是對應四邊形的中心點與四邊形的關系,“等角相鄰點”問題是指四邊形內一點與其四個頂點連接,在四邊形內形成的四個角中有兩組角相等.那么,如何得到等角相鄰點?等角相鄰點又有什么性質呢?

例2如圖7-1,在四邊形ABCD內取一點P,連接AP,BP,CP,DP,如果∠APD=∠APB=α,且∠BPC=∠CPD=β,那么P叫做四邊形ABCD的一個等角相鄰點．