對初中數學解題教學的思考與優化

陸 燕

? 江蘇省蘇州工業園區朝前路實驗學校

高效、高質是解題教學的重要目標,然在實際教學實踐中卻存在著一些不利于高效解題的現象,如,教師在解題教學時大包大攬,學生的思路跟著教師走,解題教學以灌輸為主;對課本例習題的挖掘不夠,僅關注習題的量,對習題的真正設計意圖視而不見,忽視了其內涵和外延的開發.這些不良現象的存在,嚴重影響了解題效率的提高,限制了學生思維的發展.為了改變這些不良現象,筆者結合教學實踐做了一些簡單分析,并有針對性地提出了一些優化策略,供同行參考.

1 拓展例習題,培養創新思維

課本上的例習題具有一定的典型性和示范性,大多中考題都是以課本中的例習題為原型,對其進行改編而形成的.然部分學生卻對這些改編題感到陌生,其主要原因就是對例習題的學習不夠深入,因而無法從原有的認知中提取有用的信息,限制了解題能力的提升.為此,在解題教學時要充分利用這些原生資源,通過對其進行演變和引申,培養學生思維的變通性和靈活性,從而提升解題能力.

案例1如圖1,正方形ABCD的兩對角線交于點O,且點O又是正方形A′B′C′O的頂點,若正方形ABCD與正方形A′B′C′O的邊長都為a,現將正方形A′B′C′O繞點O旋轉,旋轉過程中正方形ABCD與正方形A′B′C′O相交部分的面積是否發生變化呢?若變化,說明理由;若不變,求出面積.

圖1

演變1正方形ABCD的邊長為a,正方形OMNP的邊長為b,且a

演變2如圖2,將三個邊長都為2的正方形兩兩疊放,其一邊的端點為另一正方形的對稱中心,這兩部分陰影的面積S1,S2為何值?

圖2

演變3如圖3,正方形ABCD的邊長為1,按住正方形ABCD頂點D不動,使正方形繞頂點D逆時針旋轉45°形成正方形DEFG,求BH的長.

圖3

演變4如圖4,O為長方形ABCD的對角線交點,AB=4,BC=8,當正方形OEFG繞點O旋轉,從OE與OB重合開始到OG與OC重合停止,求重合面積的最值.

圖4

演變1讓學生體會旋轉的正方形邊長大于或等于另一正方形時,其重疊部分的面積保持不變;演變2將兩個正方形拓展至三個正方形,引導學生應用并拓展原有認知;演變3將旋轉的中心點遷移至頂點,利用原題的思路,通過證明全等的方法可輕松地求出BH的長;演變4將其中的一個正方形轉變為矩形,三角形的面積又會如何變化呢?這樣一系列的變化和思考,不僅讓學生發現了不變的規律,又深刻地理解了不變的原理,進而從特殊中發現一般規律.相信通過一系列的拓展,學生在解決此類問題時逐漸可以得心應手.

2 引導習題改編,深化認知

在數學學習中,部分教師認為多做、多講才是學好數學的前提和保障,但實踐證明機械盲目地重復練習,學生不僅容易出現思維定勢,而且容易出現消極的抵觸情緒.因此,這并非真正提升學生學習能力的優秀方案.那么,什么樣的方案才可以改變這一現象呢?筆者認為不妨讓學生進行錯題改編,學生在改編時勢必會預設一些小陷阱、小技巧,這無疑對學生的審題能力和分析能力的提升大有椑益.

案例2已知等腰三角形ABC的周長為14,其一邊長為4,求△ABC的腰長.

這是一個簡單的分類討論題目,但學生在解題時因審題不夠充分,分類意識淡薄,盲目地認為已知邊是底邊,從而求得腰長為5,這樣就遺漏了腰長為4的答案,造成錯誤.

錯題改編已知等腰三角形ABC的周長為14,其一邊長為2,求△ABC的腰長.

這是學生改編的一道題目,該題目也是因指代關系不明而引申的問題,其表面上看與例2相同,但卻蘊含著對三角形三邊關系的思考.因假設腰長為2,則三邊長分別為2,2,10,顯然不存在這樣的三角形.學生在改編時不僅考慮了上面的分類情況,又增加了三邊的驗證,顯然該題目的改編是成功的.通過習題的改編不僅發展了學生分類討論意識,而且有利于培養學生思維的嚴謹性.可見,引導學生進行習題改編,不僅有利于知識的鞏固和強化,也能潛移默化地提升學生的學習能力.然在現實教學中,談到習題改編,部分師生會認為那是教師的工作,也是教師的專利,以致于讓學生錯過了提升自我改編、分析和解決問題能力的絕佳機會.因此,在教學中,要引導學生進行習題改編,尤其要重視對錯題的改編,這樣既可以進一步深化學生對錯誤的認識,又能讓學生展現自己的學習能力,有利于自主學習能力和解題能力的提升.

3 放手操作,發展思維

在新課改的推動下,教育更加關注學生自主探究能力的培養,而放手讓學生動手做數學是培養學生自主探究能力的有效的途徑之一.只有放手讓學生去做數學,其才能將所學的知識應用到現實生活中,從而在解決問題的過程中不斷地去實踐、發現、總結,找到更易于操作的解決方法,最終實現“學以致用”的教學目標.

案例3相似三角形的應用.

師:你們會測量旗桿的高度嗎?

生齊聲答:會!

師:很好,你們會用幾種方法呢?(教師放手讓學生合作交流,讓不同思維發生碰撞從而形成新思路.經過討論,學生設計了不同的解決方案,教師讓學生進行板演.)

生1:如圖5,在離AB一定距離的地面上放一面鏡子,根據平面鏡成像原理求解.(教師看部分學生還沒有理解其真正意圖,繼續追問.)

圖5

師:你是怎么做的呢?

生1:假如在與AB相距16 m的點G處放一面鏡子,若人退后到距離鏡子1.8 m的E處時,剛好可以看見旗桿頂(即EG=1.8 m),此時人眼距地面的高度DE=1.4 m.根據△DEG∽△ABG,容易求得AB.(經過生1的細致分析,學生恍然大悟.)

師:再說說其他方案.

生2:可以直接利用銳角為30°的直角三角尺.

師:你具體是怎么想的呢?

生2:如圖6,當人眼D、三角尺斜邊DF、旗桿頂點A在一條直線上時,又DG,DC,FG的值可以測量,故可以利用△DFG∽DAC求出旗桿高度.

圖6

在教師的鼓勵下,學生又借助影子、木桿等方法求出了旗桿的高度.形成基本思路后,教師可以將課堂遷至操場,讓學生根據現有工具進行實際測量,充分感受動手的樂趣.在此過程中充分展示了學生的動手實踐能力,挖掘了學生的探究潛能,不僅讓學生在合作學習中體驗了數學的應用價值,又發展了學生的數學思維.

4 注重閱讀,提升分析能力

解題教學的一個重要環節就是審題,而審題能力的強弱又與學生的數學閱讀能力密不可分,因此,若要培養學生良好的審題習慣,應從閱讀習慣開始抓起.然教學中,部分學生常急于求成,依賴自己的經驗解題,致使常出現“會而不對”的現象,因此教學中教師必須放慢腳步,給學生足夠的時間充分讀題,通過“讀”提取有關信息,進而通過對有關信息的關聯與重組,找到解決問題的最佳方案.

案例4如圖7,已知△ABC為銳角三角形,其中BC=40 cm,AD為△ABC的高,其長度為30 cm,現想在△ABC中截取一個最大的正方形EFGH,要求正方形的頂點E,F在邊BC上,頂點G,H分別在AC,AB上,求正方形EFGH的邊長.

圖7

在解本題之前教師讓學生仔細閱讀并提出問題,學生反饋的問題有如下幾個:

(1)為什么點E,F在BC邊上,而不是在另外兩條邊上呢?

(2)若△ABC不是銳角三角形又有何不同呢?

(3)如果將△ABC變為四邊形或多邊形,又該如何求解?

(4)最大面積是正方形有沒有特殊的意義?

通過仔細閱讀和推敲,學生提出了不同的問題,這樣在閱讀中思考不僅有利于問題的解決,而且有利于學生數學思維能力的提升.

總之,要提升學生的解題能力就必須避免就題論題的現象,重視習題的拓展和延伸,放手讓學生思考和探究,使其在探究中發現一般規律,從而形成解題策略,提高解題效率.Z