幾何構(gòu)造法在初中數(shù)學(xué)解題過程中的妙用

李琴霞

? 江蘇省泰州市揚(yáng)子江初級中學(xué)

構(gòu)造法是一種富有創(chuàng)造性的解題方法,它很好地體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中發(fā)現(xiàn)、類比、化歸的思想,也滲透著猜想、試驗(yàn)、探索、歸納、概括、特殊化等重要的數(shù)學(xué)方法.

利用構(gòu)造法解題的思維模式是建立在靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法的基礎(chǔ)之上的,效果獨(dú)特,思維跨度之大,有時(shí)出乎意料,但構(gòu)造不是輕而易舉之事,只有對數(shù)學(xué)知識有深刻的理解,把握其內(nèi)在聯(lián)系,這樣才會從“山重水復(fù)”至“柳暗花明”.特別是在構(gòu)造一些特殊幾何圖形的過程中,能更加巧妙地突破難點(diǎn),解決相關(guān)問題.本文中歸納了初中數(shù)學(xué)解題過程中幾種幾何構(gòu)造法的巧妙運(yùn)用.

1 構(gòu)造直角三角形巧解特殊角的三角函數(shù)值

例1求sin 15°,cos 15°,tan 15°的值.

針對此類問題,我們一般都是利用相關(guān)工具書來解答,直接求出它們具體值的大小有些困難,但如果考慮到構(gòu)造直角三角形則可以巧妙破解這類問題.

如圖1,先構(gòu)造Rt△ABC,令∠BAC=30°,∠C=90°,再延長CA至點(diǎn)D,使得AD=AB,連接BD,這樣再次構(gòu)造了直角三角形BCD,從中可以計(jì)算得到∠D=15°,從而利用線段之間的關(guān)系可求解sin 15°,cos 15°,tan 15°的值.

圖1

同樣地,根據(jù)上述構(gòu)造方法,也可以求出75°和22.5°的三角函數(shù)值.

2 構(gòu)造最短路徑模型巧解代數(shù)最值問題

圖2

3 構(gòu)造相似三角形巧解線段比例問題

在解答求長度、比值、乘積的問題時(shí),常要借助相似三角形的性質(zhì),這就需要在問題情景所體現(xiàn)的圖形中找到相似三角形.如果沒有明顯的相似三角形模型,則需要根據(jù)條件構(gòu)造相似三角形[1].

圖3

圖4

4 構(gòu)造三角形中位線巧解角的有關(guān)問題

當(dāng)問題條件中出現(xiàn)兩個(gè)或兩個(gè)以上的中點(diǎn)條件時(shí),常常可將它們分別看成是三角形兩邊的中點(diǎn)構(gòu)造第三邊或者搭建具有公共邊的兩個(gè)三角形,使其能構(gòu)造出兩個(gè)三角形的中位線,并轉(zhuǎn)化為相等的兩條邊,從而轉(zhuǎn)化為等腰三角形,進(jìn)而解決角的有關(guān)問題[2].

例4如圖5,在四邊形ABCD中,AB=CD,E,F分別是BC,AD的中點(diǎn),連接EF并延長,分別與BA,CD的延長線交于點(diǎn)M,N,則∠BME=∠CNE.

圖5

看到這個(gè)問題,我們發(fā)現(xiàn)∠BME和∠CNE沒有直接聯(lián)系,故不好直接比較兩個(gè)角的大小,但我們看到題干中多次提到了中點(diǎn),而點(diǎn)E,F又不能直接連在一起形成中位線,所以此時(shí)可以根據(jù)它們所在的位置,重新構(gòu)造線段.如圖6,連接BD,取BD的中點(diǎn)為H,連接HE,HF,從而構(gòu)造了兩個(gè)三角形的中位線,很容易根據(jù)AB=CD得到HE=HF,從而得到∠HFE=∠HEF.又∠HFE=∠BME,∠HEF=∠CNE,所以∠BME=∠CNE,問題得證.

圖6

5 構(gòu)造全等三角形巧解線段問題

如圖7,四邊形ABCD是正方形,一個(gè)等腰直角三角板的一個(gè)銳角頂點(diǎn)與點(diǎn)A重合,將此三角板繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)時(shí),兩邊分別交線段BC,CD于點(diǎn)M,N,試判斷BM,MN,DN長度的關(guān)系.

圖7

對于幾條線段長度之間的關(guān)系,解題時(shí)不可能采用測量的辦法,這就需要通過線段的位置進(jìn)行轉(zhuǎn)化,將它們放在一條線段上或者一個(gè)三角形中,故需要重新構(gòu)造三角形才能突破難點(diǎn),將問題化繁為簡.于是過點(diǎn)A作AG⊥AN交CB的延長線于點(diǎn)G(如圖8),證明△ABG≌△ADN(ASA),由全等三角形的性質(zhì)得出AG=AN,BG=DN．再證明△AMG≌△AMN(SAS)．由全等三角形的性質(zhì)得出MN=MG=MB+BG=MB+DN.

圖8

6 構(gòu)造圓巧解幾何最值問題

例5如圖9,E,F是正方形ABCD的邊AD上兩個(gè)動點(diǎn),滿足AE=DF．連接CF交BD于點(diǎn)G,連接BE交AG于點(diǎn)H．若正方形的邊長為1,試求線段DH長度的最小值．

圖9

幾何動態(tài)最值問題,最好的解決辦法就是根據(jù)題意化動為靜,確定取得最小值時(shí)的靜態(tài)問題,從而借助相關(guān)條件可以得到解答[3].根據(jù)條件很容易證明△ABE和△DCF全等,△ADG和△CDG全等,從而可得∠ABE=∠DCG,∠DCG=∠DAG,則∠ABE=∠DAG,然后求出∠AHB=90°.這樣不管EF如何運(yùn)動,H都是以AB為斜邊的直角三角形的頂點(diǎn),故可以考慮構(gòu)造圓.如圖10,以AB的中點(diǎn)O為圓心,以AB為直徑在正方形內(nèi)部作半圓,連接OD交半圓于點(diǎn)H′,此時(shí)DH′即為DH的為最小值,再利用相關(guān)條件即可求解.

圖10

綜上所述,可以看出構(gòu)造法在解決一些問題過程中的巧妙之處,這就需要教師在教學(xué)中要特別注意構(gòu)造幾何圖形,再借助數(shù)形結(jié)合突破問題難點(diǎn),讓學(xué)生從疑難之中解脫出來,提高分析解題的能力,從而更好地借助訓(xùn)練提升綜合素養(yǎng).