從通法到“秒殺”,用思維導圖解答中考壓軸題
——以一道模考題的七種解法探究為例

陳 旭

?華東師范大學第二附屬中學附屬初級中學

1 對一道上海模考試題模型的解法探究

上海市中考數(shù)學命題以《上海市中小學數(shù)學課程標準》為依據(jù),近幾年,試卷的第24題一般都是平面幾何和二次函數(shù)的綜合題,其中幾何部分考查相似的情況比較多,而且通常解法不唯一,蘊涵著多種數(shù)學思想方法、數(shù)學模型,充分體現(xiàn)了課改理念,深入考查學生分析問題的能力[1].下面筆者以2018年上海市奉賢區(qū)一模第24題為例進行說明.

1.1 問題呈現(xiàn)

如圖1,在平面直角坐標系xOy中,拋物線y=-x2+bx+c與x軸相交于點A(-1,0)和點B,與y軸相交于點C(0,3),拋物線的頂點為D,連接AC,BC,DB,DC.

圖1

(1)求拋物線的解析式及頂點D的坐標;

(2)求證:△ACO∽△DBC;

(3)如果點E在x軸上,且位于點B的右側(cè),∠BCE=∠ACO,求點E的坐標.

1.2 課堂還原

呈現(xiàn)題目后,讓學生思考并展示思路.

第(1)(2)問對于學生來說比較基礎(chǔ),第(1)問只需利用待定系數(shù)法即可求解.作為解決問題的引入,第(2)問提示學生本題重點涉及相似三角形的相關(guān)知識,在思維上起到啟示的作用.經(jīng)過討論,得到前兩問的思維導圖(如圖2所示).

圖2

第(3)問是本題的難點,本文重點研究這一問.一方面,題設(shè)條件給出∠BCE=∠ACO,這是角相等的問題,利用該條件如何切入呢?另外一方面,從要求的問題來看,是求點E的坐標,讓學生發(fā)散思維,又可以從哪些角度入手呢?觀察圖中的∠ACO,∠BCE,發(fā)現(xiàn)它們所在的兩個三角形△AOC和△BCE明顯不相似,進一步追問該怎么辦?學生根據(jù)已有的經(jīng)驗,首先會想到構(gòu)造兩個相似三角形,這樣就可以和第(2)問聯(lián)系起來.

經(jīng)過教師引導和學生討論后,得出多種處理該問題的思路.第(3)問的思維導圖如圖3所示.

圖3

1.3 解法探究

第(1)(2)問解答如下:

所以,拋物線的解析式為y=-x2+2x+3,頂點D的坐標為(1,4).

下面重點研究第(3)問,提供如下7種解法.

思路一：從構(gòu)造相似三角形的方向考慮相似模型,即利用相等角構(gòu)造相似三角形.

由于∠BCE=∠ACO,△AOC是一個含有∠ACO的直角三角形,因此只需再構(gòu)造一個含有∠BCE的直角三角形即可.基于這種思路,學生提出以下幾種構(gòu)造方法.

圖4

設(shè)E(m,0),利用兩點間距離公式,可得

故E(6,0).

事實上,解法1還利用了幾何中經(jīng)常使用的等面積法,成功地把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)中的方程問題.此種解法比較常規(guī),屬于通法,但是計算稍顯繁瑣.

圖5

又由OB=OC,即∠CBO=45°,得∠FBG=45°.

因此FG=BG=1.

故E(6,0).

解法2主要是注意到△COB是等腰直角三角形,進而構(gòu)造出另外一個等腰直角三角形BGF,然后利用平行線分線段成比例的基本事實,快速得到OE.與解法1相比,計算量大大減少,但是輔助線的添加較為繁瑣,也需要學生能夠注意到特殊的角度.

在解法2的基礎(chǔ)上,有學生提出了解法3.

解法3：如圖6,過點E作EF⊥CB,交CB的延長線于點F,易證△AOC∽△EFC.

圖6

解法3其實也是注意到了特殊的45°角,但是與解法2相比,顯然輔助線相對簡單,后續(xù)的計算過程也比較簡便.

同樣地,也是注意到了特殊角,有學生提出可以用如下解法來構(gòu)造相似三角形.

解法4：如圖7,過點A作AF⊥BC于點F,可得∠1=∠2=45°.

圖7

故E(6,0).

以上四種解法的共同點都是構(gòu)造相似三角形,前三種解法都是構(gòu)造不同的直角三角形與△AOC相似,解法4是構(gòu)造直角三角形與△EOC相似.同時,解法1還使用了兩點間的距離公式和等面積法,解法2利用了平行線分線段成比例的基本事實,解法3利用了△BEF是等腰直角三角形.相對來說,解法1的輔助線學生比較容易想到;解法4中的△ABC中含有45°角,注意到這一點,就很容易聯(lián)想到作輔助線AF.解法3和解法4的計算過程相對簡單.

完成了上述四種解法后,有學生提出了利用圖中∠CBE=135°也可以構(gòu)造相似三角形,于是得到解法5.

解法5：如圖8,在OC上截取OF=OA=1,則CF=2.

圖8

故E(6,0).

上述解法5需要注意到∠CBE=135°,不容易想到輔助線的構(gòu)造,但是計算過程比較簡便.

思路二：構(gòu)造直角三角形斜邊中線模型,即利用相等角(“秒殺”).

上述五種解法都是構(gòu)造相似三角形,有沒有更加簡便快捷的方法呢?跳出構(gòu)造相似三角形這一框架,要求點E的坐標,在已知點C坐標的情況下,可以通過求出直線CE的解析式,即先求出CE與BD的交點F的坐標來得到.由于△BCD是直角三角形,因此利用第(2)問的結(jié)論和第(3)問的題設(shè)條件可以推出F為BD的中點,再利用中點坐標公式即可求出點F的坐標.

解法6：如圖9,設(shè)CE與BD交于點F.由第(2)問結(jié)論△ACO∽△DBC,可得∠DCB=∠AOC=90°,∠CBD=∠ACO,于是∠CBD=∠BCE.

圖9

因此CF=BF.

因為∠CBD+∠CDF=90°,∠DCF+∠BCE=90°,所以∠DCF=∠CDF,即CF=DF,從而DF=BF.

于是F(2,2).

思路三：全等模型,即利用相等角,構(gòu)造全等型(“秒殺”).

利用隱含條件∠OBC=∠OCB=45°,∠1=∠BCE可進一步推出∠OBD=∠OCE,延長BD交y軸于點F,構(gòu)造全等三角形,利用全等三角形對應(yīng)邊相等,將求OE的長轉(zhuǎn)化為求OF的長.由于直線BD的解析式非常容易得到,因此易求出點F的坐標,這種解法計算量也很小.

解法7：如圖10,延長BD交y軸于點F, 和解法5一樣可證∠1=∠BCE.又由∠OBC=∠OCB=45°,可得∠OBF=∠OCE, 從而有△BOF≌△COE,可得OE=OF.由直線BD的解析式為y=-2x+6,可得F(0,6),即OF=6.故OE=6, 即E(6,0).

圖10

解法7中,得到∠OBF=∠OCE后,由于這兩個角正好都在直角三角形中,因此也可以使用三角比來得到OE=OF.

上述七種解法的輔助線構(gòu)造方法不同的一個重要原因是學生處理問題的出發(fā)點不同,幾種相似模型的輔助線構(gòu)造方法也不同則是因為構(gòu)造的相似三角形不同,這是很自然的過程,從本質(zhì)看,又屬于“形變質(zhì)通、殊途同歸”.輔助線通常是解決問題的橋梁,巧妙的輔助線經(jīng)常可以“柳暗花明又一村”.

2 思考和啟迪

列夫托爾斯泰說過:“知識,只有當它是靠積極的思維得來,而不是憑記憶得來的時候,才是真正的知識.”因此,教師在課堂上應(yīng)把思考的權(quán)力還給學生,留給學生充分的思考時間.

對于初中的綜合題講評課,筆者認為在教學時要注重對數(shù)學模型的抽象和提煉.“模型”是學生學好數(shù)學的一種認知策略.在教學中要充分利用“數(shù)學模型”,從不同角度去思考同一道題目的解答方法,讓學生大膽地質(zhì)疑、大膽地思考,從多角度去發(fā)現(xiàn)問題.每一個條件不同的延伸方向都是一種不同的解題思路,學生在探究的過程中所獲得的會比僅僅接受一種解法更加全面.作為教師,不僅要給學生探究的機會,更要及時收集和分享學生的探究成果.一題多解,溝通了各種知識間的內(nèi)在聯(lián)系,有利于形成知識系統(tǒng),同時讓學生學會從不同的角度去思考同一個問題,有利于提高思維的流暢性和變通性,提高解題能力[2].