一道與旋轉(zhuǎn)有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)最值問(wèn)題的探究

李幽蘭

? 湖北省武漢市吳家山第二中學(xué)

初中平面幾何中,由圖形運(yùn)動(dòng)而產(chǎn)生的最值問(wèn)題歷來(lái)是學(xué)生解題的難點(diǎn),究其原因是圖形一直在變化,學(xué)生無(wú)法捕捉到運(yùn)動(dòng)變化背后“不變”的元素,難以分析出取最值時(shí)變化元素的位置,也就無(wú)法根據(jù)具體圖形分析求解[1]．其中,與旋轉(zhuǎn)有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)求最值問(wèn)題,熱度一直高居不下,近幾年常“駐”各地中考選填題和幾何綜合題的壓軸位置,令莘莘學(xué)子頭疼畏懼.下面筆者分享一道題目的解法和變式的深入探究,希望給讀者一點(diǎn)啟發(fā).

圖1

解法1：(坐標(biāo)法)分別過(guò)點(diǎn)Q和Q′作x軸的垂線,垂足分別為點(diǎn)M和N,如圖2.

圖2

于是∠QMP=∠PNQ′=90°,則∠PQ′N+∠NPQ′=90°.

因?yàn)椤螿PQ′=∠QPM+∠NPQ′=90°,則∠PQ′N=∠QPM.

又PQ=Q′P,所以△PMQ≌△Q′NP(AAS).

故PM=Q′N,QM=PN.

故選答案:B.

點(diǎn)評(píng)：解法1抓住平面直角坐標(biāo)系中的有利條件,構(gòu)造了 “一線三垂直”模型證三角形全等.首先設(shè)未知數(shù)表示出動(dòng)點(diǎn)Q的坐標(biāo),用坐標(biāo)來(lái)表示線段長(zhǎng)度進(jìn)行轉(zhuǎn)化,然后由勾股定理表示兩點(diǎn)之間的距離,用含x的式子將OQ′表示出來(lái),最后運(yùn)用二次函數(shù)的知識(shí)求出最值.這種方法雖然很巧妙、簡(jiǎn)便,但是有一定的局限性,只能用于有坐標(biāo)系且旋轉(zhuǎn)角度特殊的題目.

解法2：(軌跡法)如圖3,將△AOB繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△A′O′B′,則Q′為直線A′B′上一動(dòng)點(diǎn),根據(jù)垂線段最短,OQ′的最小值為點(diǎn)O到直線A′B′的垂線段的長(zhǎng)度d.

圖3

由題意,得O′(1,1),A′(3,1),B′(1,-3).

點(diǎn)評(píng)：解法2由旋轉(zhuǎn)的本質(zhì)出發(fā),直線AB繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°所得直線A′B′即為動(dòng)點(diǎn)Q′的軌跡,但直接求直線A′B′的解析式不方便,因此旋轉(zhuǎn)整個(gè)△AOB,先求出點(diǎn)A′和B′的坐標(biāo),再求直線A′B′的解析式,最后用面積法求出點(diǎn)O到直線A′B′的距離.當(dāng)然,在求出了直線A′B′的解析式后,也可以由此設(shè)Q′的坐標(biāo),用解法1中的坐標(biāo)法,運(yùn)用勾股定理和二次函數(shù)來(lái)求最值.解法2適用于大部分的動(dòng)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)求最值問(wèn)題,即先確定動(dòng)點(diǎn)軌跡.

圖4

變式1在Rt△AOB中,OA=2,AB=4,P是OB上一點(diǎn),OP=1,Q是邊AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),將Q繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°得到點(diǎn)Q′,連接OQ′,則OQ′的最小值為_(kāi)_____.

解析：點(diǎn)Q在AB上運(yùn)動(dòng),即點(diǎn)Q的軌跡為AB,那么將AB繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)就能得到點(diǎn)Q′的軌跡.于是,將△AOB繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°得到△A′O′B′,如圖5,則點(diǎn)O到A′B′的距離即為OQ′的最小值.

圖5

由旋轉(zhuǎn),得∠BPB′=30°.

在Rt△AOB中,OA=2,AB=4,所以∠B=∠B′=∠BPB′=30°,于是A′B′∥OB,則∠AEB′=∠AOB=90°.

所以點(diǎn)O到A′B′的距離為OE的長(zhǎng)度.

如圖5,過(guò)點(diǎn)B′作B′F⊥OB于點(diǎn)F,則∠B′FP=90°,于是四邊形OEB′F是矩形.

變式1沒(méi)有坐標(biāo)系背景,顯然解法1不適用,而運(yùn)用解法3,將點(diǎn)O繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°以后再求O′到AB的距離較為麻煩,經(jīng)對(duì)比發(fā)現(xiàn),此題解法2是最簡(jiǎn)便的.

類似地,還可以變化圖形形狀和旋轉(zhuǎn)角度,解法一樣.

變式2如圖6,在等腰三角形ABC中,∠BAC=120°,AB=AC,D是AB上一點(diǎn),AD=2,BD=4,E是邊BC上的動(dòng)點(diǎn),若點(diǎn)E繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是F,連CF,則CF的最小值是______.

圖6

基于以上分析,我們可以總結(jié):解決這類繞定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的最值問(wèn)題有三種方法,分別為坐標(biāo)法、軌跡法、逆向軌跡法,根據(jù)不同的題目來(lái)選擇合適的方法,最常用的是軌跡法.若是動(dòng)點(diǎn)所在的直線繞定點(diǎn)旋轉(zhuǎn),則先確定動(dòng)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后的軌跡,再根據(jù)垂線段最短求點(diǎn)到直線的距離,最后解直角三角形得到所求最值.

動(dòng)態(tài)問(wèn)題解題的關(guān)鍵是在“動(dòng)”中尋找“定”的量,再由這些定量探尋出動(dòng)點(diǎn)形成的軌跡,從而根據(jù)軌跡分析出最值位置,即“由動(dòng)尋定,由定定軌,由軌求最”[2]．題目只是知識(shí)方法的一個(gè)素材,解題的過(guò)程能讓學(xué)生理解知識(shí)的原理,提煉方法的本質(zhì),注重解法的策略,總結(jié)問(wèn)題的歸類,從而達(dá)到利用有限的題目實(shí)現(xiàn)無(wú)限的再創(chuàng)造．由解一道題變成會(huì)解一類題,乃至通解一種體系的題,這也是解題教學(xué)的方向[1].