關注問題梯度,提升解題能力
——以“一次函數(shù)面積問題”教學設計為例

秦 哲

?廣東省深圳實驗學校初中部

面積問題一直是中考的重點和難點,平面直角坐標系中的面積問題往往是幾何與函數(shù)的綜合問題,一般考查學生邏輯思維能力和數(shù)學知識的綜合應用.學生遇到這類問題,通常無法將面積問題進行有效轉化.本文中以八年級“一次函數(shù)面積問題”復習課的教學設計為例,闡述如何通過優(yōu)化問題結構,以問題驅動課堂,以問題變化提高學生解題的熱情,引導學生從多角度和全方位進行思考,形成解題策略,深化解決平面直角坐標系中面積問題常用的方法.

1 問題引入,方法歸納

在平面直角坐標系中,直線l1:y=x+2與y軸相交于點A,l1上點B的縱坐標為5.(文中的變式都使用此條件.)

問題1如圖1,連接OB求點B的坐標和△OAB的面積.

圖1

解略.

點評：在平面直角坐標系中,若三角形的一邊在坐標軸上或平行于坐標軸(通常稱之為“橫平豎直三角形”),則可以直接利用三角形面積公式求出其面積.如問題1中△OAB的邊OA在y軸上,它是一個“橫平豎直三角形”.“橫平豎直三角形”是解決一次函數(shù)面積問題的突破口.

問題2如圖2,若點C(1,0),連接AC和BC,求△ABC的面積.

圖2

方法1：如圖3,過點B分別作x軸和y軸的垂線,垂足分別為F,E,從而把△ABC的面積轉化為矩形的面積與三個三角形的面積之差,即

圖3

S△ABC=S矩形BFOE-S△AOC-S△BCF-S△EAB.

△ABC的面積由矩形的面積減去三個三角形的面積求得,這種方法稱之為“割補法”.

方法2：如圖4,過點C作y軸的平行線交AB于點D,則

圖4

S△ABC=S△ADC+S△BDC

方法3：如圖5,過點C作直線AB的平行線交y軸于點E,連接BE.因為△ABC與△ABE同底,且它們的高為兩條平行線之間的距離,因此S△ABC=S△ABE,△ABE為前面所說的“橫平豎直三角形”.由于AB∥CE,因此直線AB和直線CE的斜率相等,可求出直線CE的解析式,進而求出△ABC的面積.

圖5

利用“平行線間的距離處處相等”,將△ABC的面積轉化為△ABE(“橫平豎直三角形”)的面積,此方法稱之為“平行面積轉化法”.

點評：問題2中的△ABC不是問題1中的“橫平豎直三角形”,因此不能通過三角形的面積公式直接求解,需進行轉化.問題2的解決引出解決面積問題的三種方法——“割補法”“鉛垂法”和“平行面積轉化法”,為解決后續(xù)復雜的面積問題提供了基本思路和出發(fā)點.

2 變式訓練,鞏固提升

圖6

圖7

圖8

由于AB∥CD,因此kCD=kAB=1,則直線CD的解析式為y=x-3.

點評：變式1中的點C由“定點”變?yōu)橹本€上的“動點”,題目雖變復雜了,但仍可使用問題2提及的方法來解決,讓學生體驗方法應用的廣泛性.方法1關注“方程思想”,使用“未知數(shù)”表示動點C的坐標,利用“鉛垂法”表示三角形的面積并利用面積的等量關系構建方程求解;方法2關注“轉化思想”,使用“平行線”將△ABC的面積轉化為△ABD(“橫平豎直三角形”)的面積,將點C看成是兩條直線的交點.

變式2如圖9,在變式1的條件下,P是線段AB上的動點,若直線CP平分四邊形OABC的面積,求點P的坐標.

圖9

圖10

圖11

方法3：“平行面積轉化法”.如圖12,過點O作AC的平行線,交AB于點D.由△ADC與△AOC同底等高,可得S△AOC=S△ADC.則S四邊形AOCB=S△ABC+S△AOC=S△ABC+S△ADC=S△BDC.

圖12

將四邊形AOCB的面積則轉化為△BDC的面積,又直線CP平分四邊形AOCB的面積,可知CP平分△BDC的面積,故P為線段BD的中點.

點評：變式2為動直線平分不規(guī)則四邊形的面積問題,綜合性和難度都有提升,學生通過分析問題情境,運用已有的學習經(jīng)驗將陌生的新問題轉化為已知問題,精選方法進行解決.方法1以“分割法”為載體,經(jīng)由“橫平豎直三角形”求解;方法2利用“未知數(shù)”表示動點P的坐標,利用面積的等量關系構建方程;方

法3“平行面積轉化法”最巧妙,利用平行將四邊形AOCB的面積轉化為△BDC的面積,符合條件的點P即為線段BD的中點.將不規(guī)則圖形的面積轉化為我們熟悉的三角形面積,由“陌生”到“熟悉”,“一題多解”提高了學生思維的靈活性,拓寬了解題思路,更增加了學習數(shù)學的興趣.

3 反思與小結

3.1 關注問題的設置

復習課常常以問題為導向,解題為驅動.有層次、有梯度、系統(tǒng)化的問題能激發(fā)學生的求知欲,引發(fā)學生深度思考.在“一次函數(shù)面積問題”的變式訓練中,筆者利用相同的問題背景,對條件進行重新配置與組合,創(chuàng)設有層次的問題,這些問題雖各不相同,但相互聯(lián)系.從“問題1”到“變式2”層層遞進,由簡單的“橫平豎直三角形”求面積,到“動點”的面積問題,再到平分不規(guī)則四邊形的面積問題,由“靜”至“動”,從“簡單”到“復雜”.學生深入思考,使用多種方法解決問題,體驗成就感,不斷加深對解題思路和技巧的理解,為后續(xù)二次函數(shù)面積問題的學習作鋪墊.

3.2 關注數(shù)學思想的滲透

《義務教育數(shù)學課程標準(2022年版)》要求“能夠回顧解決問題的思考過程,反思解決問題的方法和結論,形成批判性思維和創(chuàng)新意識”.從“變化的”問題中提煉出“不變的”方法,促進數(shù)學思想的內(nèi)化.“模型思想”:問題1促使學生關注“橫平豎直三角形”,后續(xù)變式題中的三角形都可通過“分割”或“平行”轉化為“橫平豎直三角形”來求面積.“方程思想”:利用“未知量”表示動點,利用“等量關系”構建方程,這是解決動點問題的基本思路.“轉化思想”:將“普通三角形”的面積轉化為“橫平豎直三角形”的面積;將“不規(guī)則四邊形的面積”轉化為“三角形的面積”,化“繁”為“簡”,化“陌生”為“熟悉”.“轉化思想”不僅是有效的思維方式,更在數(shù)學的學習過程中扮演著重要的角色.

3.3 關注有針對性的專題訓練

“雙減”政策對初中課后作業(yè)的設計與優(yōu)化提出了更高的要求.我們要改變當前過量的、低效的、機械的作業(yè)訓練,提高課后作業(yè)質量.筆者認為教師首先要“下題海”,“見識”更多的題目,而僅僅靠做題是不夠的,還要對題目進行歸納和整理,將題目的技巧、方法和思路進行總結.課前精選例題,并對例題進行分析、整合、挖掘與拓展,讓學生進行有針對性的專題訓練,而非盲目地“多做題”;課堂中進行“變式教學”,用問題的多種變式組織課堂架構,將解題方法和數(shù)學思想作為貫穿課堂的主線,幫助學生鞏固所學知識,提升解題技巧,內(nèi)化數(shù)學思想.Z