考慮有界場的幾何不確定性非概率可靠性拓撲優化1)

戰俊杰 彭秀林 白仲航,?,2)

* (河北省健康人居環境重點實驗室,天津 300132)

? (河北工業大學國家技術創新方法與實施工具工程技術研究中心,天津 300401)

引言

拓撲優化作為一種有效的自動化設計工具,已廣泛應用于各種結構的設計問題.常用的拓撲優化方法主要包括SIMP (solid isotropic material with penalization)法[1-2]、ESO (evolutionary structural optimization)法[3]、水平集法[4-5]、智能拓撲優化方法[6-7]等.此外,Guo 等[8-12]提出了一種基于移動可變形組件/孔洞的拓撲方法,以可移動可變形組件為基本元件進行結構拓撲優化設計.近期,Luo 等[13-16]提出了一種基于材料場級數展開 (material-field series-expansion,MFSE)的拓撲優化方法,該方法能夠有效避免結構中的棋盤格現象及網格依賴性問題,并且能夠大幅減少設計變量個數,提高計算效率.

在結構的加工制造及使用過程中,不可避免會存在各種不確定性,比如加工誤差導致的幾何不確定性,工作時的載荷不確定性等.這些不確定性會使結構產生性能波動和關鍵指標降低,嚴重影響結構的安全性.現有處理不確定性的方法主要是基于概率框架進行的.隨著概率可靠性優化方法的發展,一些實用的求解策略如功能度量法[17-18],序列優化方法[19]及概率神經網絡[20]等都極大地促進了概率可靠性方法在實際工程中的應用.此外,實際工程中的許多不確定性,如分布荷載、幾何尺寸、材料屬性等,其在空間不同位置上的實現是隨空間位置的變化而變化的,這屬于“不確定場”問題.目前,常用來描述不確定場的模型為隨機場模型[21-23].將制造誤差引起的幾何缺陷描述為隨機閾值場模型,Kang 等[22]提出了一種考慮幾何空間不確定性的概率可靠性拓撲優化方法.通過將非侵入式PCE (the polynomial chaos expansion) 方法與設計靈敏度分析相結合,Keshavarzzadeh 等[23]提出了一種隨機場幾何不確定性下的可靠性拓撲優化的系統方法.

針對工程實際中廣泛存在的未知但有界不確定性,由于缺少大量樣本數據信息,難以獲得不確定性準確地概率分布特征,因此概率不確定性理論不再適用.作為概率可靠性理論的有效補充,研究人員提出了許多描述參數不確定性的非概率模型,比如模糊模型[24-25]、證據理論[26-27]、區間模型及凸模型[28-34]等.Sofi 等[30]通過結合區間運算和安全系數方法,將非概率可靠性指標描述為一個區間變量.Pantelides等[33]提出了一種反優化技術進行考慮載荷不確定性的非概率可靠性的優化設計.將結構邊界長度變化描述為凸模型,Luo 等[34]完成了考慮結構幾何不確定性的非概率可靠性優化設計,優化后的結構具有更高的可靠性.

至于少樣本的場不確定性問題,由于樣本數量有限,因此隨機場模型也不再適用.通過引入EUI(external unit interval)變量,Muscolino 等[35-36]提出了一種區間場方法來量化未知但有界的不確定場.基于空間相關性的數學定義和非概率級數展開方法,Luo 等[37]提出了一種處理有限樣本下不確定場問題的有界場模型.基于有界場模型,Zhan 等[38]提出了一種非概率可靠性指標進行結構場不確定性下的非概率可靠性評估,并進一步完成了不確定載荷場作用下的結構非概率可靠性優化設計研究[39].

文獻調研顯示,盡管基于參數的非概率可靠性優化方法已應用于結構幾何不確定性分析,但針對工程實際中考慮少樣本及空間變化特性的幾何不確定性,仍缺乏合理的可靠性優化模型.因此,本文將采用閾值技術[40]進行具有空間變化特性的幾何不確定性表征,并將Heaviside 過濾函數中的閾值 η 假定為有界不確定閾值場,建立非概率有界場模型,進而完成考慮結構幾何不確定性的非概率可靠性拓撲優化設計.

本文的具體安排如下: 首先進行不確定場的非概率描述,即將不確定場描述為非概率有界場模型;第2 節進行結構幾何不確定性的描述,即通過不確定閾值場來表示,進而描述為有界場模型;第3 節為建立結構的非概率可靠性優化模型;在第4 節推導了模型的靈敏度信息,并采用移動漸近線法 (method of moving asymptotes)[41]求解優化問題;最后通過2 個數值算例驗證了模型的有效性.

1 不確定場的非概率描述

其中Z0(x) 為標準化的不確定場,且滿足-1 ≤Z0(x)≤1.

考慮到在實際工程中結構的不確定邊界是連續變化的,因此假定有界不確定場Z(x) 的空間波動具有一定相關性.在本文中,設計域 Ωdom內任意兩個觀察點xa和xb對應的不確定場的相關性通過相關函數R(xa,xb) 來描述,R(xa,xb) 的表達式為

其中,符號 ‖·‖表示2 范數.L是不確定場Z(x) 的相關長度,它用來控制不確定場的空間波動程度.當相關長度L較小時,不確定場的空間波動較為劇烈,L=0表示所有觀察點處的變量都是不相關的;當相關長度L較大時,波動較為平緩,L→+∞ 表示不確定場完全相關,即所有觀察點處的不確定場值Z(xi) 均相等.

設計域內各觀察點之間的相關性構成了相關矩陣R,因此R表示為

基于非概率級數擴展,標準化的不確定場Z0(x)可表示為

在式(4)中,特征值 λj為降序排列,特征值越小的項對不確定場的貢獻值越小.因此,為提高模型的計算效率,可對式(4)進行截斷,僅保留前M項,即通過M個不確定系數(ξj(j=1,2,···,M))來描述不確定場.截斷公式可表示為

其中,α 是一個很小的值.在本文中,α=1.0×10-6.

對式(4)進行截斷后并代入式(1)中,可得到不確定場的表達式為

已知標準化的不確定場Z0(x) 的變化范圍為Z0(x)∈[-1,1],得

對式(7) 兩邊平方,并寫成向量的形式,可以得到

2 幾何不確定性的描述

在現有的拓撲優化設計中,Heaviside 過濾技術已得到了廣泛的應用.與敏度法和密度法過濾相比,優化的結構經Heaviside 過濾可獲得清晰的結構邊界.本文用到的Heaviside 過濾函數定義為

其中,不確定系數 ξj的變化范圍如式(9)所示.

為了進一步說明不確定閾值場 η (x) 對結構不確定性的影響,圖2 以MBB 梁為例分別給出了不確定閾值場 η (x) 和確定閾值 η (x)≡0.5 對結構邊界的影響.從圖2 中可以看出,與閾值為恒定值(η (x)≡0.5)相比,當閾值描述為不確定場時,結構的邊界會存在一定的擾動(認為是幾何不確定性).

3 考慮幾何不確定的結構非概率可靠性拓撲優化模型

3.1 考慮不確定閾值場的結構非概率可靠性指標

正如第2 節描述的那樣,不確定閾值場 η (x) 會對結構的邊界產生影響,進而影響結構的性能.因此,結構性能可表示為不確定閾值場 η (x) 的函數.在本文中,結構的性能函數可表示為C(η)≤C*,其中C為結構的柔順性,C*為給定的柔順性約束.令g(η)=C*-C(η),則g(η) 稱為極限狀態函數.

由式(6)可知,不確定閾值場 η (x) 是關于不確定系數 ξ 的函數.因此,在不確定系數 ξ 的空間中,極限狀態函數g(η) 可進一步表示為G(ξ)=g(η(ξ,x)).

依據有界不確定場的非概率可靠性指標的定義[39],極限狀態函數G(ξ) 可將不確定系數 ξ 空間劃分為可靠區和失效區,如圖3 所示(為便于表示,示意圖中只考慮了2 個不確定性系數 ξ1和 ξ2).因此,考慮幾何不確定性的結構非概率可靠性指標定義為

即表示在可靠區域內所允許的最大不確定性.其中,式(11)的最優解 β*為非概率可靠性指標.jud(G(0))用來判斷可靠性指標 β*的正負,具體的表達式為

3.2 基于MFSE 模型的拓撲優化方法

為避免傳統密度法拓撲優化中的棋盤格現象及網格依賴性問題,本文將采用基于MFSE 的拓撲優化方法[13].在本方法中,結構拓撲通過一個具有一定空間相關性的有界材料場函數φ(y)∈[-1,1],y∈Ωdom來描述.經材料場級數展開,并進行截斷保留前Me(Me≤N)項,則場函數 φ (y) 可表示為

其中,κk和 ψk為相關矩陣 Γ 的特征值和特征向量.相關矩陣 Γ 的表達式為

類似于前面不確定場的處理方式,依據有界不確定場函數 φ (y)∈[-1,1] 的界限并引入符號Hm=κ-1/2ΨTΓD(ym)ΓD(ym)TΨκ-1/2,則式(13) 可轉化為如下形式

在本方法中,假定結構的單元中心與不確定場函數 φ (y) 的觀察點ym一一對應.單元的插值函數可表示為

基于MFSE 的結構柔順性拓撲優化問題可表示為

3.3 結構非概率可靠性優化模型

在本文中,結合MFSE 優化模型(式(17))及考慮不確定場的可靠性指標(式(11)),考慮結構幾何不確定性的非概率可靠性拓撲優化問題可表示為:在結構體積一定的情況下使結構的可靠性指標最大化,進而來提高結構的可靠性,優化列式如下所示

需要注意的是,在式(18)的外層優化中,很難準確地獲得可靠性指標 β*對設計變量χ的靈敏度信息.因此,可采用關心性能法[34,39]對式(18)進行等效變換.基于關心性能法(詳見文獻[34,39]),式(18)的非概率可靠性拓撲優化問題可以轉化為

其中,內層優化為獲得在外層設計變量為χ時的關心性能值 σ (χ,ξ*),ξ*稱為關心點.確定了關心點 ξ*后便可得到此時對應的不確定閾值場 η (x) (依據式(11))分布情況.極限狀態函數G(χ,ξ) 是結構柔順性的函數,表示為G(χ,ξ)=C*-C(χ,ξ).由于C*為一給定常數,因此式(19)中外層優化的目標函數maxG(χ,ξ*)可等效表示為 m inC(χ,ξ*);內層優化等效為 maxC(χ,ξ).為給定的非概率可靠性指標下限值.

本文采用移動漸近線方法(MMA)[41]求解該非概率可靠性優化問題.優化模型的收斂準則定義為變量(內層為變量 ξ,外層為變量χ)在相鄰兩步迭代中的最大變化值小于0.01.

4 靈敏度分析

4.1 極限狀態函數對不確定系數的靈敏度分析

本文考慮幾何不確定性的非概率可靠性優化問題是基于梯度算法求解的,因此靈敏度分析是必不可少的過程.該優化模型(式(19))為嵌套優化,首先求解內層優化的靈敏度信息,即極限狀態函數G(χ,ξ) 對不確定系數 ξj的靈敏度分析.具體求解過程如下所示

平衡方程Ku=F兩邊對不確定閾值場 η (xi) 求導,并等式變換,得

4.2 關心性能值對設計變量的靈敏度分析

優化模型中外層優化主要涉及的靈敏度為關心性能值 σ 對設計變量χk的靈敏度分析,為實現優化模型的解耦,假設關心性能點 ξ 對設計變量的靈敏度為0.因此,其表達式為

其中,關心性能點 ξ*為優化模型內層的最優解.

依據鏈式法則,式(24)表示為

引入伴隨向量 γ,式(27)表示為

依據式(16)的插值函數,可得到

在單元層面上,關心性能值 σ 對設計變量χk的靈敏度可表示為

4.3 非概率可靠性拓撲優化流程圖

為便于理解式(19)的非概率可靠性拓撲優化模型,圖4 給出了優化過程的流程圖.優化過程為嵌套優化,其中右側為內層優化,目的是得到在幾何不確定性下的關心性能值,求解過程涉及極限狀態函數G(χ,ξ) 對不確定系數 ξj的靈敏度分析(第4.1 節內容);左側為外層優化,即在給定體積約束下獲得結構的最優拓撲,求解過程涉及關心性能值G(χ,ξ*) 對設計變量χk的靈敏度分析(第4.2 節內容).

5 數值算例

本節給出了2 個數值算例來驗證本文提出的考慮幾何不確定性的非概率可靠性優化模型的有效性.對于這2 個算例,結構的彈性模量和泊松比分別為E0=2.0×105MPa 和υ=0.3.在整個優化過程中,結構始終處于線彈性階段.這2 個算例都是Windows 10 操作系統性下基于MATLAB 軟件計算的,電腦的配置為AMD Ryzen Threadripper PRO 5965 WX 24-Cores 3.80 GHz,128 GB RAM.

5.1 MBB 梁結構的非概率可靠性優化

如圖5 所示為半個MBB 梁結構,結構的尺寸為140 mm×70 mm,整個設計域離散為140×70(9800)個平面應力單元.結構右下角約束了Y方向的位移,左邊約束了X方向的位移.集中載荷F=100 N 垂直作用于結構的左上角,方向為-Y方向.不確定閾值場的范圍為 η (x)∈[0.25,0.75],在本算例中考慮了不確定閾值場2 種不同的相關長度,即L=80 mm 和L=30 mm.此外,還討論了2 種不同的可靠性指標約束(=1.0 和=1.5)對拓撲結構的影響.本算例給定的結構體積分數為f=50%.

作為對比,首先給出了本算例的確定性優化結果,即不確定閾值場 η (x)≡0.5 的情況(等價于相關長度L→+∞ 時的閾值場),優化結果如圖6 所示.考慮不確定閾值場的結構非概率可靠性拓撲優化結果如圖7 所示.通過對比非概率可靠性優化結果(圖7 左列)與確定性優化結果(圖6),可以看出非概率可靠性優化的最優拓撲構型與確定性優化的不同,并且非概率可靠性優化的最優解是通過增加更多的肋來保證結構在不確定閾值場下的可靠性.

此外,圖7(a)和圖7(b)為考慮了不確定閾值場η(x)相 同的相關長度(L=80 mm),但優化模型(式(19))的可靠性指標約束值不同(=1.0 和=1.5).對比這兩個工況,可以看出非概率可靠性拓撲優化結果存在一定差異(如圖7(a)和圖7(b)左列),即結構中的“桿件”數量和位置存在明顯不同.另外,當 β 不同時,盡管關心點處的不確定閾值場空間分布波動情況類似,但不確定場 η (x) 的空間波動范圍會隨著可靠性指標約束值的增大而增大: (1)=1.0 時,波動范圍是 [ 0.34,0.75] (如圖7(a)右列);(2)=1.5 時,波動范圍是 [ 0.19,0.87] (如圖7(b)右列).優化結果存在差異的原因在于,隨著可靠性指標約束值的增加,進行結構的可靠性設計時考慮的幾何不確定性范圍更大,關心點處不確定閾值場的波動范圍也會更大(如圖7(a)和圖7(b)右列).同時,由于考慮了更多的不確定性,那么設計的結構可靠性會更高,最優的拓撲構型也會相應地發生變化(如圖7(a)和圖7(b)左列).此外,不確定閾值場 η (x) 的分布特點基本滿足在結構左側區域數值較大,右側區域數值較小的特點.

不同情況下的考慮幾何不確定性的非概率可靠性優化模型計算時間如表1 所示.其中,內層優化和外層優化的計算時間均為迭代一次的平均時間,內層優化的迭代步數為30 步左右,外層優化迭代為150 步左右.從表1 中可以看出,當不確定閾值場的相關長度較小(L=30 mm)時,內層優化需要的時間更長(23.360 4 s).這是因為當相關長度較小時,則需要更多的截斷項才能保證要求的不確定場截斷精度(式(5)),那么式(19)中內層優化中的變量數(ξj)會更多,計算時間也會相應地增加.

表1 不同情況下非概率可靠性優化模型計算時間Table 1 The computing time of non-probability reliabilitybased topology for different cases

為了說明優化結果的正確性,我們將通過差分靈敏度分析法來驗證第4 節的解析靈敏度分析的正確性,差分法采用的差分步長為0.001.以L=80 mm,=1.0的工況為例,內層優化共包含25 個不確定系數 ξj(j=1,2,···,25),隨機選取4 個不確定系數(ξ2,ξ5,ξ10,ξ15) 進行靈敏度對比,對比結果如表2 所示.外層優化同樣隨機選取4 個設計變量(χ2,χ10,χ30,χ70),對比結果如表3 所示.

表2 內層優化中不確定系數的靈敏度Table 2 Sensitivity of uncertainty coefficients in inner-loop optimization

表3 外層優化中設計變量的靈敏度Table 3 Sensitivity of design variables in outer-loop optimization

從表2 和表3 的對比結果中可以看出,第4 節的解析靈敏度和差分法的靈敏度計算結果非常相近,其相對誤差均在 1%以內.這證明了本文優化模型及解析靈敏度推導的正確性.

基于本文提出的考慮結構幾何不確定性的非概率可靠性拓撲優化模型,本算例中不同工況下的內層優化和外層的優化迭代歷史分別如圖8,圖9 所示.其中,圖8 表示第一次的內層優化.從圖8 中可以看出,在整個內層優化的過程中,目標函數都能夠快速收斂到某一特定值(圖8 實線所示),并且結構能夠始終滿足指定的可靠性指標約束(圖8 虛線所示).此外,圖9 的外層優化迭代歷史也體現了優化模型穩定的收斂性.因此,這也進一步證明了采用梯度優化算法來求解本文提出的非概率可靠性優化模型是合理有效的.

為了進一步驗證非概率可靠性拓撲優化結果的合理性,我們將非概率可靠性拓撲優化關心點ξ*(式19)處的幾何不確定性(即表示為圖7 右列的不確定閾值場)施加到確定性拓撲優化結構(圖6 所示)和可靠性拓撲優化結構(圖7 左列)上,來進行結構的柔順性對比,對比結果如表4 所示.以L=80 mm;=1.0的非概率可靠性拓撲優化結構為例(如表4第2,3 列所示),當確定性優化結構中存在幾何不確定性時(即關心點 ξ*處的不確定閾值場),結構柔順性值為C=34.95 N·mm,大于可靠性拓撲優化結構在該關心點 ξ*處的柔順性值C=33.66 N·mm.此外,其他條件下的非概率可靠性拓撲優化結構同樣滿足這種情況: (1)L=80 mm,=1.5 時,如表4 第4,5 列所示,C=35.57 N·mm 和C=34.94 N·mm;(2)L=30 mm,=1.0 時,如表4 第6,7 列所示,C=38.78 N·mm 和C=34.87 N·mm.因此,通過上述對比可以看出,當存在幾何不確定性時,考慮幾何不確定性的非概率可靠性優化結構具有更好的抵抗幾何不確定性的能力,即有更小的結構柔順性.

表4 可靠性拓撲優化結構和確定性優化結構在關心點 ξ* 處的柔順性對比Table 4 Comparison of compliance between reliability-based and deterministic topology optimization structures at concerned point ξ*

5.2 懸臂梁結構的非概率可靠性優化

在本算例中,以懸臂梁結構為例,如圖10 所示,懸臂梁結構設計域的尺寸為 1 12 mm×70 mm,離散為 7 840 (112×70) 個單元.懸臂梁結構的左側完全約束,集中力F=100 N 作用于結構的右下角,方向為-Y方向.不確定閾值場的變化范圍為 η(x)∈[0.25,0.75].結構的體積分數約束同樣設定為f=50%.本算例考慮了一種不確定閾值場的相關長度L=30 mm 和一種可靠性指標約束值=1.0 來進行考慮幾何不確定性的結構非概率可靠性優化設計.

圖1 光滑系數 δ=20 時,不同閾值 η 下Heaviside 函數Fig.1 The Heaviside function under different thresholds η when smoothing parameterδ=20

圖2 閾值為定值(η (x)≡0.5)及不確定閾值場 η (x) 下的MBB 梁拓撲構型Fig.2 Topological structure of MBB beam considering the constant threshold η (x)≡0.5 and uncertain threshold field

圖3 有界場模型非概率可靠性指標示意圖Fig.3 Schematic diagram of non-probabilistic reliability index for the bounded field model

圖4 非概率可靠性拓撲優化流程圖Fig.4 The flowchart of non-probabilistic reliability-based topology optimization

圖5 MBB 梁結構設計域Fig.5 Design domain for the MBB beam structure

圖6 MBB 梁結構確定性拓撲優化結果(不確定閾值場 η (x)≡0.5),目標函數值C=34.22 N·mmFig.6 Deterministic topology optimization solution for the MBB beam structure (uncertain threshold field η (x)≡0.5) and the objective function valueC=34.22 N·mm

圖7 不同相關長度 L 及不同可靠性指標 約束下的非概率可靠性拓撲優化結果(左列)和關心點處的不確定閾值場 η (x) 分布情況(右列)Fig.7 Non-probabilistic reliability-based topology optimization solution (left column) and the distribution of uncertain threshold fields at the concerned point (right column) with different correlation lengthL and non-probability reliability index

圖8 內層優化迭代歷史(實線表示目標函數,虛線表示可靠性指標約束)Fig.8 Iteration history of inner-loop optimization (solid lines represent the objective function and dashed lines represent reliability index constraints)

圖9 確定性和非概率可靠性拓撲優化的迭代歷史Fig.9 Iteration histories of the deterministic and non-probability reliability-based topology optimization

圖10 懸臂梁結構設計域Fig.10 Design domain for the cantilever structure

作為對比,本算例中同樣進行了懸臂梁結構的確定性拓撲優化設計,在整個優化過程中閾值場在設計域內各點處的閾值均為恒定值,即 η (x)≡0.5,懸臂梁結構的確定性拓撲優化結果如圖11 所示.考慮不確定閾值場的結構非概率可靠性拓撲優化結果及關心點對應的不確定閾值場分布情況如圖12 所示(L=40 mm,=1.0).對比2 個優化結果可以看出,在材料體積一定的情況下,可靠性優化設計的結構產生了更多的肋來抵抗結構中的幾何不確定性,以提高結構的可靠性.本算例進一步證明了本文提出的考慮幾何不確定性的非概率可靠性優化模型的有效性.

圖11 懸臂梁結構確定性拓撲優化結果(不確定閾值場 η (x)≡0.5),目標函數值C=19.62 N·mmFig.11 Deterministic topology optimization solution for the cantilever structure (uncertain threshold field η (x)≡0.5) and the objective function valueC=19.62 N·mm

圖12 相關長度 L=40 mm 及可靠性指標約束值 β=1.0 時的懸臂梁結構非概率可靠性拓撲優化結果和關心點處的閾值場分布,目標函數值C=19.79 N·mmFig.12 Non-probabilistic reliability-based topology optimization solution and the distribution of uncertain threshold fields at the concerned point with correlation length L=40 mm and non-probability reliability index β=1.0 and the objective function valueC=19.79 N·mm

6 結論

本文提出了一種考慮結構幾何不確定性的非概率可靠性優化模型,其中結構的幾何不確定性通過有界不確定閾值場函數來表示.基于材料場級數展開,不確定閾值場可通過一組不確定系數來描述.優化模型為嵌套優化問題,內層是進行結構的可靠性評估,外層為確定結構的最優布局.本文采用了基于梯度的優化算法來求解該非概率可靠性優化模型.數值算例表明,采用本文提出的非概率可靠性優化方法,可以得到分布更為合理的拓撲構型來提高結構在考慮幾何不確定性下的可靠性.