基于伺服電機驅動的進給傳動系統扭轉振動的Lie 群分析方法1)

徐 宏 傅景禮

(山東外事職業大學信息與控制工程學院,山東威海 264500)

引言

伺服驅動的數控機床中,進給系統的定位精度高低決定了零部件的加工精度、表面質量[1-3],且進給動作進行時,其運動平穩性還直接影響機床的刀具壽命,故現代加工與制造業對進給傳動系統有更高的速度與定位精度要求[4-5],以使數控設備具有更高性能.激光切割機具有典型的進給傳動系統在校準后能夠保證加工精度,但是,一段時間過后,其精度無法滿足加工需要.若重新校準需要大量的工作步驟,使激光切割機的加工效率大大降低,還會帶來成本問題[6-8].因此,本文對激光切割機伺服電機驅動的滾珠絲杠進給傳動系統進行動力學建模,研究其動態特性,成為有效地降低及控制伺服電機驅動的進給過程中扭轉振動的關鍵技術.

分析力學選擇坐標,基于理想約束的概念,從能量的角度提出動力學系統的基本原理,建立系統的動力學方程,適合解決質點系和多剛體系統的機械裝置的復雜問題[9],在約束力學系統和機械動力系統的建模方面得到廣泛應用[10-11].通過構造系統的Lagrange 函數,寫出其Lagrange 方程,從能量的角度建立系統的運動方程Lagrange 方程[12-13].1918 年Noether 提出了著名的Noether 定理,描述了動力學系統的某種對稱性和守恒量之間一一對應的關系.近年來,Noether 對稱性已被推廣應用到多種約束力學系統(例如非保守系統、非完整系統、Birkhoff 系統和機電耦合系統等)中[9,14-21],理論趨于完善.事實上,不論是機械系統、機電耦合系統還是一般電路系統,都可用Noether 對稱性理論得到系統的解[22-24].

本文將Noether 對稱性理論應用于激光切割機伺服電機驅動的滾珠絲桿傳動系統扭轉振動問題.給出該系統的動能、勢能和Lagrange 函數;建立該系統的第二類Lagrange 方程和約束方程;引入關于時間和廣義坐標的變換Lie 群,給出該系統的Noether定理和守恒量;利用得到的守恒量給出激光切割機傳動系統的動態響應,并對動態響應進行數值模擬.

1 激光切割機進給傳動系統扭轉振動的模型及其動力學方程

本文以具有3 個方向自由度的激光切割機為研究對象,如圖1 所示的激光切割機是由直線模組搭建的示意圖.該切割機以X,Y,Z軸三分方向進行進給傳動運動,各軸傳動均采用滾珠絲杠進行動作[25],并且X,Y,Z軸均由伺服電機進行驅動,表1 列出了以江蘇亞威機床股份有限公司生產的HLH2040 激光切割機為研究對象的技術參數.

表1 HLH2040 激光切割機技術參數Table 1 Technical parameters of HLH2040 laser cutting machine

圖1 激光切割機示意圖Fig.1 Schematic of a laser cutting machine

下面給出激光切割機的進給傳動系統主要部件的組成示意圖,如圖2 所示.在傳動進給過程當中,軸向載荷引起該系統的軸向變形和振動,在此振動過程中,可等效為激光切割機滾珠絲杠和伺服電機系統發生的振動位移[26].

圖2 進給系統示意圖Fig.2 Schematic of feed drive system

本文將帶負載沿X軸方向一側的傳動系統作為研究對象.因激光切割機在傳動進給過程中沿該方向的移動運行次數是最多的,且負載相對較大,運行速度相對較快,故此方向傳動系統動態特性對激光切割機在運行過程中的定位精度影響最大[27].

現對滾珠絲杠進給系統的軸向進行集中質量建模,滾珠絲杠傳動系統的2 個自由度將被保留.滾珠絲杠進給系統簡化后的等效軸向振動模型如圖3 所示.

圖3 進給系統等效軸向振動模型Fig.3 Equivalent axial vibration model of feed system

一般機電系統Lagrange 方程[28]為

式中,zs,qs為系統相互獨立的機械與電氣廣義坐標,D為耗散函數,Qs和Ek為對應廣義坐標的廣義力和電源電壓,Λs為非完整約束力.其中

λβ為約束乘子,系統的非完整約束為

在簡化動力學模型中,假設激光切割機作X軸方向一側的傳動進給產生振動.系統中等效的伺服電機質量ms、滾珠絲杠質量為mg,伺服電機驅動位移xs、滾珠絲杠的位移xg,滾珠絲杠轉動慣量為Jg,伺服電機轉動慣量為Js,θs和 θg分別是伺服電機和滾珠絲杠的轉動角度,k1和k2為伺服電機和滾珠絲杠的等效剛度.c1和c2是伺服電機和滾珠絲杠的等效阻尼,系統中的耗散函數為

故xs與xg為廣義坐標,則激光切割機進給系統扭轉振動的動能為

不計激光切割機在傳動進給過程負載重量的影響,勢能為存儲于變形的彈簧中的勢能,則

假設伺服電機與滾珠絲杠轉動的角度與位移之間的系數為E1與E2,有如下的約束關系

那么,此系統存在非完整約束.

故系統的Lagrange 函數可表示為

因激光切割機床的激光器不直接與工件接觸,在加工過程中,沒有外力的作用,系統廣義坐標對應的廣義力為Qs=0.考慮系統耗散公式D,將式L方程和廣義力方程代入一般Lagrange 方程,可以得到系統運動微分方程為

2 激光切割機進給傳動系統扭轉振動的Noether 對稱性與守恒量

引進群關于時間、坐標的無限小變換[29]

其中,ε 為無限小參數,ξ0,ξ1,ξ2為無限小變換的生成元.

引入激光切割機進給傳動系統扭轉振動Hamilton作用量[30],若γ 表示某曲線,則

在變換式(11)下,曲線γ 將變為γ*,那么此時系統的Hamilton 作用量表示為

作用量S的變分 ΔS為S(γ*)-S(γ) 的相對 ε 的主線性部分,有

將無線小變換代入變分公式,并注意到

式(16)和式(18)為該系統Hamilton 作用量變分的基本公式.

定義1如果激光切割機進給傳動系統扭轉振動的Hamilton 作用量是無限小變換下的不變量,即無限小變換滿足

則無限小變換是完整激光切割機進給傳動系統的Noether 對稱性變換.

定義2如果系統Hamilton 作用量是無限小群變換的廣義準不變量,即對每一個無限小變換,始終存在

其中,G為規范函數,Q1和Q2為廣義力,本系統中的兩個廣義力為0,Λ1和 Λ2表示廣義非完整約束力,則稱變換式(11)為系統廣義準對稱變換.

由上述定義公式(19)和系統 Hamilton 作用量變分的基本公式可以得到完整系統的如下判據1:對于無限小群變換式(11),若滿足條件

則變換式(11)為完整激光切割機進給傳動系統扭轉振動的Noether 對稱性變換.

由于 ε 獨立性可以得到完整激光切割機進給傳動系統扭轉振動的Noether 恒等式

Noether 定理 1:假設無限小變換式 (11) 是完整激光切割機進給傳動系統扭轉振動的 Noether 對稱變換,則該系統存在如下形式的守恒量

Noether 定理 1 也可以表示為 Noether 定理2.

Noether 定理 2:對于完整激光切割機進給傳動系統扭轉振動,若無限小變換式 (11)滿足Noether恒等式 (22),則完整激光切割機進給傳動扭轉振動系統存在守恒量(23).

用定義公式 (20) 和系統 Hamilton 作用量變分的基本公式可以得到保守非完整激光切割機進給傳動系統扭轉振動相應保守完整激光切割機進給傳系統動扭轉振動廣義Noether 準對稱性的如下判據2:對于無限小群變換式(11),若滿足條件

則變換式(11)是保守非完整激光切割機進給傳動系統扭轉振動相應保守完整激光切割機進給傳動系統扭轉振動的廣義 Noether 準對稱變換.

由于 ε 獨立性,可以得到保守非完整激光切割機進給傳動系統扭轉振動相應保守完整激光切割機進給傳動系統扭轉振動的Noether 恒等式

Noether 定理 3:若存在規范函數G,使得無限小變換式(11)是保守非完整激光切割機進給傳動系統扭轉振動相應保守完整激光切割機進給傳動系統扭轉振動廣義Noether 準對稱變換,則該系統存在如下形式的守恒量

Noether 定理 3 也可以表示為: 對于保守非完整激光切割機進給傳動系統扭轉振動相應保守完整激光切割機進給傳動扭轉振動系統,如果存在規范函數G使得無限小變換式 (11) 滿足Noether 恒等式(25),則該系統存在守恒量 (26).

定義3如果無限小變換式(11)是保守非完整廣義 Noether 準對稱性變換,且變換還滿足條件

則稱變換式 (11) 是保守非完整激光切割機進給傳動系統扭轉振動的強廣義 Noether 準對稱變換.

Noether 定理 4:如果存在規范函數使得無限小變換式 (11) 是保守非完整激光切割機進給傳動系統扭轉振動的強廣義 Noether 準對稱變換,則該系統存在守恒量 (26).

當條件(27)放寬為以下條件

便可以得出激光切割機進給傳動系統扭轉振動的弱廣義 Noether 準對稱變換.

Noether 定理 5:如果存在規范函數使得無限小變換式 (11) 是保守非完整激光切割機進給傳動系統扭轉振動的弱廣義 Noether 準對稱變換,則該系統存在守恒量 (26).

由 Noether 守恒量 (26) 再給定初始條件便可得出保守非完整激光切割機進給傳動系統扭轉振動相應保守完整激光切割機進給傳動系統扭轉振動在進給過程中的運動規律.

對于該振動系統,如果存在規范函數G=G(t,xs,,xg,),那么系統的Noether 等式

Noether 等式可以寫成Killing 方程的形式

將系統的Lagrange 方程代入廣義Killing 方程,得到以下3 個方程

設生成函數有下面的形式

將G和生成函數代入Killing 方程式(30)得

將等式兩邊相同項系數整理出來,得

經計算,可得

生成元可表示為

當s0,s1,s2取特殊值時,可以得到以下幾種對稱性

由激光切割機進給傳動系統扭轉振動的Noether定理形如下

代入系統的Lagrange 函數可以得到以下守恒量

我們觀察到守恒量I3=0,顯然這是平庸的;I1=-I2,說明它們不是相互獨立的;且I1,I2,I4和I5是系統的能量積分.如果有足夠的守恒量,守恒量就可以用于求運動方程的精確解,同時可以用于對方程求數值解.

3 激光切割機傳動系統扭轉振動的動態響應

激光切割機傳動系統扭轉振動的守恒量以及對稱性解的計算可以借助MATLAB 軟件,通過它可以編寫程序繪制相應的動態曲線[31].HLH2040 激光切割機加工范圍是4000 mm×2000 mm,工作臺最大載重1500 kg,其加、減速初始階段會有機床振動現象產生[32],在0～0.2 s 時間段內應用前文研究的守恒量.

激光切割機啟動的初始值設定為0

系統中各技術參數列于表2.

表2 技術參數Table 2 Technical parameters

伺服電機選擇額定容量為1.5 kW 的電機模型,轉動扭矩約為9.5 N·M

根據得到的守恒量、系統的動力學方程可以求得系統的響應方程

代入初始值可得到如圖4 和圖5 所示的動態響應.

圖4 伺服電機的速度和加速度響應Fig.4 The velocity response and acceleration response of the servo motor

圖5 滾珠絲桿的速度和加速度響應Fig.5 The velocity response and acceleration response of the ball screw

圖4(a)和圖4(b)為伺服電機的速度響應和加速度響應,從這兩張圖可以看出,在啟動瞬間隨著時間的推移,系統趨于穩定運行,本文所用的對稱性方法的加入使得系統能夠在極短的時間,約10 ms 的時間,即迅速穩定.

圖5(a)和圖5(b)為滾珠絲桿的速度響應和加速度響應,從這兩張圖可以看出,在啟動瞬間隨著時間的推移,系統趨于穩定運行,同樣使用分析力學Noether 對稱性方法約10 ms 的時間,系統快速趨于穩定.

4 結論

本文將Lie 群理論應用于伺服電機驅動的進給傳動系統扭轉振動問題,研究了兩自由度非完整保守激光切割機進給傳動系統的扭轉振動現象.首先,根據現有的一般機電系統模型,結合扭轉振動的力學模型,給出了機械動力學模型.其次,引入關于時間和坐標的無窮小變換,描述激光切割機進給驅動系統扭轉振動的Hamilton 作用,并給出扭轉振動的相關定義,從而給出其相應的Noether 定理.

然后,根據給出的定理,求出激光切割機進給傳動系統扭轉振動的守恒量.最后,將守恒量與扭轉振動的機械動力學方程相結合,得到系統的對稱解,并利用 MATLAB 軟件進行數值模擬.此外,本文給出的Lie 群分析方法還可應用于其他復雜的機械振動系統.