豎直振動激勵下半球形液滴界面失穩特性分析1)

黎一鍇 朱 銘 席 儒 王東方? 楊子明 吳 坤,2)

*(北京理工大學機械與車輛學院,北京 100081)

? (北京理工大學重慶創新中心,重慶 401120)

** (中國科學院力學研究所高溫氣體動力學國家重點實驗室,北京 100190)

?? (昆明理工大學云南省內燃機重點實驗室,昆明 650500)

引言

豎直振動板上的附著液滴動力學廣泛出現在工業和科學領域,如蒸發結晶、超聲霧化、風力渦輪機葉片除冰和內燃機二次霧化等[1-6].當振動幅度超過一定閾值時,首先在液滴表面觀察到對稱的規則圖案[7].隨著振幅的進一步增加,表面波變形加劇,這會產生尖銳的液線,并從液體射流的表面產生二次液滴[8].

研究具有不同物理性質的液體、不同接觸壁面條件和不同振動模式下的液滴的表面變形是液體動力學的一個焦點.James 等[9]觀察到液滴出現軸對稱駐波(緯向波)、靜止然后緩慢旋轉的方位角波(經向波)、隨時間變化的彈坑和液線,以及在逐漸增加的激勵振幅下的微小二次液滴的快速噴濺過程.Chang 等[10]將水滴放置在水平壁面,并通過施加一系列頻率的外部激勵來觀察水滴的共振行為.液滴的表面形態分為3 種模式: 緯向模式、經向模式和鑲嵌模式.通過引入球諧函數,根據液滴表面的幾何形態圖案對應識別每一個模態.Singla 等[11]將水銀放置在球形玻璃上,并采用不同的振幅和頻率對其施加垂直擾動,同時用高速攝像機記錄水銀液滴的振動.實驗觀察到,水銀液滴受到垂直擾動時液滴的振動頻率會達到擾動頻率的一半,不同的振動液滴的頻率對應于不同的表面模態.王凱宇等[12]研究發現超疏水表面上液滴的體積對共振振幅、模式區間、共振頻率等振動特性影響較大.Noblin 等[13]研究了有重力條件下聚苯乙烯振動基板上液滴的振動特性.通過調整頻率和振幅,觀察到液滴的兩種軸對稱振蕩的狀態,一種為接觸線保持固定,主要出現在低振幅條件下,另一種接觸線處于振蕩狀態,主要出現在臨界振幅之上.Shao 等[14]通過實驗研究了圓柱形容器中機械振動激發下的空氣水界面表面波,研究表明界面與容器接觸角對界面表面波波形有著很大的影響.

在垂直振動的液層表面上觸發周期性表面波的機制通常歸因于Faraday 不穩定性,這是Faraday[15]在研究垂直振動作用下液層表面的響應時提出的,他觀察到,表面駐波以驅動頻率一半的頻率振蕩.Kumar 等[16]將液體黏性納入了考慮范疇,修正了Mathieu 方程并給出了黏性液體表面不穩定性參考表,并且與實驗結果[17]吻合良好.Bronfort 等[18]研究了系統在垂直搖晃下氣泡-液體界面的Faraday波,研究表明存在一個明確的加速度閾值,超過閾值氣泡-液體界面出現次諧波.Chen[19]采用二維數值模擬研究了不同模式下Faraday 波的非線性動力學特性.Li 等[20]通過三維模擬研究了Faraday 不穩定下液層表面液線形成及其隨后斷裂相關的基本非線性動力學.Dinesh 等[21]指出,在機械和靜電引起的Faraday 不穩定性情況下,利用無黏理論都可以預測黏性流體共振時的模態響應.在接觸線遲滯現象對Faraday 不穩定性的研究中,Yuan 等[22]發現遲滯會使固有頻率增大,并通過計算得到了接觸角范圍與接觸線位置之間的線性關系.Bestehorn 等[23]用相場方法對Faraday 不穩定性進行了研究,進一步分析得到不同流體黏度下的非線性解.Dong 等[24]研究了扁平液滴的上表面在垂直激勵下由表面參數不穩定性引起的星形振蕩,并推導了一個結合平面Faraday波模態和液滴方位振蕩模態的三維振蕩模型.

在徑向周期正弦外加激勵作用下,球形液滴表面也會出現Faraday 不穩定性.Adou 等[17]在受徑向激勵的球形Faraday 不穩定性分析中,通過將Floquet方法[25]應用于球坐標系,解決了線性穩定性問題.姚慕偉等[26]基于線性小擾動理論研究了受徑向振蕩體積力的黏彈性液滴表面波的不穩定性.康寧[27]基于二維軸對稱數值仿真模型,并結合水平集與流體體積耦合算法(CLSVOF 方法)[28],對液滴在 Faraday不穩定性主導下的二次霧化過程及霧化機理做了深入研究.

現有的研究主要集中在Faraday 不穩定性引起的徑向力作用下液滴的界面不穩定性[9].當液滴受到垂直加速度時,表面也會出現次諧波.很少有研究探討豎直力產生的次諧波與Faraday 不穩定性之間的關系.以前的許多研究工作都致力于研究液體層而不是液滴的不穩定性.關于Faraday 不穩定性下球形液滴的表面波與豎直激勵下的表面波之間的聯系的文獻很少.此外,現有的模擬研究主要通過二維軸對稱數值模型研究液滴失穩產生的表面波的物理特性.然而,當發生非軸對稱經向表面波時,二維軸對稱數值模型不適用.因此,有必要通過三維數值模型進一步研究不同工況下液滴表面波的物理特性和機理.

本工作采用液滴振蕩實驗結合三維數值仿真,研究了振動平板上液滴的振蕩特性,主要討論了表面經向波和緯向波的演變過程.并將豎直作用力下的表面失穩特性與徑向作用力下由Faraday 不穩定性引起的表面失穩進行了比較,闡明了液滴在豎直加速度下發生經向失穩機理.豐富了液滴表面失穩形式的理論研究.

1 研究手段

1.1 實驗設置

實驗裝置如圖1 所示,通過該裝置可以獨立控制振動平板的激勵振幅和頻率.液滴發生器是一個尾端連接步進電機的注射器,注射器出口靠近平板.開啟步進電機可產生一定體積的液體(本文選用去離子水)使其聚集在平板中心位置,液滴直徑為7.5 ±0.02 mm.相關液滴物理特性如表1 所示,實驗中測量得到的液滴在鋁基板上的靜態接觸角均值為87°.

表1 水滴在室溫、標準大氣壓下的物理特性Table 1 Physical properties of water at atmospheric temperature and pressure

圖1 液滴振動實驗系統Fig.1 Schematic diagram of the experimental setup

UTG9005C 型函數信號發生器串聯SA-PA010型功率放大器,用于產生一定振幅和頻率的正弦電壓信號.鋁平板通過M5 螺紋連接到JZ-002 型激振器的頂端,并以與激勵電壓信號相同的頻率在豎直方向上振動.Ds1054 示波器清晰地顯示出頻率和電壓.1200 W 的鏑燈為實驗光源,均光片放置在觀測液滴與光源中間使光線均勻分布.實驗中使用PhantomV7.3 高速相機,使用焦距為180 mm 的Tamron 微距鏡頭.拍攝幀率為11 000 fps,曝光時間為88 μs,拍攝視窗為512×512 像素.

圖2 顯示了在不同頻率下,平板振幅和激勵電壓之間的線性相關性.因此,可以通過分別控制驅動頻率和平板振幅來觀察液滴在不同激勵參數下的形態變化和表面波特性.實驗條件根據表2 和表3設置.

表2 實驗工況: 激勵振幅的影響 (300 Hz)Table 2 Experimental condition: influence of forcing amplitude(300 Hz)

表3 實驗工況: 激勵頻率的影響Table 3 Experimental condition: influence of forcing frequency

圖2 不同頻率下的激勵振幅與激勵電壓的關系Fig.2 The relationship between forcing amplitude and excitation voltage of the plate under different frequencies

1.2 數值模型

在豎直振動激勵下液滴動力學特性的數值模擬中,將做出以下假設: 流體視為不可壓縮,氣體和液體彼此不混溶.表面張力和慣性力被視為體積力源項[29],并添加到Navier-Stokes 方程中.假設液滴的初始狀態是半球形的.因此,具體的控制方程為

式中,u=(u,v,w) 為流體速度矢量(其中,速度分量v為平板振動方向),p為壓力,ρ 為流體密度,μ 為流體動力黏度,混合物中的密度和黏度作為各相的體積分數的函數來計算

式中,下標l 和g 分別代表液相和氣相,c為基于流體體積(VOF)法的流體體積函數c(x,t),描述網格單元中某一種流體所占的體積

Fs為表面張力項,在Gerris 中采用改進優化后的CSF 近似方法計算表面張力,該方法最早由Duan等[30]提出,可以表示為

式中,σ 為表面張力系數,κ 為曲率,δs為界面的狄拉克函數,n為界面的法向量,為平滑處理后的體積率函數.A為慣性加速度,其表達式為

式中,Δ 為位移振幅,Ω 為角頻率,即 Ω=2πf,f為驅動頻率,j為豎直方向(y軸正方向)的單位矢量.

特征參量的定義如下: 特征長度L等于液滴直徑D,特征時間t=1/f,特征速度u=Df,特征密度ρ=ρL,特征動力黏度 μ=μL,特征壓力p=ρLD2f2,對控制方程式(1)和式(2)進行無量綱化,無量鋼化后的控制方程如下

圖3(a)為豎直作用力下的物理模型示意圖.在一個正方體的計算域中,液滴位于底部中心位置處,正方體計算域邊長L=2D.坐標系原點與液滴中心位置重合.

圖3 垂直慣性力和徑向慣性力作用物理模型Fig.3 Physical model with vertical inertia force and radial inertia force

底部的邊界條件設置為滑移邊界,實驗中測量工況內所得動態接觸角范圍約81°～128° (300 Hz,振幅小于100 μm),為了便于計算,模型中設置接觸角恒定為90°.因為在比較高頻率的激勵下,波長較小,接觸線處滑移距離很小,對于液體內部影響可以忽略不計.且在仿真工作中只選取了施加激勵的前有限個周期的時間段,液體半徑變化不大.

針對控制方程式(10)與式(11),采用時間交錯法可獲得時間上的二階精度離散方程組,通過使用時間分割投影方法和多重網格泊松方程求解器求解方程[31].數值模擬中使用了可變時間步長,受Courant-Friedrichs-Lewy (CFL)數0.3 的約束,以確保計算的穩定性.仿真工況的參數設置見表4,工況S-A 和S-B對應于振動頻率300 Hz,振幅分別為40 μm 和80 μm.由于液滴的慣性加速度遠大于重力加速度,因此模擬中不包括重力的影響.

表4 仿真工況設置Table 4 Simulation operating condition parameters

另外,本文還探究了液滴徑向加速度下失穩機制,圖3(b)是徑向加速度下液滴計算域示意圖,相比于前文中的數值模型,此模型僅僅將豎直加速度改變為徑向加速度,其他計算條件均保持一致,并且工況仍為工況S-B,此時加速度形式為

式中,i,j,k分別為直角坐標系下x,y,z方向的單位矢量,α,θ 分別為徑向加速度與i,j的夾角.

1.3 數值驗證

本文采用Gerris 仿真軟件[32]進行計算,用于求解具有兩相界面流的不可壓縮Navier-Stokes 方程.Gerris 在三維模擬中使用八叉樹形式的自適應規則將域離散為不同級別的計算網格.本文數值模擬的關鍵是捕捉液滴氣液兩相界面在不同工況下的變形,因此需要細化兩相界面的網格.在本文中,(Minlevel,Midlevel,Maxlevel)的組合用于指定數值模擬中的網格細化級別,即每個部分細分為2Minlevel,2Midlevel或 2Maxlevel個單元.流體介質分為液體、氣體和氣-液界面3 部分,其中氣-液兩相界面要求最高的網格分辨率,設置為Maxlevel;液體和氣體介質分別用Midlevel 和Minlevel 表示.本文使用自定義函數來指定基于流體體積函數c及其梯度的細化級別.這確保了以可承受的計算成本準確地解決兩相界面.采用3 種網格離散標準(4,5,6),(4,6,7)和(4,6,8)進行網格無關性研究.圖4 為實驗中液滴頂點從平衡位置到最高位置的位移與對應工況S-A 下采用不同網格離散標準的仿真結果對比圖.考慮到實驗結果一致性以及仿真計算時間成本,因此采用網格離散標準(4,6,7)作為本文的網格自適應標準.

圖4 液滴頂端位移的仿真和實驗結果對比Fig.4 Comparison between computational results of the droplet vertex with the experiment measurement

圖5 顯示了與實驗結果相比,液滴界面表面波形態的時間演變.在液滴宏觀表面波形態特征方面,模擬結果與實驗觀測結果基本一致.這表明所建立的三維模擬模型和網格自適應準則在再現外部振動下液滴界面的演變方面是準確的.

圖5 實驗(工況E-A)和仿真(工況S-A)表面波形態的比較Fig.5 Comparison of surface wave morphology of experiment (case E-A) and simulation (case S-A)

2 結果和分析

2.1 實驗結果

2.1.1 不同激勵振幅下液滴界面的失穩特性

為研究不同激勵振幅下液滴在振動平板上的振蕩特性,實驗中選取3 組典型的工況進行對比.實驗中驅動頻率保持為300 Hz,激勵振幅按照表2 中選取.圖6(a)～圖6(c)分別為E-A～E-C 實驗工況下的液滴的表面波形態.

圖6 不同激勵振幅下表面波形態的時間演化Fig.6 Time evolution of surface wave morphology under different forcing amplitudes

圖6(a)為激勵振幅為40 μm 下液滴的表面形態.定義液滴的頂端在其最高點時為初始時刻,記錄表面波形態在一個驅動周期T(T=3.33 ms)中發生的變化.液滴的表面波主要表現為軸對稱的緯向表面波.t=0 時,除了頂端表面波外,液滴還存在3 條軸向對稱的緯向表面波.之后,液滴頂端開始下降,表面波的波峰和波谷在0.25T處返回到平衡位置.0.5T時,液滴的頂端處于其最低位置,表面形成4 個緯向表面波.然后,液滴在0.75T時返回平衡界面.在1T時,液滴頂端將再次返回最高點,形成頂端表面波加上3 個軸對稱緯向表面波的形式.因此,可以將表面波變化周期確定為1T.

圖6(b)中,激勵振幅增加到160 μm.出現了顯著的經向表面波,這意味著軸對稱的表面波被經向不穩定性打破.以經向表面波最明顯時,即處于波峰位置時作為起始時刻,很容易識別出經向表面波的產生源于和板的接觸線.0 ＜t＜0.5T時,經向表面波從波峰逐漸回落到平衡位置,而在緯向表面波的作用下,經向表面波將逐漸向上移動直至消失.t=1T時,在液滴的底部再次產生清晰的經向表面波.然而,此時的經向表面波的位置是在t=0 的波谷位置.比較t=2T時液滴經向表面波的位置,可以發現液滴經向波的周期為 2T.t=0.5T和t=1.5T處的液滴頂端位置表明,在經向波出現后,緯向波仍然存在,并保持1T的周期.

進一步增加振幅到200 μm,從圖6(c)可以看出,在更大的慣性力作用下,液滴經向和緯向的表面波振幅顯著增大.兩種表面波之間也存在相互干涉,使得液滴表面由經向和緯向表面波組成胞格狀的駐波.此時,液滴的緯向和經向表面波的形狀演變將趨于混亂,但基于0T和2T處液滴形狀的相似性,推測表面波演變周期仍然是2T.

2.1.2 不同驅動頻率下液滴界面的失穩特性

在本節,改變驅動頻率,并適當調節激勵電壓使得振動平板的位移振幅保持相對一致,以研究不同驅動頻率下液滴所產生的表面波特性.實驗工況的參數設置見表3.

圖7(a)～圖7(e)對應不同驅動頻率下液滴的表面波形態圖.其中圖7(a)～圖7(d)以液滴頂端位于最高點作為初始參考對象,分別給出5 個不同位置,即最高位置、平衡位置、最低位置、平衡位置和最高位置作為參考位置.從圖中可以看出,不同頻率下液滴的緯向表面波周期與對應的驅動周期一致.液滴此時的表面波始終為簡諧波.另外,不同頻率下液滴產生的表面波也有區別.高驅動頻率下液滴表面波模態數明顯增多,這與Pang 等[33]的實驗規律一致.圖8 為不同驅動頻率下對應的液滴緯向表面波的波長,波長定義為沿球面經向所有波長的平均值.從圖中可以看出,隨著頻率的增加,緯向表面波的波長首先快速降低,當頻率大于400 Hz 時,波長降低的速率減緩.當頻率較大時,如圖7(e)所示,此時液滴表面產生2 倍于驅動周期的經向表面波,在Pang等[33]關于圓形和星形振蕩之間相互轉換的臨界振幅研究中也觀察到了類似現象.這可以解釋為高頻率下為了保持振幅一致而增加的電壓促使液滴發生了經向失穩,液滴此時的經向波為亞簡諧波.

圖7 不同驅動頻率下表面波形態的時間演化Fig.7 Time evolution of surface wave morphology under different forcing frequencies

圖8 液滴緯向表面波平均波長隨頻率的變化Fig.8 Variation of the average wavelength of droplet latitudinal surface waves with frequency

根據以上分析,通過實驗手段在宏觀層面上觀測到在激振作用下產生的經向波和緯向波,并探索了不同激振頻率和激勵振幅對兩種波形的影響.具體來講,不同激勵振幅下液滴存在著不同的界面失穩特性.在低振幅下,液滴界面主要發生緯向失穩從而產生具有軸對稱性質的緯向表面波,而緯向表面波的周期等于驅動周期1T.在高振幅下,液滴界面不僅存在緯向表面波,還會發生經向失穩產生經向表面波,經向表面波周期為驅動周期的兩倍,即為2T.而當激勵振幅足夠大時,表面波的形狀演變將趨向于混沌,但演變周期仍然是2T.頻率的變化也會引起振動模式的轉變,頻率增加,表面波模態數增加,相應波長減小.同振幅下,頻率繼續增加,波形會發生從只存在緯向波模式向緯向波疊加經向波模式的轉變.然而僅僅通過實驗手段不能說明表面波演化的微觀內在機理.

2.2 仿真結果

為了探明表面波演化的內在機理,通過仿真的手段對液體內部速度流場和壓力波動進行研究.

2.2.1 豎直慣性力作用下的緯向失穩特性

圖9 是液滴在 工況S-A 下緯向表面波的生成及發展過程.在初始時刻,液滴處于靜止狀態.然后,在慣性力的作用下液滴整體向正向(y軸正方向)移動,因此在表面張力的作用下液滴底部向內收縮.當t=0.25T時慣性力反向,但是液滴在慣性的作用下仍然有正向移動的趨勢,因此液滴底部繼續向內收縮.當t=0.55T時,液滴底部停止收縮,底部處于波谷位置,底部附近形成完整表面波的一半.隨后液滴在慣性力的作用下開始加速向y軸負向移動,底層液滴受到上方液層的擠壓將會抵抗表面張力逐漸向外擴張.t=1T時,液滴底部擴張到最大,形成波峰.此時,底部波峰和向上傳播的波谷形成一組完整的表面波.隨后液滴又將開始向正向移動并重復這樣的過程.當表面波接近液滴頂端時(t=2T),液滴頂端到液滴底部已經形成了兩組表面波.液滴底部首先產生表面波,且波的傳播方向是朝向液滴頂端的.

圖9 液滴緯向表面波演化仿真結果(工況S-A)Fig.9 Simulation results of droplet latitudinal surface wave generation process (case S-A)

由這個過程可以得知,液滴在豎直慣性加速度下立即產生緯向方向的失穩.本文在其他工況下皆出現此現象,Vukasinovic 等[34]在靈敏度更高的實驗系統中也觀察到了同樣的現象,他們將此現象歸結于單自由度系統在小強迫振幅下的行為,這也驗證了本文仿真模型的正確性.

圖10 是工況S-A 下液滴緯向表面波在一個穩定周期內隨時間的演化過程.本文定義與頂端表面波相鄰的表面波為次級表面波.以液滴頂端表面波處于波峰位置時作為周期的起始點,此時次級表面波處于波谷狀態.根據圖10 可知,液滴緯向表面波演化周期與所施加慣性力的周期一致,這意味著液滴緯向表面波的頻率等于驅動頻率,即此時液滴緯向表面波是簡諧波.除此之外,發現液滴頂端位移與慣性力相位相差1/4 個周期.

圖10 穩定循環周期液滴頂端位移和慣性力隨時間的演變(工況S-A)Fig.10 Evolution of droplet vertex displacement and inertial force with time during the stabilization cycle (case S-A)

為了進一步研究液滴緯向表面波變化規律的內在機理,圖11 給出了液滴緯向表面波各關鍵時刻下液滴xoy截面的壓強場及速度場圖,其中黑色粗曲線為液滴的表面輪廓線,黑色小箭頭為速度矢量,壓強為相對壓強.液滴頂端處于波峰狀態的時刻被選擇為循環的開始.右側視圖給出了三維狀態下液滴表面的壓強場分布.液滴的波峰和波谷下方的液體區域分別是高壓區域和低壓區域.從整體來看,液滴表面各位置波峰和波谷是周期性交替變化的,而對應的高壓區和低壓區也會相應地周期性地交替變化.圖12 為t=0 時刻液滴表面從頂端到底端的壓強分布示意圖.液滴頂端高壓區的壓力最高,大約為124 Pa.而頂端之外的高壓區的壓強大小相似,都低于頂端高壓區的壓強.

圖11 工況S-A 在xoy 截面上不同時刻的液滴壓力場和速度矢量場Fig.11 Droplet pressure field and velocity vector field at different moments for case S-A in the xoy cross section

圖12 液滴在x 方向壓力分布(工況S-A,t=0)Fig.12 Pressure distribution from top to bottom surface of droplet(case S-A,t=0)

0 ＜t＜0.25T時,液滴頂端表面波由波峰位置向平衡位置移動.而此時液滴頂點處的表面張力也是向下的,所以表面張力對液滴頂端表面波做正功.而根據圖10 可知,此時慣性力方向也是向下的,因此慣性力對頂端表面波也做正功,這將進一步增大頂端表面波下方液體區域的動能,加速頂端表面波向平衡位置偏移.頂端液體區域向下流動時會逐漸流向次級表面波的低壓區,原本低壓區處的壓力逐漸升高,而表面波也從波谷位置向平衡位置處移動.其余位置處的表面波也將發生類似的流動及能量轉化.由圖11(b)可知,當t=0.25T時,液滴各表面波處于平衡位置.圖11(b)圖片右側是左側頂端部分的放大圖,紅色箭頭為液體流動方向,綠色箭頭為慣性力的方向.由圖可知,此時液滴頂端下方流體仍具備較高的動能往次級表面波位置處流動.

當 0.25T＜t＜0.5T時,慣性力向下并且逐漸減小,因此慣性力仍然對頂端表面波做正功,表面張力對頂端表面波做負功.由于剛開始表面張力小于慣性力,因此一開始合力仍然對頂端表面波做正功,這將使得其壓力勢能轉化為動能.頂端下方流體向周圍流動,使得次級表面波由平衡位置向波峰位置移動,此時表面張力和慣性力都對其做負功,這將增加對應區域的壓力勢能,逐漸形成高壓區.由于頂端表面波向波谷位置偏移時,液滴界面曲率將逐漸增大,表面張力也會相應增大,當表面張力大于慣性力時,液滴頂端表面波下行的速度將會降低.當t=0.5T時,在表面張力和慣性力的共同作用下,液滴頂端表面波行至波谷位置,由于下方流體區域的流動,其能量逐漸傳遞給次級表面波區域,所以形成頂端低壓區,而次級表面波接受能量,壓力勢能增加,逐漸形成高壓區.此高壓區的壓強大約為55 Pa.圖13 為液滴頂端及次級表面波下壓強隨時間的變化規律.其中,液滴頂端及次級表面波壓強取點位置相距半個表面波長.圖11(c)右側視圖為三維狀態下液滴表面的壓強場分布,這與t=0 時正好相反.進一步說明液滴緯向表面波處于穩定周期性變化時,其壓強場也有類似于表面波的駐波特性.

圖13 頂端表面波和次級表面波作用下壓力隨時間的變化(工況S-A)Fig.13 The variation of pressure with time under the top surface wave and secondary surface wave (case S-A)

當 0.5T＜t＜0.75T時,液滴頂端表面波由波谷位置向平衡位置恢復,此時慣性力方向由負向轉為正向,因此此時表面張力做正功,慣性力也做正功,液滴頂端表面波動能逐漸增加.當t=0.75T時,圖11(d)右側圖片為液滴頂端部分的放大圖.高壓點出現在液滴的頂部.對速度矢量場的分析表明,高壓點的出現是由于流體在圓周方向上的碰撞以及動能轉化為壓力勢能.

在整個周期的最后一部分,即 0.75T＜t＜1T時,液滴頂端表面波由平衡位置向波峰方向移動,此時慣性力方向為正,做正功,表面張力做負功.隨著液滴頂端的曲率逐漸增大,表面張力也在迅速增大,而慣性力在逐漸減小.當表面張力超過慣性力時,液滴頂端的移動將被減速.并且由于表面張力始終做負功,導致頂端表面波動能逐漸轉化為壓力勢能,因此液滴頂端的高壓區逐漸形成.當t=1T時,液滴整體形態、壓強場和速度矢量場逐漸回到周期起始的狀態.表明緯向波周期是1T,這與實驗相對應.

分析可知液滴形成軸對稱的周期性緯向表面波機理: 液滴表面張力和慣性力的共同作用下,通過液滴表面波完成不斷低能量轉化和傳遞,逐漸形成頻率與驅動頻率一致的周期性表面波.

2.2.2 豎直慣性力作用下的經向失穩特性

根據以上分析,液滴在慣性力和表面張力的共同作用下發生緯向失穩并形成穩定的緯向表面波.當激勵增大致使慣性力和表面張力無法再通過緯向波進行能量的轉化、傳遞而達到平衡狀態時,就會產生經向表面波.本節仿真工況為S-B.

在圖14 中,頂視圖用于更好地呈現液滴的經向表面波.t=0 時液滴處于靜止狀態,隨著慣性力的作用,液滴發生緯向失穩而產生緯向表面波,緯向波發展到 1 5.25T時基本保持穩定且只有緯向波存在,波形保持駐波特性.而當t=19.05T時,液滴周向出現了經向表面波,如圖紅色箭頭所示,此時經向表面波的振幅較小.經向表面波的出現意味著液滴發生了經向失穩,但同時注意到經向表面波在液滴底部位置較明顯,靠近液滴頂部位置仍然為較為平滑的緯向表面波.當t=21.35T時,液滴的經向表面波振幅增加,此時緯向表面波和經向表面波共存.對比工況S-A 和工況S-B,說明 ΔD數的增大會增加液滴經向失穩的趨勢.此外,施加激勵后的較長時間后才會發生經向不穩定性.

圖14 液滴的表面波演化(工況S-B)Fig.14 Surface wave evolution of liquid droplets (case S-B)

當t=23.35T時,液滴經向波振幅最大,并且存在波峰和波谷.在下一時刻,處于波峰的表面波和處于波谷位置的表面波都將向平衡位置移動.因此,當t=23.85T時,液滴經向表面波處于平衡位置.而當t=24.35T時,原先處于波峰位置的表面波變成波谷,而原先波谷位置的表面波變成了波峰.隨后當t=24.85T時液滴又回到經向平衡位置,而當t=25.35T時完成完整的液滴經向表面波的演化周期.液滴經向表面波演化周期大約為2T,即液滴經向表面波的頻率為驅動頻率的一半,這與實驗結論也相對應.經向表面波的次諧波相應表明,液滴在經向方向上的界面不穩定性是一種類似于Faraday 波的參數驅動不穩定性.同時觀察液滴頂部緯向表面波可以發現,此時液滴緯向表面波的周期仍然接近 1T,即緯向表面波仍然為簡諧波.

圖15 是t=23.35T時刻的液滴形態及其表面處壓強分布圖.可以看出,處于波峰位置處的經向表面波處產生了壓力集中形成經向高壓區,且同一條經波壓強從底部到頂部逐漸減小.由經向波形態和壓強分布推斷,促使液滴經向失穩形成經向表面波的能量集中在液滴底部,并且越往頂部逐漸降低.

圖15 經向波波形和表面壓力分布(工況S-B,t=23.35T)Fig.15 Longitudinal wave form and surface pressure distribution(case S-B,t=23.35T)

由上文分析可得液滴底部的狀態在液滴界面演化過程中具有重要的意義.圖16 是經向波半個周期內不同時刻下液滴底面的壓強場和速度矢量場圖.壓強變化周期為1T.當t=23.35T時,液滴底部中心壓強最高,并向四周逐漸降低.從速度矢量圖中可以得知,液滴靠近底部的界面發生徑向運動,接觸線向內收縮,這將進一步增大底部中心壓強.

圖16 液滴底部的壓力場和速度矢量場的輪廓(工況S-B,y=0)Fig.16 Contour of the pressure field and velocity vector field at the bottom of the droplet (case S-B,y=0)

當 2 3.35T＜t＜23.75T時,液滴底部中心高壓強將推動液體反向運動.波谷處因曲率更大而擁有更高的壓力勢能,因此當接觸線向外移動時壓力勢能轉化成動能產生更高的速度.當t=23.75T時,底部液體流向遠端導致遠端壓強高于內部,且之前的波谷處壓強高于兩側.當 2 3.75T＜t＜24.35T時,之前處于波峰的表面波變成了波谷,波谷變成了波峰,而液滴底面中心處壓強完成了周期性的變化,而在下個壓強周期完成時,經向表面波完成完整的周期.

綜上分析,豎直激勵振幅較大時,首先立即出現緯向不穩定性波,施加激勵后的較長時間后才會發生經向不穩定性.并且經向表面波的頻率為驅動頻率的一半,即次諧波效應.因此猜測豎直激勵下液滴在經向方向上的界面不穩定性是一種類似于Faraday波的參數驅動不穩定性.

2.2.3 徑向慣性力作用下的經向失穩特性

由以前的研究可知[15],Faraday 波具有次諧波效應.為了探明豎直慣性力下的經向波和由Faraday不穩定產生的表面波之間的聯系,對液滴施加垂直于表面,也就是徑向方向的激勵.這一工作通過實驗手段較難實現,所以用建立的徑向加速度模型進行仿真研究,工況為S-B.

圖17 是工況S-B 徑向加速度下由Faraday 不穩定性主導的液滴界面失穩時表面波演化狀態,此時液滴直接發生經向失穩產生經向表面波而不會產生緯向表面波,經向表面波具有次諧波的特性,周期為2T.此時液滴界面失穩而產生的表面波與豎直加速度下有著密切的聯系.由于加速度垂直于液滴界面,因此液滴底部界面將完全處于徑向運動狀態,在慣性加速度作用下發生失穩形成經向表面波.

圖17 徑向加速度下Faraday 不穩定性引起的液滴界面不穩定性(工況S-B)Fig.17 Droplet interface instability dominated by Faraday instability under radial acceleration (case S-B)

在仿真結果中,波長被定義為液滴上所有表面波的平均波長.根據線性理論,Faraday 表面波的波長可以近似計算為 Λ=2πr0/l,式中,l為模態數,r0為液滴半徑.從圖17 中可以看出,液滴模態數為8,可得波長直徑比約為0.418.表5 是工況S-B 不同加速度形式下液滴經向表面波物理特征值.

表5 不同加速度形式下經向波的物理特征值Table 5 Physical characteristic values of longitudinal surface waves in different acceleration forms

因此,在同一工況下,豎直加速度下液滴經向表面波的波長直徑比與經向加速度下及線性理論結果下的波長直徑比幾乎一致,這進一步說明液滴在豎直加速度下的經向失穩是由Faraday 不穩定性主導的.而其振幅直徑比的差異可以歸因于在同一 ΔD下,一部分豎直慣性力用于維持液滴發生緯向失穩.

結合章節2.2.2 及2.2.3 的分析.豎直激勵下液滴界面發生經向失穩的機制可以歸結為: 豎直慣性力通過液滴的幾何特征使液滴底部徑向運動,這種徑向運動會在接觸線處產生水平方向的徑向力,其方向垂直于接觸線處的液面,從而產生Faraday 不穩定性.當慣性力較大超過臨界條件時,一部分徑向力用于維持緯向失穩產生緯向表面波,另一部分將促進形成新的失穩特征,即液滴的經向失穩,并且經向表面波的頻率為驅動頻率的一半.

3 結論

本文基于平板上液滴振蕩實驗系統結合三維數值仿真模型研究了豎直振動平板上液滴的表面波的演化特性,得到主要結論如下.

(1) 基于平板上液滴振蕩實驗系統,分別研究了液滴界面在不同激勵電壓和不同激勵頻率下液滴失穩特性.發現在激勵電壓較小,即慣性力較小時,液滴表面發生緯向失穩并且形成軸對稱的緯向表面波,并且緯向表面波的頻率等于驅動頻率.增大激勵電壓液滴緯向表面波振幅增加.繼續增加激勵電壓到一定程度時,液滴表面會發生經向失穩并產生經向表面波,經向表面波頻率為驅動頻率的一半.當激勵電壓足夠高,即慣性力足夠大時,液滴緯向表面波和經向表面波會相互干涉,此時液滴表面形狀演化趨于混沌.頻率的變化也會引起振動模式的轉變,頻率增加,表面波模態數增加,相應波長減小.同振幅下,頻率繼續增加,波形會發生從只存在緯向波模式向緯向波疊加經向波模式的轉變.

(2) 建立了滴液受迫振動的三維數值仿真模型,對低 ΔD下液滴仿真結果中的物理場及液滴頂點位移與慣性力相位關系的研究,闡明了液滴形成軸對稱的周期性緯向表面波機理: 液滴表面張力和慣性力的共同作用下,通過液滴表面波完成不斷低能量轉化和傳遞,逐漸形成頻率與驅動頻率一致的周期性表面波.并且表面張力趨向于穩定液滴,慣性力趨向于促進液滴失穩.

(3) 在高 ΔD下,通過對液滴經向表面波形態及液滴內部物理場進行分析,并且結合Faraday 理論與同工況徑向加速度下由Faraday 不穩地性主導的液滴界面失穩產生的表面波物理特征進行對比,闡明液滴在豎直加速度下發生經向失穩機理: 由于液滴的幾何特征使得液滴接觸線處產生徑向力,徑向力法向地作用于液滴底部界面.當增加慣性力達到臨界條件時,隨之增加的周期性徑向力使得液滴底部界面發生變形,并由Faraday 不穩定性主導,最終形成Faraday 波即經向表面波,并且其頻率為驅動頻率的一半.