踐行新課標 凸顯一致性
——以“分數乘除法”一課為例

江蘇省常州市武進區潘家小學 翟雪皎

一、緣起：運算的一致性讓算理和算法成為有根之木

《義務教育數學課程標準（2022年版）》在“數與運算”主題中明確指出，要讓學生感悟數的運算以及運算之間的關系，體會數的運算本質上的一致性，培養運算能力和推理意識。但就目前的教材和教學來看，整數、小數、分數的運算法則似乎各自為政，缺乏本質的關聯性和內在的一致性。

以蘇教版數學六年級上冊第三單元“分數除法”為例，教材以濃重的筆墨引導學生借助直觀示意圖“分一分”，聯系分數的意義并借鑒整數除法的已有經驗，分析、比較、歸納出分數除法的計算法則；在教學內容的安排上，教材遵循螺旋上升、循序漸進的原則，先教學分數除以整數，然后教學整數除以分數，最后教學分數除以分數；學生在經歷“初步感知—類比歸納—驗證猜想”的全過程后，進一步明確無論是分數除以整數，還是整數除以分數，又或者是分數除以分數，都可以用“甲數除以乙數（0除外），等于甲數乘乙數的倒數”的方法來計算。在這樣的教學觀照下，學生看似很順利地掌握了分數除法的計算法則，但由于教材選取的例題具有特殊性，更容易用畫圖的方式直觀地表示出結果，因而在推廣到一般分數除法的計算時，學生難以用畫圖表示出這類分數除法的計算結果，并且脫離具體的情境，也無法用分數的意義來解釋分數除法。這樣看來，分數除法的計算僅僅停留在運用算法的層面，缺乏實質、有效、一以貫之的算理支撐，學生一度陷入說理困難的窘境也就不足為奇了。

事實上，數的認識與數的運算并不是割裂開來的兩個部分，而是以“計數單位”為統領，具有邏輯關聯性、內在一致性、前后承接性。相對于整數和小數而言，學生對分數的認知更有距離感，原因在于整數和小數都是以十進制計數法為基礎的，分數的計數方法則是基于沒有明確倍數關系的“分數單位”構建的。這種距離感在分數的運算中表現得尤為明顯。在整數和小數的加減運算中，我們可以把相同數位上的數字進行加減，但在分數加減法的運算中，卻不能把同為分母或分子的數字直接進行加減，而要通過轉化成相同的“分數單位”再進行加減。此外，現有的教材在分數乘法的編寫上，以畫圖直觀法和對分數意義理解的方法展開教學，弱化了“分數單位”的作用。這些都對學生理解分數乘除法的算理產生了負向的遷移，導致學生會用“分子相乘的積作分子，分母相乘的積作分母”以及“甲數除以乙數（0除外），等于甲數乘乙數的倒數”來進行分數乘除法的運算，卻不知為何要這樣計算。算法得不到算理的有效支撐，知識點呈散狀分布，不利于學生構建“鋼筋鐵骨”的知識結構。

基于《義務教育數學課程標準（2022年版）》中數運算一致性的理念，本文以“分數乘除法”為例，從統整視角出發，探討以計數單位（分數單位）來統領分數乘除法算法的可行性、有效性和必要性。

二、構建：重視計數單位，讓分數乘除法的運算有根可依

要探尋計數單位對分數乘除法運算的可操作性，有必要從計數單位基于分數的加減法說起。

（一）分數的加減法

分數的加減法在算法上雖與整數、小數的加減法表述不同，但剝去算法的外衣由表及里，我們發現它們在算理上保持著高度的一致。這也為我們探索以計數單位為核心的分數乘除法運算指明了方向。

（二）分數的乘法

要把學生熟知的分數乘法算法即“分子相乘的積作分子，分母相乘的積作分母”講出道理來，就需要教師明確分子相乘的積與分母相乘的積各表示什么含義。我們向下尋根，先來找找整數乘法與小數乘法在算理上的相同點。

整數乘法：如20×3=（2×10）×（3×1）=（2×3）×（10×1）=6×10=60，這也就能解釋在算法上先算2×3的積，表示的是計數單位上的數與計數單位上的數字相乘，即計數單位的個數；再在積的末尾添0，表示計數單位與計數單位相乘。

小數乘法：如1.2×0.3=（12×3）×（0.1×0.1）=36×0.01=0.36，在算法上我們先算12×3的積，表示的也是計數單位上的數與計數單位上的數相乘，即計數單位的個數；再根據乘數的小數位數一共有兩位，就從積的右邊起數出兩位，這一步實際上就是在算計數單位與計數單位相乘。

需要注意的是：在對整數乘法和小數乘法展開說理的時候，并沒有因為兩個乘數的計數單位相同或不同而有不同的處理，都是在用計數單位上的數與計數單位上的數相乘，再乘計數單位與計數單位的乘積。分數的乘法是否有相同的推論呢？

（三）分數的除法

除法運算的一致性體現為計數單位與計數單位相除，計數單位上的數字與計數單位上的數字相除。我們以整數除法和小數除法來分別舉例。

整數除法60÷2=（6÷2）×（10÷1）=3×10=30，小數除法0.6÷0.2=（6÷2）×（0.1÷0.1）=3×1=3。我們試著來驗證分數除法。

我們進一步梳理、完善上面的計算過程得到：

推廣到用字母表示的分數除法算式得到：

據此，不難得出“甲數除以乙數（0除外），等于甲數乘乙數的倒數”的結論。我們還能發現分數除法也同樣適用整數、小數、分數的基本規律，即計數單位與計數單位相除，計數單位上的數與計數單位上的數相除。這也體現了分數除法的運算與整數除法和小數除法的運算的一致性。

三、建議：數運算的教學要整體設計扎根串連

分數的乘除法作為小學階段運算教學的收尾部分，有必要撐起數運算的鋼架結構，而計數單位作為綱舉目張的存在也同樣需要滲透到日常運算的教學中。

為了達成以上目標，教師應該以整體教學的視角把握教學內容，注重知識的“生長點”和“延伸點”，幫助學生感悟數運算的一致性，讓學生學會用聯系的、發展的眼光看問題，讓數學核心素養落地生根。