淺談復變函數中初等多值函數教學的幾個要點

卜瑋平 劉紅良

【摘要】在復變函數的教學中，初等多值函數是其中的難點.文章以根式函數為例，并結合筆者的教學實踐，對初等多值函數中支點和支割線的選取及單值解析分支的確定與計算等要點進行了討論.

【關鍵詞】初等多值函數；支點；支割線；單值解析分支

【基金項目】湖南省普通高等學校教學改革研究項目[立項編號HNJG-2021-0422]

引 言

復變函數是大學數學中繼數學分析后的又一門重要分析類課程，其相關理論已廣泛應用于眾多學科.由于所考慮的自變量為復數，這使得一些函數通常呈現多值性，這是復變函數與數學分析這兩門課程的一個重要區別.事實上，在復變函數中多值函數具有廣泛應用.然而，實踐教學表明初等多值函數這部分內容是眾多學生學習的難點，也是部分初次講授復變函數的青年教師教學中感到吃力的地方.文章主要針對初等多值函數中支點、支割線和單值解析分支等內容并結合教學實踐中學生存在的問題展開討論，淺析教學中需要注意的一些關鍵點.

定義1 一般地，具有這種性質的點，使得當變點z繞這點一整周時，多值函數的函數值發生改變，也就是說，當變點回轉至原來的位置時，函數值與原來的值相異，則稱此點為多值函數的支點.

一般地，尋找多值函數的支點是教學中的一個難點.下面筆者通過幾個多值函數來說明支點的求法.

通過例1中的4個小題，可以得出判斷某一點是否為支點時所要注意的幾個關鍵點.首先，由（1）和（2）可知當自變量z繞某一點一整周時，關注函數w的輻角是否起變化，這是該點成為支點的前提.其次，比較（3）和（4）可知某一點為支點的條件是函數w的輻角變化不能為2π的整數倍.再次，由（3）可知當考查自變量z繞某一點一整周時應該選取充分小的鄰域進行考查，這樣可以避免出現誤判，例如當考查1是否為支點時所取鄰域包含0和1，這將導致函數w的輻角改變量為2π的整數倍，從而得出1不是支點的錯誤結論.

定義2 一般地，用來割破復平面，借以分出初等多值函數w=f（z）的單值解析分支的割線，稱為w的支割線.

從支割線的定義可以看出，其本質是為了限制自變量來達到限制函數w的輻角變化的目的（此時w的輻角不變或僅改變2π的整數倍）.事實上，對于給定的初等多值函數，支割線的選取方法并不唯一，這也是學生難以理解該知識點的一個原因.下面筆者針對例1中的4個例題來說明支割線的選取方法.

例2 給出例1中各函數支割線的一種選取方法.

解 （1）已知函數的所有支點為0和∞，顯然只要將復平面沿著0和∞的任意連線割開就可保證函數的輻角值不發生變化，這是因為按照上述方法割開的復平面將使得自變量z不能繞支點一整周（即割破的復平面上z的輻角的連續變化范圍小于2π），這就保證了函數的輻角值不起變化.特別地，筆者可取沿著負實軸連接0和∞的線作為支割線.

（2）類似于（1）中的討論，為了使得在割破的復平面上z-a的輻角的連續變化范圍小于2π，只需沿著任意連接a和∞的線割破復平面即可.因此，筆者取沿正實軸連接a和∞的線作為支割線的一種選取方法.

（3）由（1）和（2）可知，一種最簡單的方法是選用沿著正實軸連接0和∞的線作為支割線，因為此時在割破的復平面上z，z-1，z-2，z-3，z-4的輻角連續變化范圍均小于2π.然而，應該指出這種支割線的選取方法割破了復平面上一些本可不被割破的地方.事實上，可取沿正實軸分別連接0，1和2，3的線段及連接4和∞的射線構成支割線.下面筆者說明這種取法的合理性，此時z只有繞著0，1和2，3形成的線段一整周時，z（z-1）（z-2）（z-3）（z-4）的輻角值才會起變化.具體而言，當z繞著0，1形成的線段逆時針一整周時，僅z和z-1的輻角值起變化（即均增加2π）；當z繞著2，3形成的線段逆時針一整周時，僅z-2和z-3的輻角值起變化（即均增加2π）.這表明盡管z繞著分別由0，1和2，3形成的線段一整周時w的輻角值會起變化，但其輻角的增加值為2π的整數倍，因此w的數值不發生變化，即上述支割線的選取是合理的.

（4）根據（3）的分析，顯然可取沿著正實軸連接0和3的線段作為多值函數的支割線，也可取沿著正實軸連接0，1的線段及連接2，3的線段作為支割線.

通過上述4個例題，可得選取支割線時所要注意的幾個關鍵點：第一，多值函數支割線的選取并不唯一；第二，復平面上的支割線可由多段構成；第三，當取復平面上多段構成支割線時，必須保證復變量z繞每一段旋轉一周時函數w的輻角改變量為2π的整數倍.

現比較上述三種解法.第一種解法的錯誤原因在于沒有確定正確的單值解析分支，即可理解為將單值解析分支函數自變量的取法搞錯了.事實上，如果例3中所取的支割線為沿負實軸連接原點z=0和∞的線，則第一種解法是正確的.這表明在實際解題中如果能夠準確寫出單值解析分支函數，則應該注意函數自變量的取法，同時在解題時應該特別注意題設中所給定的是哪一種支割線，因為支割線的選取不一樣將可能使計算中所得的結果不同.對比第二種與第三種解法可知，盡管它們都能得到正確的結果，但是第二種方法需要知道單值解析分支的準確表示形式，然而實際當中存在眾多無法準確寫出單值解析分支的情形，因此在教學中筆者推薦用第三種解法進行解題.

總 結

教學實踐表明，初等多值函數是復變函數課程中學生學習感覺最吃力的內容之一.文章針對初等多值函數的支點、支割線和單值解析分支的確定與計算這些學生難以理解的內容進行了討論.通過結合例題的解答，筆者進一步闡釋了支點、支割線和單值解析分支這些概念，并指出了教學中應該注意的一些地方.

【參考文獻】

[1]韓惠麗，房彥兵.多值函數在復變函數中的應用[J].大學數學，2007（04）：180-183.

[2]韓仲明.復變初等多值函數教學初探[J].樂山師范學院學報，2015（12）：84-86.

[3]張萍萍，潘雪燕.根式函數值的計算[J].濱州學院學報，2020（04）：80-85.

[4]鐘玉泉.復變函數論：第5版[M].北京：高等教育出版社，2021.