面向狀態空間的永磁同步電動機控制器設計

田里思， 李佳偉， 劉立偉， 朱 碩， 宋建雄

（中國礦業大學電氣工程學院，江蘇 徐州 221116）

0 引言

永磁同步電動機（Permanent Magnet Synchronous Motor，PMSM）是一個多變量、變參數、強耦合和非線性的復雜對象。傳統的PMSM 矢量控制采用轉速和電流PI控制器結合，其設計通常采用先內環后外環的方式，較為繁瑣，且由于傳統的矢量控制中存在級聯結構，控制系統的動態性能和抗擾性能有所下降［1］。

狀態反饋控制只設計一個控制器，消除了傳統PI控制器的級聯結構，提高了控制系統的抗擾性能［2］。線性二次型調節器（Linear Quadratic Regulator，LQR）優化法為狀態反饋控制器（State Feedback Controller，SFC）的一種設計方法，其廣泛應用于PMSM的SFC設計中，但在利用LQR 設計SFC 之前，需要對控制對象進行線性化處理。文獻［3］中在PMSM額定工作點進行局部線性化，該方法計算簡單，但當電動機運行在其他工作點時存在一定的誤差。文獻［4-6］中采用前饋補償的方法對PMSM模型進行解耦，從而得到其線性化模型［7-8］，但對于內嵌式PMSM 來說，這種方法無法消除磁阻轉矩這一非線性項，即使采用id=0 控制方式也不能消除暫態過程中內嵌式PMSM 的非線性［9-10］。文獻［11］中采用反饋線性化方法對內嵌式PMSM進行了線性化處理，該方法通過狀態反饋和坐標變換，代數地將非線性系統部分或全部轉換為線性系統。

傳統LQR中的加權矩陣采用試錯法確定，但該方法計算量大，難以使控制系統優化效果最佳［12-13］。越來越多學者考慮將智能算法與LQR結合，以優化SFC的設計。文獻［6］中利用SFC 對PMSM 進行速度控制，同時借助人工蜂群（Artificial Bee Colony，ABC）算法在線調整其系數，從而使得控制性能不受電動機參數變化影響，實時保證系統具有最佳的動態響應。文獻［7-8］中分別針對無軸承PMSM和永磁同步輪轂電動機提出了一種由灰狼優化（Grey Wolf Optimization，GWO）算法調優的SFC，該控制器具有良好的跟蹤和抗干擾能力。

在上述研究的基礎上，本文利用輸入輸出反饋線性化將PMSM 非線性數學模型轉化為線性狀態空間模型，設計基于LQR 的SFC；同時采用GWO 算法對LQR中的加權矩陣Q和R進行優化，并進行Simulink仿真和實驗驗證。

1 基于反饋線性化的PMSM狀態反饋控制

dq坐標系下內嵌式PMSM的動態數學模型為：

式中：id和iq分別為三相定子電流在dq軸的分量；ud和uq分別為dq軸電壓；ωm為電動機的機械角速度；Rs為定子電阻；Ld和Lq分別為dq軸電感；p為電動機極對數；ψf為電動機轉子磁鏈；J為電動機轉動慣量；TL為負載轉矩。

本文選擇id和ωm作為PMSM 控制系統的輸出，將式（1）的內嵌式PMSM 動態數學模型變換成如下形式：

式中：

根據輸入輸出反饋線性化原理，選擇坐標變換如下：

式中：z=［z1z2z3］T為新的狀態變量；Lfh2（x）=為h2（x）對f（x）的李導數。則在新坐標系下系統的狀態方程變為：

式中：

由此，便可以針對該線性狀態空間模型設計SFC，即v= -Kz（K為反饋增益矩陣），此時反饋控制律為：

內嵌式PMSM輸入輸出反饋線性化框圖如圖1 所示。

圖1 內嵌式PMSM輸入輸出反饋線性化框圖

由于SFC只包含比例調節算法，為了保證控制系統在各種負載條件下跟隨給定時的穩態誤差為零，還需引入積分調節算法［14］，本文針對輸出ωm和id分別引入相應的積分調節算法，以保證在各種負載條件下電動機轉速跟隨給定轉速時無穩態誤差，同時保證控制系統具有良好的id=0 控制效果。

引入積分調節算法的方法是針對ωm和id引入誤差的積分量，并將其添加到系統的狀態空間模型中，本文引入了2 個積分量為：

將式（7）的2 個積分量添加到式（5）的狀態空間模型需要進行坐標變換，由式（3）的坐標變換式可得到2 個新的狀態變量為：

將以上2 個新的狀態變量添加到式（5）的狀態空間模型得到擴展狀態空間模型為：

式中：

本文借助最優控制理論中的LQR算法，通過選取加權矩陣Q和R來確定K，從而使得以下目標函數最?。?5］，即

式中：M為目標函數值，x為系統狀態變量，u為系統輸入，Q和R為加權矩陣。

2 基于GWO算法的SFC設計

LQR的加權矩陣Q和R決定了控制系統的動態性能，傳統的LQR采用試錯法選擇加權矩陣Q和R。為使控制系統性能達到最優，本文采用GWO 算法對加權矩陣Q和R進行優化。

2.1 GWO算法原理

GWO算法是一種新型的群體智能優化算法，它基于灰狼捕食獵物行為模擬了灰狼群體協作捕食獵物的行為，其中包括3 個主要過程：跟蹤獵物、包圍獵物、攻擊獵物。如圖2 所示，狼群中存在著嚴格的等級制度，它們的等級由自身的適應度函數值確定。每個等級的狼各司其職，在每次迭代過程中，狼群會依據適應度函數值選出α、β和δ狼，底層狼θ則依據α、β和δ狼的位置更新自身的位置［16］。

圖2 灰狼社會等級制度示意圖

跟蹤獵物的任務主要由α、β和δ狼完成，包圍獵物的任務主要由θ狼完成，可以用以下的表達式表示灰狼包圍獵物的過程：

式中：D為灰狼與獵物的距離向量；Xp（t）為獵物當前的位置向量；X（t）為灰狼當前的位置向量；X（t+1）為更新后灰狼的位置向量。系數向量G和H分別為：

式中：g為收斂因子，其模值隨迭代次數從2 線性遞減到0；r1和r2為模為0 到1 之間的隨機向量。

將α、β和δ狼的位置作為獵物的位置，這樣得到實際的灰狼包圍獵物的表達式如下：

式中：Dα、Dβ和Dδ分別為底層狼θ與α、β和δ狼的距離向量；Xα、Xβ和Xδ分別為α、β和δ狼當前的位置向量；X為底層狼θ當前的位置向量

式中，X1、X2和X3分別為α、β和δ狼給出的移動命令，則

式中，X（t+1）為更新后灰狼的位置向量。

灰狼包圍獵物的示意圖如圖3 所示。

圖3 灰狼包圍獵物示意圖

圖中：Dα、Dβ和Dδ分別為θ狼與α、β和δ狼的距離；g1、g2和g3對應系數向量G；h1、h2和h3對應系數向量H。保證算法在迭代過程中的隨機性，即使得θ狼具備全局搜索能力。

系數向量G可以描述灰狼攻擊獵物的過程，當＞1 時，在算法迭代初期有利于尋找全局最優解；當＜1 時，在算法迭代后期有利于算法的收斂。

2.2 基于GWO算法的SFC設計

適應度函數的選擇對算法的尋優過程具有重要影響，其選擇應與控制目標相一致。本文的主要控制目標是使電動機轉速在各種負載條件下都能跟隨給定值，次要目標是使控制系統具有良好的id=0 控制效果?；谝陨系目刂颇繕?，本文選擇適應度函數為

式中：N為總采樣次數；n為當前采樣次數；Ts為采樣時間；Δeω（n）=ωn（n）-（n），Δeid（n）=id（n）-。計算底層狼θ的適應度函數值的流程如圖4所示。

圖4 計算底層狼θ適應度函數值流程圖

3 Simulink仿真和實驗驗證

經過GWO算法優化后的加權矩陣Q和R為：

使用Matlab中的lqr函數計算得到優化后的反饋增益矩陣：

將優化后的K代入仿真模型中得到：①電動機在變載情況下（0.1 s時突加5 N·m負載，0.3 s時又突卸負載）的仿真結果（見圖5）。系統具有良好的抗負載擾動能力。②電動機在變速情況下（開始給定轉速設為400 r/min，0.1 s時變為500 r/min，0.3 s時又回到400 r/min）的仿真結果（見圖6），系統在轉速突變的情況下仍具有良好的轉速跟隨能力。③電動機正反轉（開始給定轉速設為400 r/min，0.1 s 時變為-400 r/min，0.3 s時又回到400 r/min）的仿真結果（見圖7），通過GWO算法設計SFC 在電動機正反轉情況下也能保持良好的控制性能。

圖5 PMSM變載情況下GWO算法仿真波形

圖6 PMSM變速情況下GWO算法仿真波形

圖7 PMSM正反轉情況下GWO算法仿真波形

如圖8 所示為PMSM 實驗平臺實物，采用TMS320F28335DSP 作為控制芯片，在Code Composer Studio軟件下進行編程操作，采樣周期選為0.1 ms。對應PMSM的參數如下：電動機的額定功率為2.2 kW，額定電壓為380 V，額定電流為3.98 A，額定轉速為1500 r/min，定子電阻為2.484 Ω，d軸電感為63.4 mH，q軸電感為0.18 H，極對數為2，轉子磁鏈為0.993 Wb；電動機采用一個2500 線的增量式光電編碼器進行測速，使用磁粉制動器來提供負載。

圖8 PMSM實驗平臺實物圖

圖9 ～11 所示分別為在變載、變速、正反轉時的實驗波形。由圖9 可知，在變載條件下，給定轉速400 r/min，0.1 s 時突加5 N·m 負載，0.3 s 時又突卸負載，電動機電磁轉矩在0.1 s時上升為5 N·m，在0.3 s時下降為0 N·m，轉速響應穩定，說明系統對突加負載和突卸負載具有良好的抗擾性能。由圖10 可知，當給定初始參考轉速為400 r/min，0.1 s 后轉速設為500 r/min，0.3 s 后轉速又為400 r/min 時，轉速響應穩定，說明系統在變速情況下有較好的轉速跟蹤性能。由圖11 可知，當給定初始參考轉速為400 r/min，0.1 s后設為-400 r/min，0.3 s 后又回到400 r/min 時，轉速響應迅速，說明系統在正反轉情況下仍有較好的控制性能。實驗結果與仿真效果基本一致，證明了理論的正確性以及該方法的實用性。

圖9 PMSM變載情況下實驗波形

圖10 PMSM變速情況下實驗波形

圖11 PMSM正反轉情況下實驗波形

4 結語

本文主要針對基于反饋線性化PMSM 的SFC 開展了研究。通過Matlab 仿真軟件和PMSM 實驗平臺完成了電動機在變載、變速和正反轉情況下的仿真和實驗。結果表明：基于GWO 算法設計的SFC 能夠保證電動機在變載、變速和正反轉情況下穩定運行；在PMSM抗負載擾動和轉速跟蹤方面有著良好的控制效果。

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——馬克斯·韋伯