利用惠更斯原理作圖解釋羅雄棱鏡的工作原理

吳許強

(安徽大學 物理與光電工程學院,安徽 合肥 230601)

雙折射晶體偏振器件用作起偏器件時,相對于偏振片和玻片堆,其輸出光具有良好的偏振消光比,可廣泛用于光譜分析、偏振分析、光學調Q和光束分束中[1-2],其中羅雄棱鏡因具有大波長范圍、紫外透過率高、大視場角等優勢,在激光應用技術領域備受青睞[3-5]。

近年來,“新工科”建設對光電信息科學與工程專業學生掌握羅雄棱鏡等晶體光雙折器件的工作原理和設計思路提出了更高要求[6]。趙凱華版《新概念物理教程·光學》是光學課程使用的經典教材之一,但該教材對羅雄棱鏡工作原理的介紹相對簡單,僅僅給出了羅雄棱鏡的結構和基礎光路,對o光(即尋常光)和e光(即非尋常光、非常光)的分離機制、棱鏡切割角對光束分離角的影響等未作詳細闡述。另一本國內廣泛使用的光學教材是郁道銀版《工程光學》,其對偏振光在羅雄棱鏡內的傳播路徑及其原理以文字的方式有簡要的介紹[7],但不夠直觀、詳細、深入,無量化推演。事實上,筆者查閱了超星匯雅電子圖書光學及相關教材,檢索了知網相關教研論文,均未發現有關于羅雄棱鏡工作原理和設計思路的直觀、詳細的介紹,相關內容的缺失給正在研讀相關章節的師生和科研工作者帶來一定困惑,更難提開展相關光學設計應用。另外,惠更斯原理不僅能夠印證光在兩各向同性介質交界面上的折射定律(斯涅耳定律,Snell’s Law),還可以用來說明光的雙折射現象,具有形象直觀的優點。

研究利用惠更斯原理,分析羅雄棱鏡的工作原理和偏振分光過程、推演光線分離角與棱鏡幾何結構參數的量化關系式,以期為正在研讀晶體光學器件雙折射章節的師生及科研工作者提供一定借鑒。

1 羅雄棱鏡概述

羅雄棱鏡由一般由兩塊同種材質、相同形狀大小的直角三棱鏡黏合而成。常見的棱鏡使用冰洲石(CaCO3)、氟化鎂(MgF2)和釩酸釔(YVO4)等雙折射晶體。圖1、圖2分別為索雷博公司官網展示的氟化鎂和釩酸釔兩種羅雄棱鏡的實物圖片,其中釩酸釔羅雄棱鏡消光比大于100000:1,相對于其它材質的羅雄棱鏡具有一定優勢。

圖1 氟化鎂羅雄棱鏡

圖2 釩酸釔羅雄棱鏡

羅雄棱鏡內部結構和光軸方向如圖3所示:在第一三棱鏡(P1)中光軸沿水平方向,在第二三棱鏡(P2)中光軸方向垂直于紙面,兩光軸方向相互垂直[8]。一束水平傳播的自然光正透射進入P1后,在兩三棱鏡交界面分成兩束,其中一束光繼續直接透射后水平出射出羅雄棱鏡,另一束光經連續兩次折射后向下偏折出射出羅雄棱鏡。

圖3 羅雄棱鏡結構與光軸方向

2 惠更斯雙折射作圖原理

惠更斯雙折射作圖過程與各向同性介質中的普通折射類似,主要包括:(1)波前上每一點都是新的次波源;(2)各次波源發射次波;(3)這些次波面的包絡面就是下一時刻的波面。作圖過程中,各向同性介質和單軸晶體的主要差異在于次波面的形狀:在各向同性介質中次波面為球面,而在單軸晶體中次波面為以光軸為轉軸的旋轉橢球面。

以從左向右、水平傳播的自然光正入射為例,利用惠更斯原理、單軸晶體中折射率橢球的規律[9],討論光從羅雄棱鏡第一界面入射到從最終界面出射全過程中,o光和e光的傳播規律和分離原因。

3 P1中光線的傳播

自然光正入射到P1,由于光線沿著光軸傳播,不會發生雙折射。另由于光線入射角等于0,透射后不改變傳輸方向,偏振態也不改變,波線垂直于波面,將繼續沿水平方向傳播至兩三棱鏡的交界面。作圖過程略,光線傳播方向如圖4所示。

圖4 自然光進入P1后不發生雙折射

4 P2中光線的傳播

4.1 P2中o光的波線和波面

光線在P1中沿水平方向傳播,入射到P1、P2交界面。對o光而言,兩塊三棱鏡是同一種材質,服從直線傳播規律,光線直接透射進入P2,不發生偏折。

圖5 P2中o光的傳播

考慮到o光為線偏振光,且偏振方向總是垂直于自己的主平面。而主平面為光線方向和光軸方向構成的平面,此時o光主平面為水平面,故o光偏振方向為平行于紙面且上下振動的線偏振光,又可稱為p偏振光,其中p為德文單詞parallel(平行)的字頭[5]。

4.2 P2中e光的波線和波面

圖6 P2中e光的傳播

(1)

其中c為真空中的光速,no,ne分別為o光和e光在晶體內的主折射率。

治療后研究組患者心理狀況（SAS、SDS評分）改善情況優于對照組，差異有統計學意義（t=34.180，12.986；P=0.000，0.000），見表2。

nosinα=nesinβ

(2)

其中α和β分別為入射角和折射角。如果光線為水平入射,則P1的頂角(又稱切割角)即為入射角α。

偏振方向方面,e光也是線偏振光,且偏振方向平行于e光主平面,故e光偏振方向為垂直紙面的方向,又稱為s偏振光,其中s為德文單詞Senkrecht(垂直)的字頭[5]。

為對照方便,圖7同時畫出了o光和e光的次波面、傳播方向和偏振方向。

圖7 P2中的雙折射

5 光從羅雄棱鏡出射

5.1 p偏振光的出射

假設羅雄棱鏡外為折射率為n0的各向同性介質,事實上,一般為空氣。由于p偏振光在P2中表現為o光且各向同性,當垂直入射到P2的第二界面時,服從普通的折射率定律,即p偏振的o光不發生偏折,偏振態也不改變,直接透射出來。

當然,上述過程也可以用惠更斯原理解釋:如圖8所示,o光波線方向和波面方向垂直,故兩根光線同時到達界面,即同時向空氣發射球面次波,經歷相同的時間,球面次波的半徑為一樣大,故包絡面(次波面)為垂于光線的平面,連接次波源中心和切點并延長,得到出射光線的方向為水平向右。偏振方向仍不改變,為p偏振。值得指出的是,棱鏡外為各向同性介質,無雙折射,故無o光e光之分,但仍可用s偏振光和p偏振光來區分。

圖8 o光從P2出射

圖9 e光從P2出射

5.2 s偏振光的出射

事實上,由于P2中s偏振光的波線和波面垂直且羅雄棱鏡外為各向同性介質,其次波面為球面,此時也滿足“普通”的折射定律:

nesin(β-α)=n0sinγ

(3)

其中γ為最終出射的s偏振光的折射角,由于此界面法線方向為水平方向,γ也為兩出射線偏光的最終分離角,根據式(2)、式(3),可以計算出:

(4)

當已知no,ne和n0三個折射率和三棱鏡頂角α時,分離角γ可以根據式4計算出來。

圖10為自然光從入射到羅雄棱鏡,到最終從羅雄棱鏡出射的全過程中,s偏振光和p偏振光的傳播方向。

圖10 P2中的雙折射

6 討論

(1)如果改為正晶體,p偏振光傳播方向不變,仍為沿水平出射,但s偏振光向上偏折出射。

(2)s偏振態和p偏振態為兩個本征偏振態,不會因線性雙折射發生改變和串擾,根據入射光線方向和光軸方向不同,兩本征偏振態均可能體現為o光或者e光。

7 小結

基于惠更斯原理,利用光學作圖法,展示了羅雄棱鏡對s偏振光和p偏振光的折射過程,特別是晶體內偏振光波面的形狀和波線的方向,推證了偏振光分離角和三棱鏡頂角、主折射率no、ne的量化關系,作圖過程和結果可為正在從事相關思考的師生和科技工作者提供一定借鑒。