一類非線性系統的有限時間有界跟蹤控制

孫懷輝,姚玉武,產黃峰

(1.合肥學院 生物食品與環境學院,安徽 合肥 230601;2.合肥學院 應用數學與人工智能機理研究重點實驗室,安徽 合肥 230601)

在控制工程領域,由Dorato[1]引入的系統的有限時間穩定性(finite-time stability,FTS)得到了越來越多學者的關注。有限時間穩定是指在一段固定時間區間內系統達到期望的性能指標且滿足期望的狀態軌跡,強調系統響應的瞬時狀態行為,在機器人控制、航天飛行器控制、智能制造、材料化工等領域中都有著廣泛的應用。Lyapunov穩定性是指當時間趨于無窮時,系統漸近穩定的一種演變狀態,強調系統是無限區間內的穩態性能。有限時間穩定性與Lyapunov穩定性的概念是不同且獨立的。在實際工程中,尤其是對一些需要做出快速響應的系統,如無人機的姿態控制、機器人軌跡跟蹤、反應釜溫度控制等[2-3],即使證明了系統狀態最終是Lyapunov漸近穩定的,但也可能出現超調量過大或者響應不及時等不良情況,導致系統具有較差的暫態性能,從而無法滿足系統期望的性能要求。因此,在控制工程中關于有限時間有界性的研究是十分有意義的[4-8]。隨著現代控制理論發展和工具不斷的更新迭代,理論的發展需要求解大量的不等式,線性矩陣不等式(LMI)工具箱的引入加快了不等式的求解,使得與有限時間穩定性、有限時間有界性、有限時間跟蹤問題的條件易于求得[9]。依據已有的有限時間控制理論研究成果[10-12]可知,有限時間控制的優點在于可改善控制系統的快速收斂性能,從而實現在有限時間內穩定,當系統存在內外部擾動時,相對比Lyapunov漸近穩定的系統具有更好的魯棒性和抗干擾能力。當考慮具有外部輸入的系統時,有限時間穩定性的概念又拓展到了有限時間有界性(finite-time boundedness,FTB)、有限時間有界跟蹤等問題上,通常這里的外部輸入包括外部擾動以及外部控制率等,由于外部輸入使得系統狀態在有限時間上的行為更加復雜,使得研究系統在有限時間內的狀態更加有意義。

本文采用以下記號,N0表示不包含0的自然數集,Pn表示n維的實歐幾里得空間,矩陣P表示矩陣PT的轉置,P>0(P<0)表示P是一個對稱的正定(負定)矩陣,而P≥0(P≤0)則表示P是一個對稱的半正定(負定)矩陣,P≥Q(P≤0)表示P-Q≥0,λmax(A)表示實對稱矩陣A的最大特征值,λmin(A)表示實對稱矩陣A最小特征值。

1 預備知識

考慮如下的系統

x(k+1)=Ax(k)+f(x(k))ω(k)+Bu(k),

x(0)=x0,y(k)=Cx(k)。

(1)

其中,x(k)∈n是狀態向量,A∈n×n、B∈n×q、C∈m×n是系數矩陣u(k)∈q是輸入向量,y(k)∈m是輸出向量,ω(k)∈p是擾外部動向量,f(x(k))∈n×p是線性或非線性的映射,其中f(x(k))滿足:

外部擾動生成的動力方程為:

ω(k+1)=Dω(k),ω(0)=ω0,

(2)

D∈p×p系數矩陣。

假設1對于給定的N∈0,外部擾動滿足條件:設系統的跟蹤目標r(k)由動力方程(3)生成:

r(k+1)=Gr(k),r(0)=r0,

(3)

其中,參考信號r(k)∈m,G∈m×m是系數矩陣,設Δr(j)=r(j)-r(j-1)。

如果滿足以下定義[13]:

定義1

其中k∈{1,2,…,N},N≥1,δ>0,d>0,ε>0,R>0。則認為系統(1)和(2)稱為關于(δ,d,ε,R,N)是有限時間有界跟蹤的。設系統跟蹤誤差為:e(k)=y(k)-r(k)。

定義2系統(1)和(2)稱為對參考信號r(k)關于(δ,d,ε,R,N)是有限時間有界追蹤的,如果滿足

?k∈{1,2,…,N},N≥1,δ>0,d>0,ε>0,R>0。

以下是一些重要引理[14]:

引理2設U,V和W是具有適當維數的向量或矩陣,則不等式:UTV+VTU≤UTU+VTV成立。

2 主要結論

狀態變化量為:

Δx(k+1)=x(k+1)-x(k)

=AΔx(k)+f(x(k))Δω(k)+

Δf(x(k))ω(k-1)+BΔu(k),

(4)

相應的跟蹤誤差變化量為:

Δe(k+1)=e(k+1)-x(k)=

CΔx(k+1)-Δr(k+1)。

此時注意參考信號變化量Δr(k+1)=r(k+1)-r(k)=Gr(k)-Gr(k-1)=GΔr(k),故有:

e(k+1)=e(k)+CAΔx(k)+

CBΔu(k)+Cf(x(k))Δω(k)+

CΔf(x(k))ω(k-1)-GΔr(k)

(5)

(6)

(7)

令其為系統(6)的輸出。

(8)

定理1系統(6)關于(δ,d,ε,R,N)是有限時間有界的,如果對任意給定的數γ>1存在矩陣P1>0,P2>0,使得

(9)

(10)

(11)

其中

證明令V(e(k+1))=e(k+1)P1e(k+1),則由(6)式有

V(e(k+1))=e(k+1)P1e(k+1)=

V(e(k+1))≤

ωT(k-1)e21Δω(k)+ΔrT(k)e31Δω(k)+

ΔωT(k)e12ω(k-1)+ωT(k-1)e22ω(k-1)+

ΔrT(k)e32e12ω(k-1)+ΔωT(k)e13Δr(k)+

ωT(k-1)e23Δr(k)+ΔrT(k)e33Δr(k)。

12ωT(k)α2(λC+1)ω(k-1)+

這里設

這樣由引理1得到:

由于定理中的條件(9)有

V(e(k+1))≤γV(e(k))+γWT(k)P2W(k)≤

γV(e(k))+γλmax(p2)WT(k)W(k)

(12)

考慮到γ>1,由式(12)可得:

V(e(k))≤γk-1(V(e(1))+

這樣,對?k∈{1,2,…,N},有

V(e(k))≤γN-1(V(e(1))+

由于

由上面各式有

又對?k∈{1,2,…,N},由(10)式得

V(e(k))=eT(k)P1e(k)≥

所以

由于定理中的條件(11)即得 eT(k)Re(k)≤ε2。

這樣就完成了定理1的證明。

上述定理中,條件(9)、(10)、(11)對于未知矩陣P1,P2來說,各個量之間是非線性的關系,因此驗證起來比較麻煩,下面討論系統(1)和(2)的有限時間有界跟蹤問題。為了能利用線性矩陣不等式(LMI)的方法驗證結果,取R=I,這也可以考慮是2-范數情況的定理的情形。

令I≤P1≤λ1I,λ2≤P2≤λ3I,由此

(13)

18α2λ1-γλ2<0,2λ1GTG-γλ2I<0,

(14)

(15)

(16)

證明由定理1中的記號知

令P1=Q-1,并把前后分別乘以對稱矩陣diag(Q1,I)及其轉置,并利用引理3可知上式等價于式(13)。

由不等式(11)有

注當系統

x(k+1)=Ax(k)+f(x(x))ω(k)+

Bu(k),x(0)=x0

(17)

其中,f(x(x))=F∈n×n是一個常值矩陣時,式(14)為一個具有外部擾動的線性系統,此時顯然滿足存在α>0,得λmax(FTF)≤α以應用定理中的充分條件。參考文獻[11]給出了一個相應的充分條件。

3 案例模擬

考慮如下的帶有外部擾動的單輸入單連桿柔性關節機器人系統(其連續情形見文獻[4])

x(k+1)=Ax(k)+Bu(k)+

rg((k))LTω(k),y(k)=Cx(k)

式中

ω(k+1)=Sω(k),

由引理1有:

f(x(k),ω(k))Tf(x(k),ω(k))≤

2x(k)ATAx(k)+2r2ωT(k)LLTω(k)≤

2λmax(τ1I+ATA)xT(k)x(k)+

2r2(τ2I+LLT)ωT(k)ω(k),

這里τ1>0,τ2>0取得適當的值使得τ1I+ATA,τ2I+LLT是正定的對稱矩陣。

這樣就得到:

f(x(k),ω(k))Tf(x(k),ω(k))≤

xT(k)R1x(k)+ωT(k)R2ω(k)=

2.9528IxT(k)x(k)+2.02r2IωT(k)ω(k)。

因此向量值函數f(x(k),ω(k))滿足條件,此時Q=I,R1=2.9528I,R2=2.02I2。取r=-0.0007,γ=25,利用線性矩陣不等式LMI工具箱求解(9)-(13)可得λ1=3.7148,λ2=56.5871,λ3=167.1860,Q1=0.9995I,Q2=111.5457I,

由定理2可知系統關于(δe,d1,d2,ε,R,N)=(0.01,0.001901,0.002,0.01,I,6)是有限時間有界追蹤的。

圖1中顯示了所給的非線性系統狀態分量x1(k),x2(k),x3(k),x4(k),給定初始x1(k)=-10,x2(k)=-20,x3(k)=-30,x4(k)=-40,可以看出案例中閉環離散系統狀態隨著時間能夠較好地收斂,從而有效地驗證了前面定理中所給條件的可行性。

圖1 x的狀態分量

4 總結

本文研究了一類具有外部擾動的非線性系統,通過對所構造的新系統的有限時間有界性來討論其有限時間有界跟蹤問題,得到了這類非線性系統有限時間有界跟蹤的充分條件,這些條件能較為有效地判別系統的狀態在有限的時間段上的運行情況。最后,數字仿真也可以看出關于這類非線性系統的有限時間有界跟蹤的結論是可行的。