基于新型指數趨近律的PMSM滑模控制研究*

陳德海，曹永康，邵 恒，楊 程，邱福亮

（江西理工大學 電氣工程與自動化學院，江西 贛州 341000）

0 引 言

由于永磁同步電機（permanent magnet synchronous motor，PMSM）具有結構簡單、體積小、效率高、穩定可靠等優點，應用前景良好，吸引了國內外眾多專家人士，其相關領域目前主要集中在數控機床、機器人、新能源汽車等。

由于PMSM系統具有非線性、多變量、強耦合等特點，而傳統的PI控制雖然具有算法簡單、可靠性高、易于調節等優點，但當控制系統遭受外界干擾或者電機內部參數發生改變時，PI控制抗干擾能力較弱，魯棒性差。為此，形成了許多新的控制算法，如自適應控制、模糊控制、神經網絡控制、滑模控制（sliding mode control，SMC）等。其中SMC由于抗擾性強、響應速度快、穩定性高等特點，所以經常被應用于PMSM控制系統中，由于SMC中的開關切換會導致出現抖振，使其難以發揮優越性，于是研究者們通過對傳統趨近律的改進，并構建了新的滑模速度控制器，以達到削弱抖振以及提高系統響應速度的目的。文獻［1］在傳統指數趨近律等速項和指數項中，引入了系統狀態變量的冪次項，抖振得到削弱，但力度不足。文獻［2］在傳統指數趨近律的等速項上引入了系統狀態變量的絕對值項，并且以飽和函數sat（s）取代符號函數，曲線平滑度得到提高，補償效果良好。文獻［3］采用了一種新型的指數趨近律，簡單引入了系統狀態變量，并設計了滑模控制器，加快了響應速度，并且無超調，更快到達穩定狀態。文獻［4］引入了系統狀態變量和狀態變量導數的多項式，并且去除了傳統的符號函數，控制效果得到提升。文獻［5］引入狀態變量冪次項，將等速項系數和指數項系數改成倒數關系。文獻［6］提出一種帶飽和函數的冪次趨近律，針對不同階段進行速度的自適應調節，系統動態品質得到一定改善。文獻［7，8］用飽和函數代替了符號函數，新加入一個函數，抖振和超調得到控制，但計算較復雜。文獻［9～13］改變了傳統的等速項，對符號函數做了優化或替換，使之具備趨近速度的自適應調節能力，但較復雜，參數較多。文獻［14］在傳統指數趨近律之中，結合了終端吸引因子以及狀態變量的冪函數，控制效果顯著。

本文設計了一種新型指數趨近律，將趨近速度與滑模面函數的絕對值結合起來，在等速項中引入包含對數項的分數多項式，并對符號函數進行平滑處理。

1 PMSM數學模型

設PMSM滿足以下條件：1）三相定子繞組相互對稱且相同；2）轉子永磁體在氣隙磁場中以正弦波分布；3）忽略定子鐵心飽和，磁路為線性，電感參數不變；4）轉子上沒有阻尼繞組。

選用id＝0的轉子磁定向控制方法，在此選擇轉子坐標系下的數學模型，PMSM定子電壓方程為

式中 ud，uq為d軸、q軸定子電壓分量；id，iq為d軸、q軸定子電流分量；R為定子電阻；φd，φq為d軸、q軸永磁體磁鏈分量；φf為永磁體磁鏈；ωe為電角速度。

電磁轉矩方程為

式中 Te為電磁轉矩，Pn為電機極對數。

機械運動方程為

式中 J 為轉動慣量，TL為負載轉矩，ωm為機械角速度，ωe＝Pnωm。

2 新型指數趨近律設計

2.1 傳統指數趨近律

指數趨近律算法［15］如下

式中 ε為趨近系數，q為指數趨近系數，ε ＞0，q ＞0。s為滑模面函數，sign（s）為不連續的符號函數，-εsign（s）為等速趨近項，-qs為指數趨近項。當系統狀態點離滑模面較遠時，處于趨近運動過程，此時由等速趨近項和指數趨近項共同作用，其中指數趨近項起主要決定作用，q 值越大，到達滑模面越快，ε 值越小，到達滑模面時的速度越小，抖振越小；當系統狀態點到達滑模動態時，處于滑模運動過程，此時指數趨近項趨近為零，主要由等速趨近項起決定作用。合理準確地調節ε與q的大小，才能達到加快系統響應速度的效果，同時還能削弱抖振，提高系統的動態品質。

2.2 新型指數趨近律

設計了一種新的指數趨近律，表達式如下

其中，ε ＞0，q ＞0，a ＞0，b ＞1。

在傳統指數趨近律的等速項中加入一個f（s）函數，將運動點的趨近速度與離滑模面的遠近結合起來，使得系統能夠自適應地調整趨近速度。改進的指數趨近律相比傳統指數趨近律，當運動點離滑模面較遠時，處于趨近運動階段，此時｜s｜較大，f（s）趨于無窮，εf（s）大于ε，在遠處的趨近速度得到提升，趨近時間加快，提高了系統響應速度。當離滑模面較近時，處于滑模運動階段，此時｜s ｜較小，趨近于0，f（s）則趨近于a／（1 ＋a），小于1，則降低了在滑模面附近的趨近速度，削弱了抖振，控制精度得到提高。

由于符號函數sign（s）不是連續的，是造成抖振的一個重要因素，所以對它進行平滑處理，如下所示

式中 σ為數值較小的正數。

2.3 新型指數趨近律性能分析

為了驗證新型指數趨近律的有效性，采用經典的控制系統［16］對趨近律方法進行對比。被控對象如下

滑模面函數

其中，c ＞0，跟蹤誤差

其中，θd為期望位置，θ為實際位置。經過計算得到

式中 slaw為趨近律。整理可得控制輸出

式中 c ＝15，期望位置信號θd（t）＝sin t。將傳統指數趨近律和新型指數趨近律代入控制輸出表達式內，其中傳統指數趨近律與新型指數趨近律系數q ＝30，ε ＝15，a ＝50，b ＝10，σ ＝1。經過仿真，兩種趨近律作用效果對比如圖1所示。

圖1 兩種指數趨近律性能對比

從圖1中可得出，相比傳統指數趨近律，新型指數趨近律在趨近速度方面有所提高，趨近過程時間縮短，以及抖振的抑制得到提升。新型指數趨近律總體性能高于傳統指數趨近律。

3 滑模速度控制器設計

3.1 控制器設計

在id＝0轉子磁場定向控制策略下，并滿足Ld＝Lq＝Ls，定義PMSM系統狀態變量

式中 ωref為電機的給定轉速，是一個常數，ωm為實際轉速（機械角速度），Ls為定子電感。

令D ＝1.5Pnφf／J，u ＝iq，由上式得到空間狀態表達式

對滑模面函數進行定義

式中 c 為待定系數，c ＞0，x1為速度差，x2為速度差的導數。然后對上式進行求導，可得

求得控制器表達式

繼而可得q軸參考電流

由控制器表達式和q軸參考電流可知，兩者都含有積分項，所以在削弱抖振的同時，穩態誤差也得到了降低，系統動、靜態品質得到提高。

3.2 控制器穩定性分析

定義李雅普諾夫（Lyapunov）函數

對其求導，則有

由于ε ＞0，q ＞0，s·sign（s）＞0，f（s）也大于0，所以V˙＜0，滿足可達性條件。

4 仿真與實驗分析

建立系統仿真模型，旨在驗證新型指數趨近律的可行性，本文采用PMSM雙閉環調速系統控制，其中電流環采取傳統的PI控制方法，速度環從早前的PI 控制替換為SMC法，并基于新型指數趨近律構建改進型滑模速度控制器。系統框圖如圖2 所示，并且與PI 控制、傳統指數趨近律SMC作仿真對比。電機參數與仿真條件如表1所示。

表1 電機參數

圖2 PMSM調速系統

滑模速度控制器參數設置：c ＝100，q ＝250，ε ＝50，a ＝1，b ＝6，σ ＝0.008。PI電流環參數設置：比例系數kp＝10，積分系數ki＝400。仿真時間0.5 s，初始給定轉速N*＝600 r／min，零時刻負載轉矩T1＝0 N·m，在t ＝0.2 s 時，外加負載TL＝10 N·m。

從圖3 中可以看出，在系統啟動過程中，PI 控制超調最大，約在0.13 s處穩定；傳統指數趨近律SMC超調較小，約在0.1 s處穩定；新型指數趨近律SMC接近無超調，約在0.09 s處穩定。由圖4 可得，三者之中，新型指數趨近律SMC抖振幅度最小，約為89 r／min，波動率14.83%，并最先穩定下來，趨近過程時間短，波動范圍最小；傳統指數趨近律SMC抖振幅度次之，為99 r／min，波動率16.5%，趨于穩定時間居中；PI 控制抖振幅度最大，為123 r／min，波動率20.5%，趨于穩定的過程較長。

圖3 轉速曲線

圖4 突加負載的轉速曲線

由圖5結果表明，在PMSM調速系統的啟動過程中，采用新型指數趨近律SMC和傳統指數趨近律SMC能夠使電磁轉矩更加快速穩定地到達穩態，并且無超調，PI 控制的電磁轉矩曲線回歸穩態時存在明顯的超調。在0.2 s突加負載后，PI控制穩定過程最長，約0.08 s；傳統指數趨近律SMC穩定時間次之，約0.06 s；新型指數趨近律SMC最快，約0.05 s，其穩定后波動范圍也最小。

圖5 電磁轉矩曲線性能對比

從圖6中可以得出，PMSM調速系統剛啟動時，PI控制振幅較大，并且電流曲線紊亂，分布不均勻；而傳統指數趨近律SMC和新型指數趨近律SMC 振幅較小，曲線穩定平緩有序。在0.2 s突加負載后，新型指數趨近律SMC 電流波動幅度最小，只有1.2 A，三相電流曲線最為平整，并且更快穩定下來；傳統指數趨近律與PI 控制效果稍顯差異，前者電流波動約1.9 A，后者約1.8 A。

圖6 PI控制器和傳統／新型指數趨近律SMC下的電流波形

綜合仿真圖和分析解釋，可知改進后的指數趨近律相比于傳統指數趨近律和PI控制，超調更小，抖振更小，能夠快速穩定地達到穩態，控制精度更好，魯棒性更強。

5 結束語

本文基于傳統指數趨近律，在等速項中引入一個涵蓋對數項的分數多項式，將趨近速度和滑模面函數的絕對值結合，實現趨近速度的自適應調整；而后對符號函數進行平滑處理。并且進行模型的搭建以及仿真，構造對應的滑模控制器與傳統指數趨近律、PI控制方法進行對比實驗。實驗結果表明：采用新型指數趨近律能夠很好地降低系統超調量，快速穩定地達到穩態，魯棒性有了顯著提高，控制效果得到改善。