基于初中數學幾何要素結構的信息加工策略研究

葉俊倢

摘 ?要：在數學教學中，教師有效區分和界定數學的知識結構和要素，可以有效引領學生在觀察、分析與研究的過程中，學會自我反思與客觀評價。目前，部分學生由于對課堂知識與實際解題過程結合得不夠充分，導致無法解答課本范圍外的拓展題目；在解決較難的幾何問題時，過于依賴課后答案，無法進行更深層次的理解。基于以上現象，在幾何實踐教學中，教師需要引導學生提煉數學重要的知識點，變機械被動式學習為主動學習，提高學習的主觀能動性，這有利于學生建構系統、完善的知識結構體系。文章重點研究了幾何要素加工以及要素結構，探究了幾何信息加工的實踐策略，以提升初中數學教學的實質效果。

關鍵詞：數學結構；幾何要素；數學知識體系

一、相關概念概述

（一）數學結構

數學結構也叫關系結構，是當代數學的基本概念，是所有數學對象，如群、線性空間、序集、拓撲空間和流形等，以關系和幾何的方式展現出的公理組合。

結合初中數學學科的特征，本研究認為“數學結構”包含兩層意義：一是指數學的各個知識點具有穩定的特征，各知識點以穩定的組織方式和發展方式結合在一起，形成了一個統一的整體，即數學知識體系；二是指這些知識按照固有、穩定的方式聯結在一起，即數學知識的聯結形成的初中數學認知結構，這種聯結方式具有自我生長的力量。

（二）幾何要素與信息加工

幾何要素包括導出要素、公稱導出要素、實際（組成）要素、提取組成要素、提取導出要素、擬合組成要素和擬合導出要素等。學生在學習幾何的過程中，學習方式逐步由簡單到復雜、單一到復合。初中生學習的幾何信息及要素結構知識，是在小學基礎上的深化和延伸，從幾何知識中提取幾何要素，進而在幾何要素的基礎上完成導出。

信息加工，即數學學科在發現問題、解決問題的過程中，循環地應用抽象、推理計算等方式進行加工，也就是學生運用信息整合的辦法，感知所學的知識，并進一步深化、加工和整合。這個過程涉及了如何篩選、整理信息，以及有選擇地對接收到的信息進行編碼、內化和組織，并利用對這些信息的反饋做出重要的決定。

二、對幾何信息進行加工的實踐意義

初中階段有許多抽象的知識，需要學生具有想象力、抽象思維、邏輯推理能力和建模思維等，能夠在頭腦中構建出幾何模型來舉一反三地解決數學問題。

目前，還有很多學生沒有完全適應初中的學習節奏和方法，對數學課程的學習，多數學生還停留在“教師教什么、課本上說什么，自己就學什么”這樣的固定模式上。因此在解決許多幾何問題時，學生無法對題目內容進行信息加工；在做一些幾何定理推導或解決較難的幾何綜合題時，學生過度依賴教材或參考答案中的輔助線提示，很難對抽象性、邏輯性的幾何知識有更深層次的認識和理解。

不僅是學生，還有部分教師受傳統應試教育的影響，課堂教學仍以題海戰術為主，導致很多學生缺乏信息加工能力的同時思維固化愈加嚴重。因此在幾何實踐教學中，教師引導學生提煉數學中重要的知識點，基于幾何要素結構進行信息加工，使學生由淺層理解轉向深入把握十分必要。

三、基于初中數學幾何要素結構的信息加工策略

（一）創建結構化教學模式，培養幾何建模與想象能力

以幾何知識體系為例，最基本的幾何問題都是要從點出發，從點到線再到面，構成幾何圖形。首先點的知識，要求學生掌握點與點的距離、點到直線的距離以及兩點之間線段最短這三個概念；其次是學生需要掌握點與角、點與線之間的關系，即點處于不同線上時，點所在線的線段，與角形成的角度也各不相同，由此類推，研究點與角、線與角、角與角之間的位置關系。

在該部分教學中，教師可以采用結構化的教學方式。在教學中，教師要加強對知識結構的整體把握，引導學生在頭腦中建立結構化的數學知識體系；要善于從教材中挖掘深層內涵，追溯概念和定義的提出以及定理的發現過程，以拓寬學生的思維，引導學生在深入探索某領域時，摸索出行之有效的解題思路，從而不斷地進行數學思維的自我培養。這種結構化的教學要求，符合幾何信息加工的教學方式。加上教師通過大單元整合教學內容，能夠使學生對知識體系有一個整體的把握和認識，并幫助學生從多角度、多層次分析問題，這不僅培養了學生的數學素養，還培養了學生宏觀層面的思維能力。

知識內容的整合、結構化，不僅能夠防止教學內容單一、避免知識的斷層，還能實現高效的課堂教學、更好地引領初中數學教學，使學生達到以簡馭繁、觸類旁通的高階學習狀態。在教學中，教師可以先引導學生查看目錄里的每一章節，讓學生從整體上對知識框架有一個的初步印象。具體而言，教師可以通過結構關系明顯的思維導圖來呈現章節中幾何圖形的要點，以直白、醒目的方式，讓學生了解幾何知識體系。

例如，在講解“圓”這一章節時，首先教師以結構關系圖的方式，呈現初中階段幾何圖形的知識框架，這種直觀的方式，能夠讓學生更好地了解圓是曲線型知識模塊，在整個圖形與幾何知識體系中，占有舉足輕重的地位，在幫助學生明確了單元目標的同時，使學生理解了數學知識的內在聯系，滲透教師結構化的教學理念。其次，教師讓學生從整體上把握單元學習目標、了解知識的內在聯系，如圖1所示。教師根據章節知識搭建好框架后，繼續搭建數學知識結構，以學生頭腦中已有的知識體系為基礎，引導學生實現對數學知識的拓展、深化或整合，形成數學知識結構的疊加。這能夠深化學生的認知，促進了學生思維能力的發展。學生在學習中提煉了數學方法，總結與歸納了知識點。

因此初中數學的知識結構化教學，并不是教師單純地系統講解某一知識內容，而是更加重視學生掌握知識結構，并能靈活運用于實踐中。

（二）以教材為依托，分層提升幾何思維能力

無論是哪種教學方法，教師都需要以教材為依托，以課程標準為依據，梳理各要素的結構模型及相關信息，形成適合每個學生的教學形式。教師應熟悉教學內容以及學生的學習能力，根據學生不同的思維能力，綜合考量其整體水平，并以教材為基礎，在教材內容的基礎上進行適當的拓展或降低難度。

例如，在班內有一部分學生具有較好的幾何思維，他們能比其他學生率先想出構建輔助線，或從復雜圖形中分解出基本圖形結構等解決問題的方法，這時教師需要觀察、了解班級其他無法解題的學生對知識的掌握水平，不能在講解較復雜幾何綜合題時，因為部分學生能夠回答就一帶而過。教師需要知道，教學過程注重的不是教學速度，而是學生能否從教學過程中提升幾何信息加工的能力。因此教師需要使用分層教學模式，將教材內的例題與自己所設的例題，按照題型難度劃分為基礎題、提高題以及拓展題，在課堂教學過程中，按照題目難度有效地引導學生進行思考；帶動整體課堂的氛圍，使學生在積極的課堂氛圍帶動下，更積極地思考幾何圖形。

幾何信息加工在教學過程中要發揮最大的作用。首先，教師可以進行動手操作實驗，為學生展示在實驗中的思考過程；然后，根據具體的教學設計，自由變化這些幾何圖形；最后，根據自由變換出的圖形，設計難度不一的問題，讓能力水平不同的學生獨立思考該類問題的解決方法，再進一步引導學生解決更高難度的題目。

幾何題目中的幾何模型，可以更直觀地幫助學生了解點、線、面之間的關系，以及變化形態和運動過程。以圖形的變換為例，學生在學習了軸對稱和旋轉后，教師即可展示例題：“以小組為單位，畫出三角形ABC，并以點O為圓心旋轉該三角形，可以看到哪些相同的角和線段？”教師從基本圖形出發，通過復雜的圖形，以及點線面的綜合知識，考查學生對幾何信息的處理能力。學生以小組的形式展示成果，然后師生進行交流：1. AB=A′B′，BC=B′C′，AC=A′C′；2. ∠BAC=∠B′A′C′，∠ABC=∠A′B′C′。設計意圖在于教師通過實驗，培養學生的觀察能力和分析幾何圖形中的信息要素能力，使學生具有幾何思維。

教師在教學中，可以設立相關的學習小組，讓學生在小組探討的學習氛圍中，彌補自己在知識學習上的不足，同時能夠與其他學生交流自己解決相關問題的思路，達到取長補短的效果。

小組學習的方式，要求每一個學生都要參與到教師的教學設計中，只有親身參與其中，才能夠使自身的數學思維、數學素養不斷提高。

教師還應該采取啟發式的教學引導學生，設置問題的難度，應該由淺入深、循序漸進，讓學生通過環環相扣的問題，找到可以有效解決相關問題的關鍵，進而有效地鍛煉了學生解決問題的邏輯思維。

例題1：Rt△ABC，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以C為圓心、r=2.3cm為半徑的圓與直線AB有怎樣的位置關系？

此時，教師把問題引申到例題2：在平行四邊形ABCD中，∠ABC=70°，半徑為r的☉O經過點A，B，D，弧線AD所對的圓心角為90°，延長CB至點P，使得PB=AB，試判斷直線PA與☉O的位置關系，并說明理由。

該題組循序漸進地增加了問題的復雜程度。例題1以教材為主，教師通過給出的條件，讓學生思考圓與直線的位置關系，使學生形成了圓與直線位置的概念。這時教師互動的對象，可以選擇一些幾何思維能力較弱的學生，以提高他們的課堂參與度。第二個例題將條件進行了升級，對此教師可以選擇一些幾何能力較強的學生進行互動，以提高他們的幾何思維能力，同時也要注意引導幾何能力較弱的學生。這樣的題組，能夠讓學生從不同的方面融會貫通自己的幾何思維、提高處理幾何信息的能力。教師利用例題作為鋪墊、用思考題拓展學生的思維，在使學生具有了數學探索精神的同時，尋找到了最優的解決辦法。

（三）控制好課堂知識量，提升課堂效率

在單位時間內提高學生的知識量，是提高課堂教學效率的關鍵。但每個人的記憶容量有限，這需要教師注重對課堂知識量的把控，否則容易導致學生在短時間內接受大量信息，卻沒有足夠的時間消化知識，從而降低了學生學習數學的積極性和課堂效率。幾何知識需要的抽象思維能力不是一蹴而就的，因此教師需要解決課堂效率與工作記憶容量之間的矛盾，在課堂上給予學生充分的自我思考的時間，結合學生思維發展的特點，逐步提高學生的幾何推理能力。幾何要素對初中生而言，較為抽象，但該部分內容又對高中的幾何學習具有重要的影響，因此需要學生打好基礎。對此教師可以合理利用信息加工技術，簡要地講解幾何要素的重要內容，并給予學生足夠的時間思考、消化。

四、結語

綜上所述，教師在問題化的教學情境中，開展幾何信息加工和要素結構分析，進而使用數學建模等多樣化的幾何信息加工策略，能有效鍛煉學生處理并解決數學難題的綜合能力，讓學生具備基本的數學、幾何信息的加工思維，有利于學生將學到的數學知識點學以致用，這對學生的幾何思維與幾何推導能力產生了積極的作用。

參考文獻：

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［2］李源明. 幾何教學中的數學思維方法要素［J］. 教育實踐與研究，2017（26）：36-38.

［3］劉曉君. 初中數學幾何推理與圖形證明教學策略［J］. 數學大世界（下旬），2020（09）：38.

（責任編輯：鄒宇銘）