基于多目標優化的砂輪桿結構輕量化設計研究

張志遠 朱祥龍 董志剛 康仁科 張連鑫

（大連理工大學高性能精密制造全國重點實驗室，遼寧 大連 116024）

在對深腔類零件進行內圓磨削時，砂輪桿的性能對磨削工件的加工精度和表面質量的影響十分重大。一種對復雜錐形深腔類零件進行內圓磨削的砂輪桿，長徑比較大，呈懸臂狀，對其進行輕量化設計，可以減輕重量、減小自重變形、提升固有頻率、減輕砂輪桿的負擔。另外，砂輪桿作為磨削工件的主要施力部件，承受很大的力和力矩，靜剛度不足會使刀具系統變形加大，動剛度不足會導致刀具的顫振[1-2]，因此，砂輪桿的輕量化實際上是在減重過程中滿足其剛度要求的多目標優化問題。

多目標驅動優化理論發展十分迅速，已經被廣泛地應用于機械產品設計[3]。顧春榮等[4]采用多目標遺傳算法對噴印機的機械結構參數進行了優化設計，在滿足結構剛度的前提下，實現了噴印機的輕量化設計；韓媛媛等[5]采用Ansys 提供的零階優化方法對碳化硅反射鏡體進行結構優化，得到了輕量化程度高、鏡面變形誤差完全滿足設計要求的碳化硅反射鏡體；胡光興等[6]采用NSGA-Ⅱ算法完成了載人潛器非耐壓框架結構的多目標優化設計，既減少了框架的質量又增強了結構的穩定性；謝然等[7]采用非支配排序算法NSGA-Ⅱ對某車身結構進行了輕量化設計，控制白車身零件重量的同時提高了整車的碰撞安全性和白車身的扭轉剛度。本文以砂輪桿的質量、靜力變形和模態為優化目標，利用多目標遺傳算法NSGA-Ⅱ，基于Ansys Workbench協同仿真平臺，通過調整和優化其結構參數，實現砂輪桿的輕量化設計。

1 砂輪桿有限元分析

砂輪桿的初始結構如圖1 所示。砂輪桿所加工的工件要求厚度方向磨削誤差≤±0.08 mm，受限于機床，砂輪桿的工作轉速為1 500～2 000 r/min。基于多目標遺傳算法NSGA-Ⅱ的砂輪桿結構輕量化設計思路如下：根據砂輪桿的結構，明確影響優化目標的關鍵因素，在SolidWorks 建立三維參數化模型，將參數化模型導入Ansys Workbench 并進行有限元分析，為后續的優化設計提供依據。然后選用最佳空間填充試驗來確定試驗點，并進行有限元分析計算，通過這些試驗點數據建立響應面模型。最后，通過多目標遺傳算法NSGA-Ⅱ，得到輕量化設計的最優解。砂輪桿結構輕量化設計流程如圖2 所示。

圖1 砂輪桿形狀與尺寸

圖2 砂輪桿結構輕量化設計流程圖

1.1 砂輪桿靜力分析

砂輪桿的受力分析如圖3 所示，P為砂輪桿自身重力，Ft、Fn、Fz分別為切向、法向、軸向磨削力對砂輪桿的作用力，F砂為砂輪重力對砂輪桿的作用力，砂輪桿通過刀柄與磨床固定連接。其中，由軸向磨削力帶來的砂輪桿的變形對加工精度影響不大，可以忽略。對砂輪桿進行靜力有限元分析。將通過SolidWorks建立好的三維模型簡化掉倒角、凹槽和螺紋等影響不大的因素[8]，導入到Ansys Workbench 中。采用Tetrahedrons 中的Patch Conforming 法對砂輪桿進行網格劃分，建立砂輪桿有限元模型。對砂輪桿整體施加重力約束，對砂輪桿刀柄處施加固定約束，對砂輪桿砂輪連接面上分別施加法向（Y向）磨削力和切向（X向）磨削力，另外施加一個與法向磨削力同向的砂輪重力2.5 N。同時為了驗證網格無關性，對砂輪桿分別進行了網格大小分別為30 mm、25 mm、20 mm、15 mm 和10 mm 時的砂輪桿在誤差敏感方向的最大變形量對比，如圖4 所示。從圖中可以看出隨著模型網格減小，砂輪桿在誤差敏感方向的最大變形量隨之減小并趨于穩定，為了滿足計算精度與方便選取20 mm 網格大小進行仿真分析[9]，求得當砂輪桿工作在最惡劣工況下在誤差敏感方向的最大變形量為41.82 μm。

圖3 砂輪桿受力分析

圖4 砂輪桿在誤差敏感方向的最大變形量隨網格大小變化

對砂輪桿進行靜力試驗，通過刀柄將砂輪桿固定安裝在內圓磨床上。磨床處于關閉狀態，在砂輪桿末端分別施加10 N、20 N、30 N 的載荷，使用千分表測量砂輪連接面在誤差敏感方向的位移變形量，如圖5 所示，每一載荷測量3 次，取其平均值。按照試驗設置對砂輪桿同步進行靜力有限元分析，將有限元仿真結果與試驗所得數據進行對比，如圖6 所示，誤差都在3%以內，說明仿真結果與試驗結果是相吻合的，建立的砂輪桿有限元模型是合理的，很好地反映了實際機械結構。

圖5 砂輪桿靜力試驗

圖6 砂輪桿在誤差敏感方向的最大變形量試驗值與有限元仿真值對比

1.2 砂輪桿模態分析

當結構受到的外界激勵頻率與結構固有頻率相等或相近時，結構會發生共振，產生大幅度劇烈的振動，甚至導致不可預料的行為[10]。

對砂輪桿進行模態有限元分析，解得砂輪桿一階模態的固有頻率為128.34 Hz，根據公式：

求得砂輪桿的臨街轉速為7 700.4 r/min，式（1）中n為砂輪桿的臨界轉速，f為砂輪桿的固有頻率。砂輪桿一階固有頻率所對應的臨界轉速7 700.4 r/min已經遠遠高出砂輪桿的最高工作轉速2 000 r/min。

對砂輪桿進行約束模態試驗，采用DHDAS 動態信號采集分析系統對砂輪桿進行單點響應、多點激勵的模態試驗，測試系統由力錘、加速度傳感器和信號處理系統組成，如圖7 所示。

圖7 砂輪桿模態試驗

求得砂輪桿的固有頻率為131.55 Hz，與有限元仿真分析結果的誤差為2.5%，說明了有限元分析結果的正確性。

2 砂輪桿多目標優化

本文以砂輪桿的圓錐段大端直徑x1、圓柱段直徑x2和內腔直徑x3作為設計變量，以砂輪桿的質量、一階固有頻率以及誤差敏感方向最大變形作為優化目標對砂輪桿進行多目標優化。砂輪桿設計變量示意圖如圖8 所示。

圖8 砂輪桿設計變量示意圖

2.1 OSF 法試驗設計

試驗設計是數理統計的1 個分支學科，他提供了合理快速獲得所需數據信息的方法，提高了優化算法找尋最優解的速度[6]。本文根據實際情況設定各個參數取值范圍，采用最佳空間填充試驗設計方法生成相應數量的樣本并進行求解。生成的數據見表1。

表1 試驗設計表

2.2 砂輪桿優化目標響應面模型構建

響應面法是一種基于一系列確定性實驗，用多項式函數來近似隱式極限狀態函數的方法；由于其優化目標與決策變量之間是非線性關系，選用二階多項式響應面數學方程來近似優化目標與決策變量的函數關系[11]：

式中：β0、βi、βii、βij為未知變量，xi（i=1,2,3）為設計變量。

將表1 的數據代入式（2），進行回歸分析，得到砂輪桿3 個優化目標分別對應的3 個二階響應面模型的各項系數，見表2。

表2 砂輪桿3 個優化目標分別對應的3 個二階響應面模型的各項系數

用復相關系數來檢驗各階優化目標響應面模型的擬合精度。復相關系數R2的定義如下：

式中：n為驗證模型所需的樣本點數；yi為響應的真實值；為響應面近似模型計算得出的近似值，y為響應真實值的均值。復相關系數R2越接近1，說明響應面擬合精度越高。通過計算可得各響應值的復相關系數R2見表3。

表3 近似模型精度檢驗表

計算結果表明3 個響應值的復相關系數均為0.9 以上，3 個響應面的擬合度都很高，均達到了精度要求，滿足工程計算需要。

2.3 基于NSGA-Ⅱ的砂輪桿多目標優化設計

對于多目標優化問題，優化目標之間往往存在沖突，不能同時取得最優解。Pareto 最優解是在改進任何優化目標的同時，必然會削弱至少1 個其他優化目標的解。NSGA-Ⅱ是一種基于Pareto 最優解的多目標遺傳進化算法，用擁擠度和支配層級篩選個體，結合外部存檔機制的精英保留策略，具有良好的收斂性[12]。

基于二階響應面，采用求解優化目標最小值的NSGA-Ⅱ算法求解砂輪桿優化目標的Pareto 最優解，設定NSGA-Ⅱ遺傳算法交叉概率0.9，變異概率為0.1，種群數量為100，迭代次數為500，以砂輪桿的質量、一階固有頻率的倒數和誤差敏感方向的最大變形最小作為優化目標。求解結果如圖9所示。

圖9 砂輪桿優化目標的Pareto 最優解

分析圖9 可知，在砂輪桿的輕量化過程中，砂輪桿在誤差敏感方向的最大變形值和一階固有頻率都逐漸增大，一階固有頻率越大，砂輪桿的臨界轉速越高，砂輪桿越不容易發生共振現象，而砂輪桿在誤差敏感方向的最大變形對砂輪桿的加工效果影響極大，需盡可能將其控制在較小值。將圖9 所示數據進行分析，Pareto 最優解對應的設計變量值和優化目標分析值見表4。

表4 Pareto 最優解對應的設計變量值和優化目標分析值

在表4 數據對應設計變量的條件下，用Ansys Workbench 軟件仿真分析優化目標，解得質量為13.06 kg，一階固有頻率為137.96 Hz，誤差敏感方向的最大變形為42.65 μm，可得有限元分析結果與NSGA-Ⅱ算法優化分析值的誤差在2%以內，說明基于二階響應面模型和NSGA-Ⅱ的多目標優化可以用于砂輪桿輕量化多目標優化的過程中。優化后的砂輪桿的質量較優化前的初始值14.56 kg 下降了10.30%，一階固有頻率較優化前的初始值128.34 Hz增加了7.50%，誤差敏感方向的最大變形較優化前的初始值41.82 μm 增加了1.98%。其中，砂輪桿誤差敏感方向的最大變形雖然較初始狀態出現了一定程度的惡化，但距離工件的加工精度≤0.08 mm 仍有較大差距，故能夠滿足砂輪桿的工程要求。

3 結語

（1）運用Ansys Workbench 建立了砂輪桿的有限元模型，對其進行了靜力和模態有限元分析和試驗，有限元仿真結果與試驗所得數據誤差在3%以內，說明了有限元分析結果的正確性，為之后砂輪桿的多目標優化提供參考。

（2）采用最佳空間填充試驗方法構建了砂輪桿各設計變量與其質量、一階固有頻率和誤差敏感方向最大變形的二階響應面模型，采用求解優化目標最小值的NSGA-Ⅱ算法對砂輪桿進行了多目標優化，砂輪桿的質量較初始設計的14.56 kg 減輕了1.5 kg，約為10.30%，砂輪桿的剛度和模態也均滿足工程要求，取得了預期優化效果。