極坐標像素平鋪法獲取整體式立銑刀螺旋槽端截面廓形的研究＊

2023-10-24 10:27:16游明琳

制造技術與機床 2023年10期

游明琳

（貴州師范大學機械與電氣工程學院，貴州貴陽 550001）

整體式立銑刀因具備良好的切削加工性能而在制造業中得到廣泛應用[1]。螺旋槽是整體式立銑刀的重要組成部分，其幾何結構直接影響銑刀的切削性能和加工零件的表面質量，因此需要通過建模仿真的方式進行預先分析，并計算前角、芯徑和槽寬等關鍵幾何參數[2-3]。分析和計算方式可以先精確獲取螺旋槽截面廓形再求相關參數，或者先對螺旋槽準確建模再測算相關參數[4]。近年來眾多學者致力于研究螺旋槽建模及重要參數求解，主要提出了3 種方法：解析法、布爾運算法和圖形法[5]。（1）解析法以嚙合原理為核心，根據砂輪與刀具的包絡運動關系，求出砂輪與螺旋槽之間的瞬時接觸線方程。Kang S K 等[6-7]建立了刃磨過程中砂輪與銑刀之間的接觸線方程，并給出了螺旋槽的計算方法。Dogrusadik A[8]將包絡運動關系應用在球頭銑刀螺旋銑削中，給出了螺旋槽橫截面輪廓的方程。Rababah M[9]詳細介紹了解析法在刀具加工和建模中的應用。Habibi M 等[10]提出了利用虛擬磨削曲線特征求解螺旋槽幾何輪廓的方法。Chen Z 等[11]

基于砂輪與刀具的包絡運動關系，用迭代法計算銑刀螺旋槽二開槽磨削的算法。Shen C 等[12]實現了砂輪加工刀具螺旋槽的參數化設計。

（2）布爾運算法借助于三維建模軟件的布爾（Boolean）運算功能，按照加工軌跡細分，不斷調整砂輪與被磨刀具之間姿態，連續進行布爾運算操作，從而獲得螺旋槽三維模型。Kim J H 等[13]利用三維軟件建立了立銑刀螺旋槽的實體模型，并定義了前刀面前角、芯徑等刀具幾何參數。Pei Q 等[14]利用三維軟件建立了球頭銑刀數控磨削建模與仿真的實用方法。Li G C 等[15]通過布爾運算方法模擬實際螺旋槽的磨削過程，提出了由已知的砂輪幾何外形得到螺旋槽模型的方法。Tost D 等[16]對刀具的橫截面進行動態布爾運算并重建了螺旋槽三維模型。

（3）圖形法，主要是將砂輪進行離散化表達，然后根據砂輪與被磨刀具之間的相對空間位姿幾何關系，將螺旋槽描述為若干切削軌跡疊加包絡形成[17]。圖形法所采用的幾何理論簡單，幾乎適用于任何類型砂輪形狀的加工計算，但每個離散點都由迭代運算產生，所以識別或提取螺旋槽截面離散點的邊界成為圖形法研究的難點。眾多學者紛紛在圖形法的廓形識別和提取方法上不斷進行創新，研究出各種各樣圖形圖像法，使得算法能夠更高效、更高精度識別或提取理論截面廓形邊界。

Li G C 等[18]將螺旋槽刃磨過程轉化為離散點云處理，并將立銑刀端截面離散為一系列圓環，通過這些離散圓環內邊界點的計算獲得螺旋槽端面輪廓。中國臺灣的吳育仁等[19]提出RRS （radial-ray shooting）用以取代傳統的齒輪包絡原理進行圓柱形成形磨齒及模擬加工的計算求解出精確的工件齒形。沈志煌等[20]提出DSG（digital scanning graphic），通過掃描屏幕上刀具切削軌跡包絡面的像素點，從而獲得轉子的輪廓數據。

本研究探索了一種圖形圖像法求解螺旋槽廓形的新算法，能獲取滿足設計和加工要求精度的刀具螺旋槽端截面廓形，簡稱極坐標像素平鋪法（polar pixel method，PPM）。該方法直接由離散點云結合數學形態快速求解螺旋槽橫截面輪廓點云圖像提取邊界，運算過程直觀，解值穩定，避開求解接觸線方程，是圖形法又一創新研究和應用。

1 砂輪磨削螺旋槽包絡原理

砂輪磨制螺旋槽的實際運動過程是砂輪以確定的位姿沿棒料軸線運動，同時棒料繞軸線旋轉運動，二者共同構成螺旋運動。在對螺旋槽磨制過程進行分析時通常將棒料看作固定不動，砂輪在棒料坐標系下做螺旋運動，這樣就將兩個物體的運動關系轉換為只有砂輪的運動。建立刀具坐標系[o;x,y,z]和砂輪坐標系[o′;X,Y,Z]，如圖1 所示。其中砂輪軸線和刀具軸線間的夾角為Σ（安裝角），兩坐標系原點沿y軸方向的距離為a（中心距），沿x軸方向的距離為e（偏心距），沿z軸方向的距離為d（安全距離）。

設砂輪軸截面輪廓方程f(t)，在砂輪坐標系[o′;X,Y,Z]中建立砂輪回轉面方程（1）。

式中：t為參變量，t∈[0,b]；b為砂輪厚度； φG為參變量，φG∈[-π,π]，表示在砂輪某一厚度t對應的平面內繞砂輪軸線旋轉過的角度。

如圖1 所示，根據砂輪安裝位置關系和坐標變換原理，容易得出刀具坐標系 [o;x,y,z]與砂輪坐標系[o′;X,Y,Z]的變換關系變換矩陣M為

根據變換關系可得到砂輪回轉面點云轉換到刀具坐標系[o;x,y,z]下的方程為

則可求得在刃磨過程中砂輪輪廓面點云形成的曲線簇方程為

用垂直于刀具軸線的平面z=0 截取螺旋槽點云形成的曲線簇，獲得曲線簇在該平面上留下的點云，令z=0，由式（5）可得θ=-zg/p，進而可求得砂輪做螺旋運動包絡形成的運動軌跡點的端截面投影為

設刀具半徑為r，則螺旋槽端截面包絡點滿足在限制條件x2-y2≤r2內。

2 螺旋槽輪廓提取方法

PPM 法是借用計算機圖像處理的原理，將大量點云數據轉成極坐標像素后結合數學形態學快速獲得點云邊界的一種方法。首先將砂輪離散化處理，并根據砂輪與刀具之間的相對位姿關系（即加工安裝參數）進行砂輪與刀具的坐標變換，提取刀具外圓內所包絡數據點云，即刀具螺旋槽端截面點云。然后將螺旋槽端截面點云由笛卡爾坐標轉換為極坐標，生成二值圖像并結合數學形態學提取圖像邊界，最后將圖像邊界還原獲得螺旋槽廓形邊界。

2.1 包絡運動的點云生成

根據圖1 設定砂輪與刀具的空間位置關系，將離散的砂輪面點云在刀具坐標系下繞z軸做螺旋運動，收集在平面（z=0）留下的所有包絡點，如圖2所示。

圖2 螺旋槽端截面的包絡點云圖

設定邊界條件為刀具半徑r，按式（6）收集端截面在刀具外圓范圍內所有包絡點云，稱為目標點云，即滿足要求的刀具端截形點云，如圖3 所示。

圖3 符合刀具半徑內的包絡點云圖

2.2 極坐標像素的數據轉換

本文所研究的立銑刀螺旋槽的端面截形為圓形分布的圖像，為了便于存儲和計算，提出一種適合數學形態學的極坐標像素平鋪方案。PPM 法采用扇區像素而不是直角像素進行平鋪排列，沿圓徑向均勻分為U層圓環（U為正整數），每層圓環按等弧長單位均勻劃分多個扇區，設V是最內層區段中包含的扇區數（V為正整數），則第k層圓環從原點極軸開始按弧長均勻地劃分為kV個扇區，其中最外圓環被分為VU個扇區部分，整個圓面就被分成個扇區部分[21]，PPM 法像素平鋪方案如圖4 所示。

圖4 極坐標像素平鋪方案

V和U的值應該正確設置，設置過小，計算效率高，但可能不能充分表示圖像信息，易失真；設置較大，有利于圖像的表示，但會增加計算復雜度。所以V和U的值在設定時要盡量滿足所劃分的極坐標像素面積大小合理，使坐標系統轉換引起的圖像失真處在較低水平，從而保持必要的圖像分辨率。在實踐中，根據扇區像素面積與直角像素面積近似和扇區像素弧長與直角像素邊長近似，設置V=4。由此，螺旋槽點云在極坐標像素平鋪方式如圖5 所示。

圖5 極坐標像素平鋪法表示的螺旋槽

在整個圓面上按照等弧長方式進行平鋪極坐標像素，則每個像素點是可以通過對應各自的極坐標進行轉換，設極坐標系為O-ρOθ，則有任意螺旋槽點云的笛卡爾坐標(xj,yj)可轉換為極坐標(ρj,θj) 。極坐標和極坐標像素之間存在相應的轉換關系，如圖6 所示。

圖6 極坐標與極坐標像素轉換

設定U和V值后，每層圓環的寬度為

在每層圓弧上按等弧長平鋪扇形像素，則有每個像素的外圓弧長為

設m為圓環從原點極軸開始均分的層數序列，n(m)為第m層的扇形像素的個數，則有n(m)=mV。

此時可以將螺旋槽點云的極坐標(ρj,θj) 轉成m-n坐標圖。

先按式（9）計算點云所在圓環層數mj。

式中：int為取整符號。

然后按式（10）計算點云所在的扇區位置。

代入δρ=r/U和δs=2πr/UV得到

由此完成笛卡爾坐標下螺旋槽點云轉換為極坐標像素的圖像點陣形式，如圖7 所示。

圖7 螺旋槽m-n圖像點陣

2.3 數學形態學提取圖像邊界

螺旋槽極坐標像素的圖像點陣要進行數學形態學運算，需進行數據點轉化為二值圖像矩陣。處理方法為遍歷(mj,nj)點的位置坐標置元素值為“1”，即前景像素（pixel value= 1）其余矩陣位置設置為“0”，即背景像素（pixel value= 0）[22]，建立螺旋槽點云的二值矩陣，則點云坐標完成二值化處理，所生成的螺旋槽點云極坐標像素平鋪的二值圖像如圖8 所示。