問(wèn)題·想象·實(shí)驗(yàn)：圓錐體積的學(xué)材設(shè)計(jì)與教學(xué)路徑新探

羅永軍 沈建琦

【摘 ? 要】做思結(jié)合是發(fā)展學(xué)生想象力的一條重要途徑。在圓錐體積的學(xué)習(xí)中，教師采用“問(wèn)題—想象—實(shí)驗(yàn)”的學(xué)習(xí)路徑，通過(guò)“提出問(wèn)題，開(kāi)啟想象；聚集問(wèn)題，展開(kāi)想象；做思結(jié)合，驗(yàn)證想象；觀察猜想，拓展想象”的教學(xué)過(guò)程，層層遞進(jìn)，融想象力發(fā)展于動(dòng)手實(shí)驗(yàn)操作，形成想象，增強(qiáng)回路，從而推動(dòng)學(xué)生理解不同物體體積之間的關(guān)系，提升學(xué)生的空間想象水平。

【關(guān)鍵詞】圓錐的體積；想象；實(shí)驗(yàn)

做思結(jié)合是發(fā)展學(xué)生想象力的一條重要途徑。小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，每個(gè)學(xué)習(xí)領(lǐng)域的內(nèi)容都需要學(xué)生動(dòng)手實(shí)驗(yàn)操作［1］，圓錐體積公式的學(xué)習(xí)也不例外。那么，如何讓學(xué)生通過(guò)動(dòng)手操作實(shí)驗(yàn)來(lái)理解圓錐與圓柱的體積關(guān)系，從而提高空間想象水平呢？為此，筆者進(jìn)行了如下思考與實(shí)踐。

一、課前思考

圓錐、圓柱都是旋轉(zhuǎn)體，圓錐的體積等于與它等底等高圓柱體積的[13]，但學(xué)生直覺(jué)上會(huì)誤以為是[12]，這主要是受平面圖形面積的負(fù)遷移影響。在平面圖形中，兩個(gè)形狀相同的直角三角形，它們的面積都是等底等高長(zhǎng)方形面積的[12]，因此，對(duì)于直角三角形沿直角邊旋轉(zhuǎn)后得到的圓錐，學(xué)生也容易“同形繼承”，認(rèn)為圓錐的體積是相應(yīng)圓柱體積的[12]。

圓錐的體積公式在小學(xué)教學(xué)中難以通過(guò)數(shù)學(xué)推導(dǎo)得到。［2］教學(xué)中，教師一般采用實(shí)驗(yàn)法，讓學(xué)生在圓錐容器中裝滿水（或沙），倒入等底等高的圓柱中。通過(guò)這樣的操作活動(dòng)，學(xué)生很快就能得到“圓錐的體積等于與它等底等高圓柱體積的[13]”的結(jié)論。整個(gè)學(xué)習(xí)過(guò)程中，實(shí)驗(yàn)操作很簡(jiǎn)單，實(shí)驗(yàn)結(jié)果也很清晰，一切都很順利。可是到了獨(dú)立應(yīng)用階段，或是過(guò)一段時(shí)間后，又經(jīng)常有學(xué)生把[13]寫(xiě)成[12]，也有的忘了乘[13]。為什么會(huì)這樣呢？問(wèn)題就出在“實(shí)驗(yàn)”上。如果教師只是按照上面所述教學(xué)，那么學(xué)生完成的只是教師要求的操作步驟，而為什么要做倒水（或沙）的實(shí)驗(yàn)，為什么要選擇等底等高的圓錐容器來(lái)倒水，倒水時(shí)要關(guān)注什么，倒完水后圓柱體積剩下的[23]是什么形狀……這些問(wèn)題學(xué)生都沒(méi)有機(jī)會(huì)思考。因此，看上去學(xué)生該做的都做了，課堂氣氛也很好，大家都積極參與，實(shí)際上學(xué)生只是在“奉命操作”，而不知其所以然。

因此，教師在設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)活動(dòng)時(shí)，要避免把操作等同于實(shí)驗(yàn)，而要把實(shí)驗(yàn)操作的動(dòng)因前置，讓學(xué)生經(jīng)歷“問(wèn)題—想象—實(shí)驗(yàn)”的探究過(guò)程，從而促進(jìn)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思考，提高學(xué)生的空間想象水平。基于上述分析與思考，筆者確立了如下教學(xué)目標(biāo)。

（1）通過(guò)將平面圖形旋轉(zhuǎn)成立體圖形的操作，使學(xué)生直觀感知二維圖形與三維圖形的聯(lián)系，為學(xué)生的想象提供經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)。

（2）通過(guò)圓錐、圓柱等立體模型的制作與變形，使學(xué)生直觀感知形體大小，為學(xué)生進(jìn)一步探索體積關(guān)系提供直接經(jīng)驗(yàn)，提升學(xué)生的想象水平。

（3）通過(guò)對(duì)圓錐、圓柱體積關(guān)系變式的觀察與思考，引出各種猜想，進(jìn)一步提高學(xué)生的想象水平。

二、教學(xué)實(shí)踐

（一）提出問(wèn)題，開(kāi)啟想象

“動(dòng)腦想”是想象力發(fā)展的前提。本課中所用的實(shí)驗(yàn)法以動(dòng)手、動(dòng)腦為特點(diǎn)，然而動(dòng)手不一定引起動(dòng)腦，學(xué)生也可能只是按部就班地進(jìn)行機(jī)械操作。因此，教師教學(xué)時(shí)要把“想”前置，以問(wèn)題為導(dǎo)向，讓學(xué)生在觀察中思考，在思考中質(zhì)疑，從而引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，使學(xué)生在猜測(cè)中開(kāi)啟想象。

1.談話引入

教師提問(wèn)：“我們最近在學(xué)習(xí)有關(guān)圓柱的知識(shí)，大家感觸最深的是什么？”

學(xué)生七嘴八舌，紛紛發(fā)表自己的“感言”。有的說(shuō)，圓柱和長(zhǎng)方體一樣都是柱體，可以想象成許多個(gè)平面疊起來(lái)；有的說(shuō)，用一個(gè)長(zhǎng)方形能卷成圓柱讓人印象深刻；還有的說(shuō)，圓柱可以由一個(gè)長(zhǎng)方形旋轉(zhuǎn)得到讓人印象深刻；等等。

2.提出問(wèn)題

教師順著學(xué)生的回答，用課件動(dòng)態(tài)演示“一個(gè)長(zhǎng)方形沿著它的長(zhǎng)或?qū)捫D(zhuǎn)一周就可以得到一個(gè)圓柱”（如圖1），并引導(dǎo)學(xué)生思考：在這個(gè)長(zhǎng)方形上剪一刀，將它分成形狀相同的兩個(gè)圖形，再分別旋轉(zhuǎn)一周，會(huì)得到什么立體圖形？

學(xué)生先獨(dú)立思考，再小組討論，最后全班交流。

師：你是怎樣平分長(zhǎng)方形的，想象一下，旋轉(zhuǎn)后的圖形是什么樣的？

生：橫著從中間剪一刀，分成兩個(gè)相同的長(zhǎng)方形，旋轉(zhuǎn)一周后是兩個(gè)相同的圓柱。

生：豎著從中間剪一刀，分成兩個(gè)相同的長(zhǎng)方形，旋轉(zhuǎn)一周后，得到一個(gè)圓柱和一個(gè)像環(huán)形那樣的柱體。

師：我們可以把它叫作環(huán)柱。

生：沿對(duì)角線剪開(kāi)，是兩個(gè)相同的三角形，旋轉(zhuǎn)一周后是兩個(gè)圓錐。

生：只有一個(gè)圓錐，另一個(gè)不是圓錐，是鏤空的柱體，鏤空的部分是那個(gè)圓錐。

生：是圓柱去掉等底等高的圓錐剩余的那個(gè)部分。

……

根據(jù)學(xué)生的反饋，教師利用動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)軟件演示將平面圖形分別旋轉(zhuǎn)成立體圖形。

設(shè)計(jì)意圖：對(duì)于旋轉(zhuǎn)體，計(jì)算其體積一般要用到微積分知識(shí)，而小學(xué)生只能用實(shí)驗(yàn)法解決。在教學(xué)中，教師回到旋轉(zhuǎn)體的本源，以問(wèn)題為驅(qū)動(dòng)，讓學(xué)生想象二維平面圖形旋轉(zhuǎn)成三維立體圖形的樣子，從而產(chǎn)生驗(yàn)證想象的需求，為進(jìn)一步探索奠定基礎(chǔ)。

（二）聚焦問(wèn)題，展開(kāi)想象

當(dāng)研究問(wèn)題提出后，有的可以馬上解決，有的則需要審辨。對(duì)于要進(jìn)一步重點(diǎn)研究的問(wèn)題，教師可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步明確相關(guān)信息，明晰問(wèn)題的思考點(diǎn)，有效促進(jìn)學(xué)生有針對(duì)性地進(jìn)行思考與想象。

教師提問(wèn)：把長(zhǎng)方形一分為二，得到兩個(gè)完全相同的平面圖形，將它們分別旋轉(zhuǎn)一周后，兩個(gè)立體圖形的體積相等嗎？如果兩個(gè)立體圖形的體積不相等，體積比會(huì)是多少？

讓學(xué)生先獨(dú)立想象與計(jì)算，再在小組內(nèi)討論交流。

師：我們一起來(lái)討論把長(zhǎng)方形上下分、左右分、對(duì)角分的三種情況。

生：上下平均分，旋轉(zhuǎn)一周后得到的是兩個(gè)完全相同的圓柱，它們等底等高，體積是相等的。

生：左右平均分，旋轉(zhuǎn)一周后得到的是兩個(gè)不同的立體圖形，里面那個(gè)是圓柱，外面那個(gè)是環(huán)柱體，體積不相等，它們的底面積之比是1∶3，體積比也是1∶3。

師：旋轉(zhuǎn)前兩個(gè)長(zhǎng)方形的形狀、大小是完全相同的，旋轉(zhuǎn)后得到的體積怎么會(huì)不相等呢？

（教師根據(jù)學(xué)生的反饋，實(shí)時(shí)用動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)軟件演示將平面圖形旋轉(zhuǎn)成立體圖形，如圖2所示。師生討論后發(fā)現(xiàn)，這兩個(gè)長(zhǎng)方形離旋轉(zhuǎn)軸的位置與距離不相同，離旋轉(zhuǎn)軸越遠(yuǎn)，旋轉(zhuǎn)一周后得到的立體圖形的體積越大。根據(jù)底面小圓半徑∶大圓半徑=1∶2，得到小圓面積∶大圓面積=1∶4，進(jìn)而得到小圓面積∶環(huán)形面積=1∶3，而它們的高又相等，所以V圓柱∶V環(huán)柱=1∶3。）

生：按對(duì)角平均分，旋轉(zhuǎn)一周后得到的是一個(gè)圓錐和圓柱去掉圓錐剩余的部分，它們的體積是相等的。

（教師根據(jù)學(xué)生的反饋，實(shí)時(shí)用數(shù)學(xué)動(dòng)態(tài)軟件演示將平面圖形旋轉(zhuǎn)成立體圖形，如圖3所示。）

師：為了稱呼方便，我們把一個(gè)圓柱去掉等底等高的圓錐剩余的那個(gè)立體圖形，叫作“余錐”。你的意思是它們的體積相等，也就是V圓錐∶V余錐=1∶1 ，是嗎？

生：我認(rèn)為圓錐和余錐的體積不相等。雖然旋轉(zhuǎn)前這兩個(gè)三角形是相同的，但是它們離旋轉(zhuǎn)軸的位置和距離不一樣，所以它們的體積不相等，感覺(jué)余錐的體積更大一點(diǎn)，但幾比幾我不知道怎么算。

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生通過(guò)觀察平面圖形，想象平面圖形旋轉(zhuǎn)后形成的立體圖形，重點(diǎn)思考圓錐、余錐、圓柱體積之間的關(guān)系。在教學(xué)中，教師充分利用信息技術(shù)，讓學(xué)生在動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)軟件中直觀看到二維平面圖形是如何經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)形成三維圖形的。在圖形的變換中，學(xué)生發(fā)現(xiàn)旋轉(zhuǎn)體的體積大小既和平面圖形的面積大小有關(guān)，也和平面圖形與旋轉(zhuǎn)軸的距離遠(yuǎn)近有關(guān)。同時(shí)，信息技術(shù)也激發(fā)了學(xué)生的想象力，有利于學(xué)生積累空間想象經(jīng)驗(yàn)。

（三）做思結(jié)合，驗(yàn)證想象

讓學(xué)生經(jīng)歷“問(wèn)題—想象—實(shí)驗(yàn)”的學(xué)習(xí)路徑，帶著問(wèn)題通過(guò)想象進(jìn)行實(shí)驗(yàn)操作活動(dòng)，將腦中的想象與現(xiàn)實(shí)圖像進(jìn)行比較，既能驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)過(guò)程，又能提升學(xué)生的想象水平。

師：我們想的到底對(duì)不對(duì)呢？有沒(méi)有什么辦法來(lái)驗(yàn)證？

生：用橡皮泥分別捏出一個(gè)圓錐、余錐、圓柱，然后比一比就可以知道了。

生：如果有一個(gè)空的圓錐、余錐和圓柱，我們就可以通過(guò)做模型進(jìn)行比較。

在師生討論交流的基礎(chǔ)上，教師提供如下實(shí)驗(yàn)材料：透明圓柱、圓錐模具和太空沙（建議選用微珠型，容易塑形和保形）。學(xué)生帶著問(wèn)題，用太空沙分別制作圓錐、余錐、圓柱的立體模型，然后比較它們的體積。有的學(xué)生把余錐模型重塑成圓錐模型，發(fā)現(xiàn)1個(gè)余錐模型可以做成2個(gè)圓錐模型；有的學(xué)生把圓錐模型倒入圓柱模具，發(fā)現(xiàn)需要倒3次……在實(shí)驗(yàn)操作中，學(xué)生還提出，除了用太空沙做模型進(jìn)行驗(yàn)證外，還可以用倒水的方法來(lái)驗(yàn)證。在此基礎(chǔ)上，師生總結(jié)概括出等底等高的三個(gè)立體圖形的體積關(guān)系是：V圓錐∶ V余錐∶ V圓柱= 1∶2∶3（如圖4）。

設(shè)計(jì)意圖：在實(shí)驗(yàn)操作中，學(xué)生對(duì)比了倒水驗(yàn)證與模型驗(yàn)證兩種方法，發(fā)現(xiàn)：用倒水驗(yàn)證能快速知道等底等高的圓錐和圓柱之間的體積關(guān)系，但無(wú)法對(duì)圓柱體積的[23]形成概念；用模型驗(yàn)證能夠清晰地看到圓錐、余錐、圓柱這三個(gè)立體圖形，尤其是能對(duì)余錐有直觀感知。學(xué)生經(jīng)歷“問(wèn)題—想象—實(shí)驗(yàn)”的學(xué)習(xí)過(guò)程，從視覺(jué)、觸覺(jué)兩方面提高想象水平，從而不只從數(shù)量關(guān)系上認(rèn)識(shí)到圓錐、余錐、圓柱的體積比是1∶2∶3，還聯(lián)結(jié)了物體的形，深化了三者體積關(guān)系的表象。

（四）觀察猜想，拓展想象

雖然學(xué)生掌握?qǐng)A錐體積公式就已經(jīng)達(dá)成了知識(shí)學(xué)習(xí)的要求，但是他們的想象力卻還可以得到進(jìn)一步的提升。因此，在教學(xué)中，教師應(yīng)基于學(xué)生的已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，結(jié)合觀察，讓學(xué)生從多個(gè)角度拓展想象，深度發(fā)展學(xué)生的想象力。

1.觀察與想象：柱體與錐體的體積關(guān)系

師：我們已經(jīng)知道了圓錐和它等底等高的圓柱的體積比是1∶3，在此基礎(chǔ)上，我們可以提出哪些猜想呢？

生：圓錐與圓柱等底等高時(shí)，體積比是1∶3，是不是其他錐體和柱體的體積比也是1∶3 ？

（教師根據(jù)學(xué)生的反饋，用課件動(dòng)態(tài)演示其他柱體和錐體的變化過(guò)程，如圖5所示。）

2.觀察與想象：圖形的面積、體積關(guān)系

教師引導(dǎo)學(xué)生比較二維圖形和三維圖形的關(guān)系。在二維圖形中，把一條邊縮成一個(gè)點(diǎn)，形成的三角形的面積是長(zhǎng)方形面積的[12 ]（如圖6）。在三維圖形中，把一個(gè)底面縮成一個(gè)點(diǎn)，形成的圓錐的體積是圓柱體積的[13]（如圖7）。

生：這讓我想到了《三體》中的四維空間。如果把三維圖形放到四維空間里，那么這個(gè)錐體和柱體的體積比會(huì)不會(huì)是1∶4？

生：我覺(jué)得很有可能。把三維空間的圖形變成二維空間的圖形，等底等高的三角形與長(zhǎng)方形的面積比是1∶2，那么把三維空間的圖形延展到四維空間里，它們的體積比很有可能是1∶4。

生：我也覺(jué)得等底等高的圓錐與圓柱在四維空間中的樣子和在三維空間中的不一樣，但是體積比很有可能是1∶4，在五維空間中體積比是1∶5，在N維空間中體積比是1∶N 。

……

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生在二維、三維、四維［3］乃至更高維等人類無(wú)法直接感知的空間里進(jìn)行想象，促進(jìn)學(xué)生想象力的提升。學(xué)生從問(wèn)題與想象開(kāi)始，經(jīng)過(guò)探索獲得新知，又產(chǎn)生新的問(wèn)題和想象，不斷循環(huán)，從而增強(qiáng)回路。

三、教后反思

在小學(xué)階段，受旋轉(zhuǎn)體相關(guān)知識(shí)的限制，圓錐的教學(xué)通常采用實(shí)驗(yàn)法。但實(shí)驗(yàn)教學(xué)也容易落入只是動(dòng)手操作的窠臼，學(xué)生不知道為什么要做實(shí)驗(yàn)，也不知道做實(shí)驗(yàn)要解決什么問(wèn)題。因此，本設(shè)計(jì)強(qiáng)調(diào)將問(wèn)題前置，由問(wèn)題引領(lǐng)實(shí)驗(yàn)方法、實(shí)驗(yàn)步驟和實(shí)驗(yàn)結(jié)果的分析。

教學(xué)中，在提出問(wèn)題后，教師不急于讓學(xué)生動(dòng)手操作，而是引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行觀察與思考，讓學(xué)生觀察平面圖形的形狀與位置，想象平面圖形是如何繞著旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)的，想象旋轉(zhuǎn)后的立體圖形的樣子，想象它們的大小，想象面積相等的平面圖形旋轉(zhuǎn)后的體積是否相等，等等。學(xué)生在充分想象的基礎(chǔ)上，開(kāi)始設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)，選擇材料，確定操作方法。在動(dòng)手操作階段，學(xué)生通過(guò)視覺(jué)、觸覺(jué)等感官活動(dòng)所產(chǎn)生的信息與想象進(jìn)行互動(dòng)，在形成清晰表象的過(guò)程中也提升了想象水平。那么，按照“問(wèn)題—想象—實(shí)驗(yàn)”這一路徑進(jìn)行學(xué)習(xí)，學(xué)生對(duì)圓錐與圓柱體積關(guān)系的掌握程度以及空間想象水平的發(fā)展成效如何呢？

為此，筆者進(jìn)行了對(duì)比實(shí)驗(yàn)。從本校六年級(jí)的六個(gè)班中，挑選了兩個(gè)水平相當(dāng)?shù)钠叫邪啵謩e實(shí)施教學(xué)：對(duì)比班按典型教法教學(xué)（按配套的《教學(xué)參考書(shū)》［4］教學(xué)），特點(diǎn)是重視圓錐與圓柱等底等高條件的比較，讓學(xué)生在倒水倒沙的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)體積之間的關(guān)系；實(shí)驗(yàn)班以想象力發(fā)展為主線進(jìn)行教學(xué)，讓學(xué)生從旋轉(zhuǎn)體的形成過(guò)程開(kāi)始，提出問(wèn)題，觀察與想象圖形的運(yùn)動(dòng)，在實(shí)驗(yàn)中做出模型，驗(yàn)證想象，發(fā)現(xiàn)關(guān)系，進(jìn)而形成新的想象。

同一天上午，同一位教師分別在兩個(gè)班進(jìn)行教學(xué)，并在當(dāng)天下午對(duì)學(xué)生進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查［5］，調(diào)查結(jié)果如表1所示。

第1題要求學(xué)生畫(huà)出指定的立體圖形，學(xué)生看到圖形名稱要能想象出圖形的形狀。從結(jié)果來(lái)看，P >.05說(shuō)明兩種教法無(wú)顯著差異。第2題要求學(xué)生能根據(jù)平面圖形想象出特定的圓錐，并能正確選擇相應(yīng)數(shù)據(jù)計(jì)算體積。第2題要求的想象力水平明顯比第1題要高，從結(jié)果看，.01< P <.05說(shuō)明兩種教法差異顯著，但差異不是非常顯著。在前兩題中，無(wú)論是畫(huà)圖還是體積計(jì)算，學(xué)生想象的對(duì)象都是靜態(tài)的圖形，而第3題則需要學(xué)生動(dòng)態(tài)想象，以運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)解決問(wèn)題，從結(jié)果來(lái)看，P <.001說(shuō)明差異非常顯著。

當(dāng)然，調(diào)查結(jié)果只能說(shuō)明不同教法與想象力水平的相關(guān)關(guān)系，并不能說(shuō)明因果關(guān)系。因?yàn)樵趯?shí)驗(yàn)過(guò)程中有許多不可控制的變量，比如學(xué)生看到動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)軟件中的動(dòng)畫(huà)會(huì)更加興奮和專注，學(xué)生更喜歡玩太空沙因而對(duì)太空沙的塑形與變形印象更深刻等，這些因素都有可能對(duì)調(diào)查結(jié)果產(chǎn)生影響。但是，不可否認(rèn)，以想象力發(fā)展為核心的“問(wèn)題—想象—實(shí)驗(yàn)”這一學(xué)習(xí)路徑，對(duì)學(xué)生知識(shí)的掌握、素養(yǎng)的發(fā)展都起到了積極的作用。本文只不過(guò)拋磚引玉，還期待更多的專家、教師來(lái)關(guān)心學(xué)生的想象力發(fā)展，并開(kāi)展相關(guān)的實(shí)踐活動(dòng)，畢竟，想象力是人類獨(dú)特的高級(jí)認(rèn)知能力。

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（1.浙江省杭州市勝利山南小學(xué)

2.浙江省杭州青少年活動(dòng)中心）