發展學生模型意識的三條路徑

尹力 郭修瑾

【摘 ? 要】《義務教育數學課程標準（2022年版）》在小學階段提出了“模型意識”。模型意識主要是指對數學模型普適性的初步感悟。當前學生的模型意識相對薄弱，對此，教師教學時可以從“感悟模型價值、經歷建模過程、關聯新舊模型”入手，培養學生的模型意識。

【關鍵詞】模型意識；數學模型；模型思想

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱“《課程標準》”）在小學階段提出了“模型意識”。模型意識主要是指對數學模型普適性的初步感悟，知道數學模型可以用來解決一類問題，認識到現實生活中大量的問題都與數學有關，有意識地用數學的概念與方法予以解釋。當前，學生的模型意識相對薄弱，如：沒有體會到數學模型的價值；沒有經歷建立模型的有序過程，缺少建模經驗；沒有比較、聯系新舊模型，沒有對認知結構中的模型進行整合與優化；等等。對此，教師教學時可以從“感悟模型價值、經歷建模過程、關聯新舊模型”入手，培養學生的模型意識。

一、感悟模型價值

感悟模型價值是培養模型意識的基礎。如果只是著眼于建模與應用，忽略對模型本身的反思與感悟，模型的價值得不到彰顯，那么模型意識的培養也就無從談起。引導學生反思學習過程，感悟其中蘊藏的模型價值，是培養學生模型意識的起點。

（一）蘊含一般化思想

數學學習是從具體到抽象、從特殊到一般的發展過程。一般化是數學學習的應然趨勢，理解一般化思想與有意識地尋求一般化是學生具有較高數學素養的具體表現之一。數學模型是對一類問題數量關系的抽象概括，蘊含一般化思想。體會數學模型能解決一類問題，便是對數學一般化思想的感悟。

如擺三角形問題：如圖1所示，像這樣用小棒擺三角形，擺1個、2個、5個、ɑ個三角形分別需要多少根小棒？在解決這一問題時，學生起初通過數一數獲得小棒根數，但“ɑ個三角形”無法數出，故教師要引導學生尋找數量關系，逐步建立三角形個數與小棒根數的數學模型（小棒根數＝2×ɑ個三角形+1）。隨后，教師要組織學生反思學習過程，使學生認識到每次數數很麻煩，利用三角形個數與小棒根數的數學模型解決這類問題更加方便快捷。在學生形成這種體會的基礎上，教師再向學生指明，數學學習就是尋找這種能解決問題的概念、性質和規律的過程。這樣的教學能幫助學生理解模型的普適性，讓他們感悟一般化思想，認識到模型的重要價值。

（二）節省思維空間

數學模型能啟發學生舍棄問題情境的無關因素，尋找解決問題的關鍵信息，這是數學模型簡化問題、節省思維空間的價值體現。

例如：甲、乙兩人同時從相距50千米的A、B兩地相向而行，甲每小時走3千米，乙每小時走2千米。甲還帶著一只狗，狗每小時跑5千米。這只狗同甲一起出發，碰到乙就掉頭往甲這邊跑，碰到甲再掉頭往乙這邊跑，如此重復，直到兩人相遇，問這只狗一共跑了多少千米？學生遇到這一問題會本能地想象運動畫面，并能通過畫圖的方式進行分析。但很快就會被狗來回奔跑的情境弄糊涂，分不清狗的運動路線究竟是什么樣的。這是因為學生忽略了關系模型，局限于問題情境，從而導致思維復雜化。根據學生的學情，學生已經掌握了“速度×時間＝路程”的數學模型，基于此，教師可以引導他們尋找狗的“速度”與狗所用的“時間”，狗的速度已知，狗所用的時間就是甲、乙兩人相遇的時間，從而求出路程。教師要緊扣“速度×時間＝路程”這一模型，啟發學生尋找解決問題的關鍵條件（狗的速度不變，狗跑的時間是甲、乙兩人相遇的時間），明確思考方向，避免無關因素的干擾（狗來回跑，跑了很長時間），從而促進問題的解決。

二、經歷建模過程

學生在建立數學模型的過程中，一般會經歷“提出問題—提煉模型—應用模型”的認知過程。學生先在適宜的生活情境中提出有價值的數學問題；然后根據已有的知識經驗解決問題，并逐步發展為用數學方法解決問題，提煉出數學模型；最后在不同情境中廣泛運用數學模型，深化對數學模型的理解。學生經歷建模過程，一方面有利于深度掌握模型，另一方面，積累的建模經驗能遷移到其他數學模型的學習中，有利于培養尋找模型的自覺意識。

（一）提出問題：在生活情境中發現數學問題

提出問題是學生開展建模活動的起始環節。有價值的問題能夠激活學生已有的相關知識和生活經驗，調動他們學習的興趣與愿望，也能推動學生進行由此及彼、由淺入深的聯想和思考。

1.創設適宜的情境

適宜的情境有利于學生感受生活與數學的聯系，提出有價值的數學問題。例如：蓄水池有一根進水管和一根出水管。單開進水管，3分鐘能將空池蓄滿水；單開出水管，5分鐘能放完滿池的水。若兩根水管同時開放，多長時間能將空池蓄滿水？這樣的情境對學生來說比較陌生，因為他們難以理解“兩根水管同時開放，多長時間蓄滿水”的問題。如果把這個情境替換成商場地下停車場的汽車進場與出場，就可以自然提出“停車場什么時候停滿車”這樣符合現實的數學問題。

2.層層深入地提問

教師可以通過層層遞進的問題，推動學生的思考不斷逼近模型本質。因此，在學生建立了一定認識之后，教師應一步步提出更深入的問題，啟發學生理解模型本質，助力模型的提煉。例如，在教學蘇教版教材四年級下冊的“乘法分配律”（如圖2）時，教師先讓學生自主解決情境問題，學生列出算式后，再選擇兩個不同的算式集中呈現，并提問：比一比，這兩個算式間有什么聯系？它們能用等號連接嗎？經過全班討論，得出（6+4）×24＝6×24+4×24，即兩個算式相等。接著教師追問：像這樣的等式還有嗎？再寫出幾組，比一比，你還有什么發現？學生通過對幾組這樣的等式的觀察、比較，概括出“兩個數的和與一個數相乘，可以先把這兩個數分別與這個數相乘，再相加”的規律。最后，教師引導學生思考：像這樣的等式寫得完嗎？能不能用自己的方式簡潔地表示出來？由此，學生在分析、解決問題的過程中，逐步建立乘法分配律的標準數學模型，即（ɑ+b）×c＝ɑ×c+b×c。

（二）提煉模型：在解決問題中有序建構模型

提煉模型主要包括一般化和符號化兩個過程。一般化是指挖掘出解決問題的具體方法的本質要素，將其抽象為能解決一類問題的一般方法。符號化是指在一般化基礎上產生表達模型的內需，并借助簡潔的符號形式進行表征。下面以“乘法分配律”的教學為例進行具體說明。

1.一般化：從生活情境到數學意義

首先，教師創設教學情境（如圖2），讓學生通過獨立思考，發現可以用兩種方法計算，即6×24+4×24與（6+4）×24。第一種是先算出四年級和五年級各領多少根，再相加求一共領多少根跳繩；第二種是先算出四、五年級共有幾個班，再乘每個班領24根跳繩，算出一共領多少根跳繩。由此，學生明確兩種方法都是求四、五年級一共領多少根跳繩，結果相等，可用等號連接，即6×24+4×24=（6+4）×24。這是對具體問題的研究，是抽象出一般方法的基礎。

接著，教師引導學生寫幾組與之結構相似的算式，并通過計算、比較和交流，找出它們之間的聯系，初步感知乘法分配律。

最后，教師引導學生思考：像這樣的算式都相等嗎？為什么？使學生在獨立思考與小組交流中能主動聯系乘法意義予以解釋，即6×24+4×24表示6個24加4個24，共10個24，（6+4）×24也表示10個24。由此，學生通過對生活情境中具體問題的研究，提煉出相應的數學意義，將其上升到一般化。

2.符號化：從口語概括到符號表達

在學生經歷了觀察、比較、分析、抽象、概括等活動，掌握了乘法分配律的本質后，教師可以激發學生用自己的語言描述所發現的規律，也可以啟發學生將規律符號化，建立數學模型。首先，教師提問：像這樣的算式寫得完嗎，能不能用一句話來概括規律？學生結合自己的理解，經過交流、反饋、調整，概括出規律：兩個數的和與一個數相乘，可以先把這兩個數分別與這個數相乘，再相加。接著，教師進一步引導學生體會口語表達相對復雜，因而可以用一道簡潔的算式來表示，推動學生創造多樣的表征方式：（爸+媽）×我=爸×我+媽×我、（○+△）×☆=○×☆+△×☆、（ɑ+b）×c＝ɑ×c+b×c等。最后，教師指出一般用字母表達式來表示乘法分配律，并提煉出（ɑ+b）×c＝ɑ×c+b×c的乘法分配律模型。

（三）應用模型：在變式運用中深度內化模型

數學模型是對解決一類問題的方法的抽象概括。除了與模型相關的典型問題情境，教師還要引導學生運用數學模型解決其他數學問題，體會不同問題中所蘊含的相同本質。具體而言，學生需要在多角度的分析、比較中理解各種特例，聚焦數學模型的本質要素。教材中的例題一般從正面認識模型，它具有典型性，但無法全面地反映相關模型，所以需要挖掘并研究模型的變式與反例。

例如，蘇教版教材四年級下冊“乘法分配律”練一練的第2題中呈現了4組算式（如圖3），其中第1組、第2組與例題的形式一致，所以教師要引導學生重點討論第3組與第4組的算式。學生容易否定第3組算式，因為它看起來與他們學習的乘法分配律的算式不同，對此，教師可以先引導學生通過計算或結合乘法意義理解它們的得數相同，符合乘法分配律，再分析形式不同的原因，即74×20+74×1中的“×1”可以省略。同時，學生往往會認為第4組算式符合乘法分配律，因為它和他們印象中的乘法分配律的算式很像。對此，教師可以先引導學生通過計算發現兩邊的結果不相等，或根據乘法意義來進行分析，發現左邊算式表示130個50，右邊算式表示140個40，結果不相等，所以不符合乘法分配律。接著，組織學生分析錯因并糾錯，即左邊算式是多少個50，右邊算式卻變成多少個40，但乘法分配律要保證等式兩邊都是多少個50或多少個40。最后，要讓學生明確，在（ɑ+b）×c＝ɑ×c+b×c的模型中，等式兩邊的c要相同。第3、第4組算式便屬于乘法分配律的變式與反例，能豐富學生對乘法分配律模型的理解。

三、關聯新舊模型

學生的認知結構中儲存了各種數學模型，這些原有的模型與新建立的模型之間存在兩種形式的聯系，一種是模型間具有本質聯系，可以通過縱向溝通實現結構化整合；另一種是模型間本質不同，但可以通過橫向比較凸顯各自的本質特點。

（一）橫向比較，凸顯模型本質

有的模型之間雖然本質不同，但將它們進行橫向比較，并組織學生比較、區分、辨析，能使學生感受到模型間的相同點和不同點，從而深化對模型本質的理解。

例如，學習“歸一問題”與“歸總問題”時，學生容易混淆這兩種問題的數學模型。因此，教師可以將兩種問題以相似的情境對比呈現，引導學生厘清二者的區別，深刻地理解兩種問題的數學模型，從而使思維從混沌走向清晰。教學時，教師先呈現比較題組：（1）小明買3本筆記本用了18元，如果買8本同樣的筆記本，需要多少元？（歸一問題）（2）6元一本的筆記本，小明買了6本。如果用這些錢買9元一本的筆記本，可以買幾本？（歸總問題）然后啟發學生思考：這兩道題的問題情境相似，那解決問題的方法（數學模型）也一樣嗎？學生通過思考發現：在“歸一問題”中，一份量（每本筆記本的單價）不變，即前后兩次的商一定（□÷□=□÷□），所以先求一份量；在“歸總問題”中，總量（總錢數）不變，即前后兩次的積一定（□×□=□×□），所以先求總量。在這樣的比較中，學生對兩種模型的認知變得更加清晰。

（二）縱向溝通，提煉上位模型

數學模型是對一類生活現象或問題的抽象，而對一類數學模型進行進一步抽象，便可以得到更上位的數學模型。數學就是通過像這樣的多級抽象逐步發展起來的。上位模型是對一類下位模型本質要素的抽象概括。以上位模型統攝下位模型有助于學生將認知結構中諸多具體模型結網組塊，進行結構化整理，從而促進學生對模型的理解與運用。

例如，在人教版教材四年級上冊“常見的數量關系”的教學中，教材先呈現典型問題，讓學生探討解決，然后引導學生尋找它們的共同點，最后提煉出兩種模型：“單價×數量＝總價”和“速度×時間＝路程”。這兩種模型之間存在本質聯系，教師可以啟發學生理解它們共同的數學本質，使學生結構化地掌握這兩種模型。由此，學生理解了“單價”表示“1千克多少元”“1袋多少元”等，“速度”表示“1分鐘行多少米”“1小時行多少千米”等，“單價”“速度”都表示一份數，“數量”“時間”都表示有這樣的幾份（份數），“總價”“路程”則表示一共有多少份（總數）。在此基礎上，這兩種數學模型還可以抽象成更上位的乘法模型，即“一份數×份數＝總數”。

總之，感悟模型價值可以讓學生認識到數學模型的重要性，發揮對模型學習的心理維持與定向作用；經歷清晰有序的模型學習過程有助于學生積累建模的認知經驗，促進其在新模型學習中的遷移；關注新舊模型的區分與整合能幫助學生建立與優化認知中的模型結構，加深對模型的理解與運用。

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（1.揚州大學教育科學學院

2.江蘇省揚州市高郵外國語學校小學部）