考慮開關矩陣的綜合化航電系統任務可靠性分析

王道震，李翼瀚，劉紅波，馬玉柱，王鋒

（天津七一二通信廣播股份有限公司，天津 300462）

引言

在航電綜合射頻系統中，涉及到多路信號的綜合集成設計，需要進行通道切換。因此，綜合射頻架構設計需要用到開關矩陣以實現功能重構。開關矩陣不僅重要而且復雜，因此在任務可靠性建模時不能將其忽略。當開關矩陣的失效率增大到一定程度時，旁聯模型的優勢就不復存在。本文研究重點在于研究任務可靠度的比例門限，它跟系統任務時間有關系。求解開關矩陣與通道失效率的比例門限，并證明小于等于這個比例門限時，在任何系統任務時間內旁聯模型的任務可靠性總是大于等于并聯模型。

1 綜合系統架構中通用激勵模塊設計

射頻綜合采用模塊化、標準化的設計方法，對各個子系統的各種功能進行重新劃分、組合，將傳感器前端組件和數據處理組件進行資源共享，可重構的新型系統。射頻綜合架構是新型航電系統綜合的架構（圖1），將融合雷達、電子戰、通信、導航識別等多個傳感器系統的射頻部分。由此可見，開關矩陣對射頻通道選擇起到很重要的作用，而且其組成復雜，不能忽略。

圖1 射頻綜合架構示意圖

下面我們將通用資源里的通用激勵模塊進行說明。通用激勵模塊內有4個通道，實現上變頻及快跳本振產生功能。

2 旁聯模型與并聯模型的對比分析

2.1 考慮開關矩陣失效的馬爾科夫過程分析

某綜合射頻系統中有3個模塊，每個模塊中有4路相同的通道，且4路通道都正常才能工作，其任務可靠性框圖如2所示。因此λ1=λ2=λ3=λ11+λ12+λ13+λ14=λ21+λ22+λ23+λ24=λ31+λ32+λ33+λ34。

圖2 考慮開關失效率的旁聯模型任務可靠性框圖

圖3 通用激勵模塊狀態轉移圖

當考慮開關失效率時，我們研究一下開關的失效率與通道失效率之間滿足一定條件時，旁聯的任務可靠性優于并聯的任務可靠性。

馬爾科夫過程是一類隨機過程，它最早由俄國數學家馬爾科夫在1907年提出。它假設這個模型的每個狀態只依賴之前的狀態。

利用馬爾科夫過程建立可靠性模型有以下幾點假設：

1）系統的各個單位壽命和維修時間服從指數分布；

2）在時間區間（t，t+Δt）內，發生故障的概率為λΔt；

3）在時間區間Δt內出現2次以上的概率或修復的概率為0，因為Δt足夠小且三個模塊之間相互獨立。

S1: 三個激勵模塊均正常，第一通路檢測及轉換開關正常且第一個激勵模塊工作。

S2：第一個激勵模塊故障或該通路檢測及轉換開關失效，第二通路檢測及轉換開關正常且第二個模塊工作。

S3：第一個激勵模塊故障，第二個激勵模塊故障或該通路檢測及轉換開關故障，第三通路檢測及轉換開關正常且第三個模塊正常工作。

S4:三個激勵模塊均故障。

第一個模塊的故障率為：λ1，第二個模塊的故障率為：λ2，第三個模塊的故障率為λ3。由于三者模塊是相同的，因此失效率相同設為λ，每路檢測及轉換開關的失效率為λk。

P(t)為處于各個狀態概率的列矩陣：

微系數矩陣P(?t)為連續型馬爾科夫過程，其轉移概率為t和t+?t之間極小的?t時間內的概率。

根據導數定義得：

借鑒現代控制理論中狀態方程的求解方法，將時域轉換到復頻，將上式進行拉普拉斯變換得：

然后再將上式進行反拉普拉斯變換得：

系統初始狀態為S1即：

狀態轉移矩陣P：

每一行的概率和為1。

A=P-I；

計算S1、S2、S3狀態下的概率：

2.2 并聯模型的任務可靠性分析

并聯系統沒有開關矩陣時，其可靠度模型及MTBF求解公式如圖4所示。

圖4 通用激勵模塊并聯任務可靠性框圖

令λk=k*λ（k>0）

當MTBF旁=MTBF并，求解方程得k=1.4。

顯然k<1.4時，則?MTBF大于0，即旁聯的平均嚴重故障間隔時間大于并聯。下面我們討論任務可靠度，兩種模型的差值。

如圖5所示，橫軸取任務時間零到十萬小時，縱軸取旁聯模型的任務可靠度減去并聯模型的任務可靠度得到的曲線。

圖5 開關矩陣失效率為通道的1.4倍時任務可靠度差值

由圖5可知，根據不同的失效率迭代仿真計算，在開關矩陣的失效率為通道失效率的1.4倍時，得到如下結論。

任務可靠度：在考慮開關矩陣失效率為通道失效率的1.4倍時。由上圖可知當系統任務時間t大于1.81e4時，旁聯的任務可靠度大于等于并聯的任務可靠度。大于等于1.81e4之后旁聯的任務可靠度小于并聯的任務可靠度。

下面我們探索在一個適當的比值下，無論系統任務時間t取何值，總能使得帶開關的旁聯系統的任務可靠度總大于等于并聯系統的任務可靠度。

將R旁-R并消掉e-λt的系數部分，則有（k+1）2/k2=3，因此得到k=（√3+1）/2，此時有如下等式：

為方便比較大小，將其轉為以下分式形式：

設分子部分為m，分母部分為n則，

當λt>0時，

分別對m和n求解二階導數：

當λt→0+時，依據洛必達法則

綜上所述：將分子分母分別求二階導數則有m"≥n"且在λt趨近0+時,m'=n',因此在定義域上有m'≥n'。由于λt趨近于0+時，分子分母m=n，因此在定義域上總有m≥n，即R旁≥R并。

根據不同的失效率迭代計算，只要開關矩陣的失效率為通道失效率的倍，總能得到如下結論，即隨著任務時間t增大，旁聯部分與并聯部分的任務可靠度差值越來越趨近于0，并且旁聯模型的任務可靠度不小于并聯模型的任務可靠度。為嚴謹起見，為證明其為比例系數門限，取其兩側的1.366和1.367為例進行數值模擬。由于兩個數非常相近，二維圖像上不便于區分，因此建立了三維圖像模型，X軸為任務時間t，Y軸為比例系數K，Z軸為任務可靠度的差值。如圖6所示，當取k值為1.366時，Z軸全為非負數。當取k值為1.367時，在系統任務時間取7e4時Z軸為負值,進一步證明了k=作為比例門限的正確性。

圖6 取比例門限兩側K值時旁聯與并聯的任務可靠度差值

3 結論

在航電系統中通過任務可靠度和平均嚴重故障間隔時間的計算，比較旁聯和并聯模型的優勢。

當開關矩陣失效率小于等于通道失效率的1.4倍時，旁聯模型的平均嚴重故障間隔時間（MTBCF）大于等于并聯模型；同理，當開關矩陣失效率大于通道失效率的1.4倍時，旁聯模型的平均嚴重故障間隔時間（MTBCF）小于并聯模型。當開關矩陣失效率小于等于通道失效率的（）/2倍時，旁聯模型在任何系統任務時間內的任務可靠度大于均大于等于并聯模型。這個結論對于方案設計決策提供依據，即要不要加開關矩陣，在任務可靠性角度上來講，需要考慮開關矩陣與通道的失效率比例關系，否則旁聯模型的任務可靠性反而會降低。