“計數方法”內容的教材學習進階研究
——以北師大版教材為例

廣東省深圳市寶安區寶安小學 陳瑞華

在北師大版小學數學教材體系中，涉及“計數方法”的內容主要有四年級上冊的“數圖形的學問”和六年級上冊的“比賽場次”，這兩個內容都編寫在“數學好玩”板塊中，同屬于“綜合與實踐”領域，教學內容的編排遵循“由易到難”“從簡單到復雜”的原則。同時，這兩個內容的編排體系都具有“模型化”的特點，即以“問題情境—建立模型—解釋、應用模型”的方式進行課程教學。

一、教材中學習目標的學習進階

學習進階（learning progressions，簡稱LPs）也稱學習進程，是美國科學教育改革中的一個新興的概念，是對學生在各學段學習同一主題的概念時所遵循的連貫的、典型的學習路徑的描述，一般呈現為圍繞核心概念展開的一系列由簡單到復雜、相互關聯的概念序列。美國國家研究理事會（NRC）將學習進階定義：學習進階是對學生連貫且逐漸深入的思維方式的假定描述，在一個適當的時間跨度下，學生學習和探究某一重要的知識或者實踐領域時，其思維方式會逐漸進階。教師要利用學習進階理論，找到“計數方法”內容，在學生學習的過程，把學生的學習劃分成一些階段或步驟，更清晰地認識到學生學習數學的規律和思維的層次，從而能夠更好地引導學生由低到高的學習進程。

筆者從會抽象、會推理、會應用這三個方面對小學階段“計數方法”內容的目標進行研究。

會抽象，主要是要求學生在實際問題中通過畫圖、列表等形式將內容抽象出來，通過對實際問題的表征、抽象使思維得以提升。

會推理，包括歸納推理和演繹推理，小學階段的會推理一般指歸納推理，也叫合情推理，指通過觀察、歸納、類比、實驗、聯想、猜測、矯正與調控等方法，為猜想提供依據。

會應用，主要包括解決問題的特質與策略。應用的策略具有多樣性，如畫圖、列表、從特殊到一般等。

根據這些目標的描述，筆者將這兩個內容的目標列舉如下，通過對學習目標進行研究，找到“計數方法”中這一內容在小學階段的學習目標的學習進階。

（一）會抽象

“會抽象”內容和目標見表1。

表1 “會抽象”內容和目標統計

這兩個內容中“會抽象”的目標學習進階：“數圖形的學問”要將鼴鼠鉆洞的問題抽象成數學問題，再把洞抽象成點，把鉆洞問題抽象成數線段的數學問題，最后通過有序數線段的策略來解決線段計數的問題；“比賽場次”要將體育中的比賽場次問題，抽象成數學問題，然后通過線段圖、連線圖、表格等多種策略，解決比賽場次問題。

（二）會推理

“會推理”內容和目標見表2。

表2 “會推理”內容和目標統計

“數圖形的學問”主要通過畫圖的方式，從簡單的四個點入手，引導學生進行有序思考，做到不重復、不遺漏，通過數線段，推理出線段計數的規律。“比賽場次”主要是讓學生運用從簡單到一般的策略來解決問題，運用畫圖、列表、連線的策略，找到遞推的方法，推理出比賽場次的規律，并找到其中的聯系。

（三）會應用

“會應用”內容和目標見表3。

表3 “會應用”內容和目標統計

“數圖形的學問”將生活中的問題轉化為數學問題，有序地數出線段的條數，建立數線段的模型，然后解決生活中的單程車票的問題。“比賽場次”通過不同的策略來解決問題，體驗從簡單到一般的數學思想，并建立模型，然后解決聯絡方式的問題。

（四）研究結果

根據學習目標的學習進階分析，這兩個內容的根本目標就是要讓學生做到“三會”，也就是會抽象、會推理、會應用。而這些目標不是通過教師的教實現的，而是要求學生在操作、體驗的過程中，通過自我體驗和感悟得到的。學生在建立數學模型的過程中經歷觀察、猜測、實驗驗證、計算、推理、應用等具有數學特征的活動后使學習目標更加深入。這三個目標在這兩個內容中都體現了由易到難的過程，是一個明顯的進階過程。

二、教材中學習路徑的學習進階

兩個內容的學習路徑相似，具體如圖1：

圖1

（一）情境不同

“數圖形的學問”創設了鼴鼠鉆洞的情境，教材利用鼴鼠卡通的形象，創設了“鉆四個洞，任選一個洞口進入，向前走，再任選一個洞口鉆出來”這樣一個情境，激發了學生的學習興趣。但是，鼴鼠鉆洞的情境雖然以卡通的方式呈現，卻離學生的生活較遠，學生需要將生活問題抽象成數學問題，這對學生來說有一定的難度。

“比賽場次”以學生喜聞樂見的乒乓球比賽作為情境，教材創設了“六（1）班十名同學進行乒乓球比賽，每兩名學生之間要進行一場比賽”這一體育賽事的情境，比較符合學生的實際，可以快速地讓學生發現問題。解決這一問題時，學生可以比較容易地將其遷移到數學問題中。

（二）問題的起點不同

“數圖形的學問”從四個端點開始研究，讓學生數出有多少條線段，比較符合學生的年齡特點。

“比賽場次”從十個人參加比賽開始研究，讓學生感受從特例開始尋找規律的必要性。

（三）問題串的設計不同

在問題串的設計上，“數圖形的學問”設計了兩個核心任務：（1）有四個點，數一數有多少條不同的路線；（2）想辦法按順序數出有多少條不同的路線，要做到不重復、不遺漏。通過兩個學習任務的設計，學生可以感受到有序列舉的價值。

“比賽場次”呈現了三個核心學習任務：（1）十名學生參加乒乓球比賽，每兩名學生之間要進行一場比賽，一共要比賽多少場？（2）找找有什么規律？（3）你知道一共要比賽多少場嗎？通過三個學習任務，學生可以感受到從特例開始尋找規律的必要性。教師再引導學生通過列表、畫圖、連線等策略發現規律，解決比賽場次的計數問題。

（四）研究結果

研究發現，這兩個內容的教材編寫都是按“情境+問題串”的方式來編排的，每個內容都創設了基于學生特征的情境，讓學生圍繞情境提出問題、展開學習。這些問題的提出也是基于學習目標，按照一定的結構精心設計的，問題的指向性非常明確，從學生的知識、方法、思想等方面進行設計，從而引領學生的學習進程，最后實現課程目標。但是，情境的創設、問題的起點、問題串的設計上都體現了一定的學習進階。

三、教材中解決問題策略的學習進階

策略就是為了實現某一個目標，首先，預先根據可能出現的問題制訂若干對應的方案，并且，在實現目標的過程中，根據形勢的發展和變化制訂出新的方案，或者根據形勢的發展和變化選擇相應的方案，最終實現目標。

（一）解決問題的策略

解決問題的策略具體見表4。

表4 解決問題的策略

（二）研究結果

這兩個內容在學習策略的選擇上是一脈相承的，有明顯的學習進階，在“數圖形的學問”中是運用畫圖的策略發現規律，初步感受從特例尋找規律的解決問題的策略。在“比賽場次”中，運用畫圖、連線和列表等多種方式，運用從特例尋找規律的策略，解決比賽場次的問題。兩個內容從特例尋找規律的解決問題的策略的要求都是逐步螺旋上升的。

四、對教學實施的建議

通過研究，我們發現，解決此類問題時，在學習路徑的設計上有著較為相同的路徑，在教學實施的過程中，我們要注意以下幾點：

（一）要注重過程性

這兩個內容都是從學生熟悉的情境出發，提出問題，確定任務后就要組織學生開展活動，讓學生去嘗試做一做，在做一做的過程中去交流想法、發現規律、應用規律。學生在整個活動的過程中要從頭到尾地去思考問題，要參與到整個知識形成的過程中，經歷一個完整的學習活動過程。

（二）要注重趣味性

這兩個內容都是從解決學生感興趣的生活問題入手，例如，“數圖形的學問”要解決鼴鼠鉆洞的問題，“比賽場次”要解決乒乓球比賽的場次問題。這些問題與學生的生活密切相關，在解決問題時，學生有著濃厚的興趣。而且，這些問題的解決一般可以通過合作學習更好地完成，所有的這些知識都體現了學生的合作學習和探究學習，培養了學生的合作能力。

（三）要注重實用性

這兩個內容的解決都可以在生活中進行應用，例如，“數圖形的學問”可以解決生活中的車票問題，“比賽場次”可以解決體育運動中的比賽場次問題，體現了數學來源于生活，并應用于生活。

注：本文系深圳市2022年度規劃課題“北師大版‘計數方法’的教材學習進階實踐研究”（編號：dw22071）的階段性成果。