結構參數約束下的磁場補償式雙層時柵角位移傳感器研究

楊繼森 周 潤 張天恒 盧 渝 吳 灼 張 迪 張 靜

重慶理工大學機械檢測技術與裝備教育部工程研究中心,重慶,400054

0 引言

近年來,我國制造業正迅速向高質量制造轉型升級,高質量制造對位移傳感器的測量精度提出了更高要求,研究高精度位移傳感器顯得愈發重要與緊迫[1-5]。時柵位移傳感器作為一種新型位移傳感器,以勻速運動的場為參考系,將空間位置測量轉化為相對時間測量,提供了一種新型位移傳感思路,提高了傳感器測量精度。傳感器以抗干擾能力強、精度高、抗油污、抗抖動等特點廣泛用于數控機床、工業機器人以及軍用領域等[6-8]。

場作為時柵位移傳感器測量過程中的重要部分,場的勻速性與均勻性直接影響了傳感測量精度,在研究進程中一直作為重點研究對象。如今印刷電路板(printed circuit board,PCB)工藝成熟,布線精度高,靈活度強,制造周期短,有助于優化傳感器布線結構,增強場的勻速性,提高傳感器的測量精度[9-11]。時柵位移傳感器也從以前“開槽繞線式”結構轉變為由PCB工藝制造的平面線圈陣列結構。文獻[12]中提出了反向串聯“回”字形陣列結構,對傳感器結構上進行了一定的優化,消除了齒槽效應,提高了行波磁場的運動勻速性,減小了測量結果的四次諧波誤差;文獻[13]在文獻[12]的結構基礎上采用非線性規劃遺傳算法對其結構參數進行優化,使得感應信號諧波畸變率減小了90%,測量精度得到了提高;文獻[14]通過分析測量模型得到感應信號與平板間隔無關的規律,通過一系列結構變換將雙排差動平板結構優化為單排差動平板結構,消除串擾與安裝所帶來的影響,提高傳感器的信號穩定性、抗干擾能力,在200 mm的測量范圍內測量誤差值從300 nm減小至150 nm。筆者所在課題組在優化時柵位移傳感器工作中,通過分析磁場式時柵的時變磁場產生原理,提出采用雙層互補式線圈的時柵傳感器設計方案,有效抑制了時變磁場“端部效應”,提高了測量精度[15]。后續的研究中發現,仿真過程均在理想的情況下進行,忽略了上下層線圈間距,進一步研究發現,線圈間距會引起上下層線圈在感應線圈平面產生的磁場不對稱,使得理論上均勻對稱的磁場在感應平面內分布不對稱,該現象將導致傳感器感應電動勢在互補位置的幅值不等,最終影響測量精度。針對上述問題,本文提出了一種新優化思路,采用磁場補償驅動方案提高磁場對稱性和均勻性,彌補結構上的不足,以達到提高傳感器測量精度的目的。

1 測量原理及數學模型搭建

1.1 雙層時柵角位移傳感器測量原理

雙層時柵角位移傳感器總體結構如圖1所示,傳感器由激勵部分與感應部分組成,兩部分均采用雙層互補式結構。激勵部分由節距為w的矩形線圈組成,共有6個扇區,相鄰扇區相差四分之一個節距,以實現傳感器激勵線圈在空間上的正交,感應部分由節距為w的正弦型結構組成。

圖1 雙層時柵位移傳感器結構示意圖Fig.1 Schematic diagram of double layer time gate displacement sensor

相鄰扇區激勵線圈分別通入相位差為π/4的兩路激勵信號,以實現驅動信號在時間上的正交。傳感器的測量原理如圖2所示。在感應線圈所在平面上,根據畢奧-薩法爾定律對通電導線產生的磁場進行疊加形成時變磁場,圖2a為感應線圈平面時變磁場分布與感應線圈內部磁通量變化示意圖,其中圓點表示磁場方向為垂直平面向外,叉號表示磁場方向為垂直平面向內,Hc為感應線圈高度。由圖2a可知,當感應線圈沿著X軸正方向移動θ時,此時感應線圈內部有正負磁場強度同時作用,負磁場所穿過的面積抵消了部分正磁場所穿過的面積,正好對應正弦函數陰影部分半個周期的積分形式。根據法拉第電磁感應定律,感應線圈上將感應生成一路感應電動勢,感應電動勢與磁通量和位移量的關系為

(1)

(a)時變磁場平面分布與感應線圈內部磁通量示意圖

(b)傳感器感應信號計時原理圖2 傳感器測量原理示意圖Fig.2 Schematic diagram of sensor measurement principle

式中,ΔΦ為穿過感應線圈的磁通量的變化量;Δtx為位移前后時間差;K1為感應電動勢的系數;ω為角頻率;t為時間;w為感應線圈節距;θ為感應線圈與激勵線圈的相對角位移量。

傳感器激勵信號在時間上正交,激勵線圈結構在空間上正交,由此得出另外一路感應電動勢表達式為

(2)

由于傳感器感應線圈相互串聯,因此傳感器輸出的行波信號是兩路感應電動勢之和,則行波信號表達式為

(3)

由式(3)可知,位移量的表達式為行波信號的相位值,因此測量行波信號與參考信號的相位差能實現位移量的解算。行波信號經過放大、濾波、整形處理之后,形成一路帶有位置信息的方波信號,方波信號在處理器中與參考信號作數字信號處理,采用高頻時鐘插補技術測量該方波信號周期T以及與參考信號的時間差Δt,Δt與T可得相位差,從而實現對位移量θ的解算。計數原理如圖2b所示。θ與Δt和T的關系可表示為

(4)

式中,M為移動節距數。

1.2 雙層時柵角位移傳感器數學模型

在1.1節測量原理介紹中,時變磁場均在理想的條件下進行計算,忽略了上下層激勵線圈間距。本文在考慮線圈間距的基礎上,重新建立雙層正交型結構的數學模型,對時變磁場作進一步分析。由于傳感器結構精細,在較大對極數的情況下,外徑線圈弧度與內徑線圈弧度近似于平行線,因此根據圖1中激勵線圈建立磁場仿真模型,如圖3所示。線圈沿Y方向長度為2b,沿X軸方向長度為2a,兩層激勵線圈相距為c,在感應線圈平面內將任意場點設為P(m,n,k),場點P到導線B′C′的距離為H,P′為場點投影到OXY平面的坐標點。原有驅動方案是將上下層激勵線圈進行串聯并通入幅值為I的電流,P點的磁場強度由6根通電導線BC、CD、DA、D′A′、A′B′、B′C′共同疊加而成。Q為通電導線B′C′中的一點,Q點電流元在P點處產生的元磁場(元磁場方向為垂直于平面QPC′)根據畢奧-薩法爾定律可矢量表達為

(5)

式中,B為磁感應強度;μ0為真空磁導率;Idl為導線上Q點的線電流元;dl為電流的微小線元素;QP為Q點指向場點P的向量。

圖3 激勵線圈磁場仿真模型Fig.3 Magnetic field simulation model of excitation coil

根據圖3設點Q的坐標為(a,y,0),y為Y軸上的位移,則dB可用向量的方式表示為

dB=(dBX,dBY,dBZ) =

(6)

式中,dBX、dBY、dBZ分別為沿坐標軸三個方向的分量。

由于感應線圈平面與激勵線圈平面相平行,因此只需要考慮感應線圈平面的法線方向(Z軸)上的磁場dBZ。

根據三角公式可得

(7)

(8)

式中,θ1為線段B′P與線段B′C′的夾角;θ2為線段C′P與線段B′C′的夾角。

采用積分法聯立式(7)和式(8)可求得通電導線B′C′在場點P處沿Z軸方向上產生的磁場強度BB′C′Z為

(9)

其中,x、z分別為X軸和Z軸上的位移。同理可得其余5條導線在場點P處沿Z軸方向上產生的磁場強度BA′B′Z、BD′A′Z、BBCZ、BCDZ、BDAZ。

由磁場疊加定理可得場點P沿Z軸方向的磁場強度為

BZ=BB′C′Z+BA′B′Z+BD′A′Z+BBCZ+BCDZ+BDAZ

(10)

2 磁場補償驅動方案設計

2.1 磁場仿真

根據式(10)所建立的數學模型不能直觀地反映時變磁場的不對稱性,因此在數學模型的基礎上結合MATLAB軟件進行磁場仿真,仿真參數如表1所示,仿真結果如圖4所示。

表1 仿真參數設置

(a)磁場強度三維圖

(b)沿Y軸方向平面磁場強度分布圖圖4 感應線圈平面磁場分布圖Fig.4 Planar magnetic field distribution diagram of induction coil

由圖4可知,該平面中心區域的磁場強度為5.3×10-8T,在Y方向上越靠近線圈端部磁場分布愈發不對稱,若以中心區域的磁場強度為平均值時,Y方向上位于兩邊端部位置的磁場強度相對誤差最大為10%,因此考慮線圈間距時激勵線圈所產生的時變磁場分布不對稱。

(a)磁場強度三維圖(中部四根通電導線)

(b)沿Y軸方向平面磁場強度分布圖(中部四根通電導線)

(c)磁場強度三維圖(端部兩根通電導線)

(d)沿Y軸方向平面磁場強度分布圖(端部兩根通電導線)圖5 分層分析時感應線圈平面磁場分布圖Fig.5 Planar magnetic field distribution diagram of induction coil during stratified analysis

為進一步分析導致該現象的因素,對激勵線圈進行了分層討論,上層激勵線圈與下層激勵線圈各自單獨作用時的磁場分布如圖5所示。上層線圈lD′A′和lB′C′與下層線圈lBC和lDA產生的磁場分布分別如圖5a和圖5b所示,從圖中可知中部四根通電導線在感應線圈平面產生的磁場強度約為5.3×10-8T,四根導線所產生的磁場關于坐標軸對稱,由此可知這四根導線并不是導致磁場不對稱的原因。圖5c、圖5d所示分別為導線lA′B′和lCD通入相同激勵電流時在感應平面所產生的磁場強度,從圖中可以看出,兩根通電導線在感應平面產生的磁場強度左右不對稱,這是由于lA′B′和lCD位于端部遠離中心區域,在線圈中部影響不大,只對接近端部的磁場影響較大,且上層端部線段lA′B′產生的磁場強度較大,約為1.7×10-8T,因此可以得出影響磁場不對稱的因素為不在同一平面的兩根通電導線lA′B′和lCD。

2.2 磁場補償式驅動方案與結構參數的關系

根據磁場強度表達式,感應線圈所在平面的磁場強度與激勵線圈高、激勵線圈寬、空氣間隙、上下層線圈間距以及驅動電流有關。傳感器結構與各個參數相對應,其中線圈高、線圈寬和上下層線圈間距與傳感器線圈結構有關。當傳感器結構確定時,感應平面上的磁場強度僅與電流相關。

通過對6條通電導線的磁場分析可知,遠離感應線圈平面的通電導線lCD產生的磁場強度弱于lA′B′產生的磁場強度,最終導致時變磁場不對稱。為了解決時變磁場不對稱的問題,通過增大下層激勵線圈電流使得下層感應線圈磁場強度增大,以抵消通電導線與lCD所產生的不對稱磁場,并以此作為磁場補償式驅動方案的核心思想。當傳感器的結構確定時各個參數均已確定,則感應平面場點磁場強度表達式為關于x與y的二元二次表達式,可以根據關于二元二次的極值求解方法求得中部磁場強度的最大值及其對應坐標A(x1,y1),同理可得整個結構在端部所產生的磁場最大值及其對應坐標B(x2,y2),將A和B點的磁場強度分別作為中間部分磁場強度和端部的磁場強度的參考點,增大下層線圈電流使得A、B兩點磁場強度相等,以達到抵消端部磁場的不對稱性的目的。

將下層激勵線圈電流設為I2,則生成的新的磁場強度BZ1為

BZ1=BB′C′Z+BA′B′Z+BD′A′Z+

(BBCZ+BCDZ+BDAZ)I2/I

(11)

根據磁場補償驅動方案的核心思想可得

BZ1(x1,y1)=BZ1(x2,y2)

(12)

結合式(11)和式(12)即可得電流I與I2的關系表達式為

I2=I(BB′C′Z(x1,y1)+BA′B′Z(x1,y1)+

BD′A′Z(x1,y1)-BB′C′Z(x2,y2)+BA′B′Z(x2,y2)+

BD′A′Z(x2,y2))/(BBCZ(x2,y2)+BCDZ(x2,y2)+

BDAZ(x2,y2)-BBCZ(x1,y1)+BCDZ(x1,y1)+

BDAZ(x1,y1))=If(a,b,c,z)

(13)

其中,f(a,b,c,z)表示關于傳感器結構參數的函數。將表1中的結構參數代入式(13),可求得I2為118 mA。

為了驗證磁場補償思路的可行性,將得出的電流幅值結合仿真模型再次進行磁場仿真,設置的參數如表2所示,磁場分布如圖6所示,由圖可知,當下層激勵線圈電流為118 mA時磁場強度增大到5.8×10-8T,磁場強度相對誤差減小為0.3%。對比圖4可知,與原有的驅動方案相比,利用這種磁場補償驅動方案得到的磁場分布更加對稱,可以抵消端部導線所帶來的磁場不對稱性。

表2 磁場仿真參數設置

(a)補償后磁場強度三維圖

(b)補償后沿Y軸方向平面磁場強度分布圖圖6 補償后感應線圈平面磁場分布圖Fig.6 Magnetic field distribution diagram of induction coil after compensation

3 有限元仿真與誤差分析

3.1 有限元對比仿真

根據第2節的磁場仿真結果,實際情況下傳感器節距內時變磁場存在不對稱,但在測量原理中磁場強度均是采用理想狀態下的均勻磁場進行計算的。根據式(1)所示的感應電動勢的表達式,當傳感器感應線圈處于激勵線圈節距內的互補位置時,面積變化量不變,但傳感器激勵線圈節距內時變磁場并不是呈理想的對稱分布,從而造成感應信號在互補位置時幅值不相等。實際情況下兩路感應電動勢為

(14)

(15)

式中,kc為互補位置的幅值差值。

由于行波信號是由兩路感應電動勢合成的,則合成后的行波信號可表示為

(16)

式中,K為行波信號的幅值;φ1、φ2為行波信號的相位值。

根據三角函數變化可得

(17)

根據式(16)、式(17)得出,不對稱時變磁場影響了相位差,進一步導致解算出來的位移量出現偏差,因此為了驗證磁場補償驅動方案的可行性,采用分析軟件Maxwell對傳感器的結構模型進行有限元仿真,分析該方案對感應電動勢幅值以及測量誤差的影響,仿真結構模型如圖1所示。本文的仿真采用兩種不同驅動方案進行對比,仿真參數如表3所示,仿真結果如圖7所示。

表3 有限元仿真參數

(a)正弦信號激勵感應電動勢

(b)余弦信號激勵感應電動勢

(c)行波信號圖圖7 感應電動勢與行波信號圖Fig.7 Induced electromotive force and traveling wave signal diagram

3.2 誤差分析

仿真產生兩路感應電動勢,每一路有50個采樣點。根據感應電動勢的表達式,感應電動勢的幅值與空間位移量和節距有關,一個節距內轉子在互補位置時幅值相等符號相反。取25對互補位置的感應電動勢幅值進行取模作差,兩種不同驅動方式下互補位置的感應電動勢幅值相對誤差如圖8所示。

圖8 互補位置感應電動勢幅值誤差Fig.8 Amplitude error of complementary position induced electromotive force

由圖8可以看出,不同驅動方案下感應電動勢幅值差值曲線的變化趨勢相似,原有驅動方案激勵下,幅值的相對誤差整體偏大,最大值出現在1.3°,磁場補償驅動方案激勵時,互補位置的感應電動勢幅值相對誤差明顯減小,說明磁場補償驅動方案可以減小轉子在互補位置上感應電動勢的幅值相對誤差。

通過將兩路感應電動勢相加可得帶有位置信息的行波信號,如圖7c所示。根據圖2中的求解原理可得行波信號的相位差與傳感器的位移量。故可將0°位置處行波信號的相位作為初始相位值,以此計算每個角度行波信號的相位與初始相位的相位差,進而求解出各個角度相對于0°位置的相對位移。將測量位移量與真實位移量作比較可得每個位置的角度誤差。兩種不同驅動方案激勵時傳感器模型的角度誤差曲線見圖9。

圖9 兩種不同驅動方案下傳感器誤差曲線Fig.9 Sensor error curves under two different driving schemes

由圖9可知,兩種驅動方案驅動時誤差曲線呈相同的周期性變化,當磁場補償驅動方案作用時,轉子在1.3°～2.4°與2.9°～4°時測量誤差明顯減小。從仿真數據分析中可以得到,沒有補償電流時,測量誤差范圍為(-31.6″,26.9″),當有補償電流作用時測量誤差范圍為(-22.4″,14.2″)。由此可以得出,當磁場補償驅動方案激勵時測量誤差峰峰值從之前的58.5″變為36.6″,誤差峰峰值減小了37.4%。

4 實驗驗證

4.1 實驗臺的搭建

根據圖1中的傳感器結構模型,采用PCB工藝加工傳感器樣機。安裝時柵角位移傳感器并搭建對比實驗平臺,為測量時柵角位移傳感器精度,采用更高精度等級的海德漢光柵進行誤差標定,光柵型號為RON-866,傳感器整周刻有36 000個柵線,系統精度為±1″;采用電子細分盒處理光柵輸出信號,可以將光柵分辨率提高100倍。安裝時將角位移編碼器與時柵角位移傳感器同軸安裝,從而使兩者同步運動,信號處理電路同步采集兩個傳感器數據,通過串口上傳到上位機進行誤差標定,實驗現場如圖10所示。

圖10 雙層時柵角位移傳感器對比實驗臺Fig.10 Double layer time grating angular displacement sensor contrast experimental platform

4.2 對比實驗

雙層時柵角位移傳感器驅動頻率為10 kHz,根據磁場補償驅動方案可得兩層驅動電壓分別為4.25 V和5.02 V,本次實驗將兩層驅動電壓設置為4.3 V和5.0 V進行驅動,與原有驅動方案中上下層驅動電壓均為4.3 V展開對比實驗。設置一個節距內采樣點個數為50,得到不同驅動方案下的誤差曲線見圖11。

圖11 節距內實驗誤差曲線對比Fig.11 Comparison of error curves in polar experiment

實驗誤差曲線表明,節距內測量出的誤差從(-25.5″,18.3″)減小到(-20.8″,12.6″),磁場補償驅動方案提高了傳感器測量精度,實驗結果與仿真結果基本一致。

5 結論

(1)本次研究通過對雙層時柵角位移傳感器結構建模與時變磁場的仿真,發現上層激勵線圈與下層激勵線圈的間隙會對時變磁場產生影響,從而導致在互補位置時感應電動勢幅值不等。由此引出一種磁場補償驅動方案,該方案將上下兩層激勵線圈通入不同幅值電壓以消除間隙對時變磁場的影響,通過磁場補償思路與傳感器的結構參數確定了與之對應的上下層激勵線圈驅動電壓關系。同時經過數學分析、建模仿真、實驗對比,驗證了磁場補償驅動方案的有效性。該驅動方案提高了行波磁場的對稱性,經對比研究后,節距內測量誤差從(-25.5″,18.3″)減小到(-20.8″,12.6″)。

(2)本次研究更貼近實際情況下的傳感器研究,通過優化驅動方案來彌補結構上的不足,并且適用于不同結構參數的雙層時柵位移傳感器,為高精度傳感器優化設計提供了新思路。