小學(xué)數(shù)學(xué)“數(shù)感”培養(yǎng)的三種方式

福建省晉江市華泰實(shí)驗(yàn)小學(xué) 許貽亮

在新課標(biāo)核心素養(yǎng)的主要表現(xiàn)及其內(nèi)涵中，“數(shù)感”的具體定義為“主要是指對(duì)于數(shù)與數(shù)量、數(shù)量關(guān)系及運(yùn)算結(jié)果的直觀感悟”，同時(shí)“數(shù)感”與“量感”并列，意味著對(duì)“量”的直觀感知與“數(shù)”的直觀感悟在密切聯(lián)系中各有側(cè)重，雖然它們都隸屬于“數(shù)學(xué)眼光”。小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，“數(shù)感”培養(yǎng)的關(guān)鍵時(shí)期是在低年級(jí)，“數(shù)感”通過數(shù)數(shù)、記數(shù)、數(shù)的運(yùn)算、解決問題等不斷地得以培養(yǎng)與發(fā)展。那么，到了高年級(jí)，如何基于新課標(biāo)的理念與具體要求，繼續(xù)促使學(xué)生獲得“數(shù)感”的發(fā)展及深化？下面，筆者結(jié)合執(zhí)教北師大版數(shù)學(xué)五年級(jí)上冊(cè)“分?jǐn)?shù)的意義”單元中的三個(gè)課例，各擷取三個(gè)教學(xué)片段，試梳理三種常見的培養(yǎng)方式，求教于各方家。

一、直觀式，讓“數(shù)感”有形可依

數(shù)是對(duì)量的抽象，理解數(shù)的意義和數(shù)量關(guān)系，是“數(shù)感”培養(yǎng)的重要內(nèi)容。史寧中、呂世龍教授認(rèn)為，“‘?dāng)?shù)感’是對(duì)數(shù)的‘感悟’”，既包含感知的成分又有思維的成分。把抽象的數(shù)用直觀的方式進(jìn)行表達(dá)，有利于化抽象為形象，在形的依托下更好地展開對(duì)數(shù)的“感”與“悟”。在這里，直觀的方式可以是計(jì)數(shù)器、數(shù)線圖、面積模型等，不求華麗，但求貼切。

例如，北師大版數(shù)學(xué)五年級(jí)上冊(cè)“分餅”一課，本課教學(xué)的主要內(nèi)容是真分?jǐn)?shù)與假分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)，內(nèi)涵是分?jǐn)?shù)“商的意義”，教材中設(shè)計(jì)的核心問題是“5張餅要平均分給4個(gè)人，每人分到多少張餅”，實(shí)際教學(xué)中，學(xué)生源于本單元第一課時(shí)分?jǐn)?shù)的“份數(shù)意義”，對(duì)假分?jǐn)?shù)的認(rèn)知是有困難的，既不好遷移又不好理解：“平均分成4份，怎么可能取出這樣的5份？”為此，教師在教學(xué)中可以把假分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)納入數(shù)認(rèn)識(shí)的大背景下，把前1課時(shí)的分?jǐn)?shù)單位的認(rèn)識(shí)與本課整合起來，基于“數(shù)，起源于數(shù)”的分?jǐn)?shù)“度量意義”來設(shè)計(jì)并組織教學(xué)，采用多元直觀的方式，讓學(xué)生在真分?jǐn)?shù)與假分?jǐn)?shù)的認(rèn)知中，化“難”為“利”，進(jìn)一步發(fā)展分?jǐn)?shù)的“數(shù)感”。

活動(dòng)一：數(shù)數(shù)。教師在教學(xué)分?jǐn)?shù)單位后，一張一張地出示圓片的，讓學(xué)生在數(shù)一數(shù)的累加中由到、的同化后，這時(shí)再增加一個(gè)，“用哪個(gè)分?jǐn)?shù)表示呢？”有些學(xué)生受限于三年級(jí)原有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，寫出，理由是已經(jīng)是第5份，不可能還是，應(yīng)比大，所以是，而忽略了和其實(shí)是一樣大的。也有的學(xué)生認(rèn)為，累加過程中分?jǐn)?shù)單位不變，所以分母依然是4，但分子不敢寫5，因?yàn)闆]見過、沒把握，誤以為分?jǐn)?shù)的值最多只能到“1”封頂，所以寫成了。當(dāng)然，也有學(xué)生受到圓片的的直觀“暗示”，已在觀察中自覺地拼接出，實(shí)現(xiàn)了從真分?jǐn)?shù)到假分?jǐn)?shù)認(rèn)知上的突破與順應(yīng)（見圖1）。教學(xué)中，圓形圖片在重復(fù)中的累加以及圓形圖片易于把握分?jǐn)?shù)單位的特點(diǎn)被很好地體現(xiàn)出來，使學(xué)生對(duì)假分?jǐn)?shù)的認(rèn)知有了依托與直觀上的認(rèn)可，“能夠在真實(shí)情境中理解數(shù)的意義”。

圖2

活動(dòng)三：判斷。如圖3，在對(duì)一組分?jǐn)?shù)按真分?jǐn)?shù)、假分?jǐn)?shù)分類后，數(shù)線圖上出現(xiàn)一個(gè)“點(diǎn)”，請(qǐng)學(xué)生判斷這個(gè)點(diǎn)表示的是這組分?jǐn)?shù)中的哪一個(gè)。這時(shí)，學(xué)生充分依托直觀的圖形可做出直覺判斷：這個(gè)點(diǎn)不到“1”，肯定是一個(gè)真分?jǐn)?shù)；它的位置更靠近“1”，肯定大于“一半”且超過部分較多。題目中符合這些條件的，只有真分?jǐn)?shù)。把“數(shù)”與“形”結(jié)合在一起，不僅培養(yǎng)了學(xué)生的“數(shù)感”，而且發(fā)展了學(xué)生的幾何直觀與推理意識(shí)，可謂一舉多得。

圖3

二、浸潤(rùn)式，讓“數(shù)感”有話可說

“數(shù)感”看似是個(gè)體的、內(nèi)隱的直觀感悟，但并非不可感知與洞見。要想感知與洞見學(xué)生“數(shù)感”現(xiàn)有狀態(tài)、發(fā)展脈絡(luò)等，需要工具也需要空間和機(jī)會(huì)。因此，教師在設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng)時(shí)，要以真實(shí)情境為載體，讓學(xué)生的“數(shù)感”在數(shù)學(xué)語言的表達(dá)中潛移默化地得到提升。在這里，浸潤(rùn)的方式可以是操作探究活動(dòng)、師生互動(dòng)交流、數(shù)學(xué)資料閱讀等，不求新奇，但求厚實(shí)。

例如，教學(xué)北師大版數(shù)學(xué)五年級(jí)上冊(cè)“分?jǐn)?shù)的再認(rèn)識(shí)（一）”時(shí)，該課的教學(xué)重點(diǎn)是對(duì)分?jǐn)?shù)意義的理解與把握，其核心是對(duì)“一個(gè)整體”及部分與整體之間數(shù)量關(guān)系的理解與把握。張奠宙先生說，概念教學(xué)要“注重本質(zhì)，淡化形式”。為此，在突破“一個(gè)整體”這一教學(xué)重難點(diǎn)時(shí)，教師可以采取“題組”推進(jìn)的方式，從“一個(gè)整體”的外延入手，讓學(xué)生從整數(shù)量到小數(shù)量再到分?jǐn)?shù)量，感受“一個(gè)整體”外延的變化，在較長(zhǎng)時(shí)間內(nèi)浸潤(rùn)其中，獲得對(duì)其內(nèi)涵的深入感悟及洞見表達(dá)。同時(shí)，緊扣“數(shù)感”培養(yǎng)，設(shè)計(jì)其他浸潤(rùn)式體驗(yàn)活動(dòng)，把課堂構(gòu)建成培養(yǎng)、發(fā)展及深化“數(shù)感”的場(chǎng)域。

活動(dòng)二：涂色部分占幾分之幾。在學(xué)生對(duì)“一個(gè)整體”及分?jǐn)?shù)意義有了進(jìn)一步的理解后，教師可出示一張無刻度的寬紙條，并將其中部分涂上顏色，問：“涂色部分占整張紙條的幾分之幾？”（見圖4）由此讓學(xué)生浸潤(rùn)于獨(dú)立的觀察與估測(cè)中。有的學(xué)生僅用眼觀察、分析；有的學(xué)生則手眼并用，瞇眼并用手指嘗試比畫、估量其大致的平均分情況。在交流時(shí)，教師可先請(qǐng)學(xué)生說出對(duì)涂色部分所占比例的估測(cè)，再以兩手的距離為一份進(jìn)行比畫驗(yàn)證。剛開始，有的學(xué)生以為是，經(jīng)過驗(yàn)證發(fā)現(xiàn)這樣會(huì)超出整張紙條；也有的學(xué)生以為是，經(jīng)過驗(yàn)證發(fā)現(xiàn)這樣整張紙條度量不滿。這時(shí)，學(xué)生便大膽猜測(cè)“應(yīng)該是”，折射出對(duì)分?jǐn)?shù)的敏銳直覺。此時(shí)，借助直尺度量，確定涂色部分占整張紙條的，也就是學(xué)生猜測(cè)的（見圖4）。在這里，“觀察—估測(cè)—驗(yàn)證—調(diào)整—再估測(cè)—再驗(yàn)證—再調(diào)整”組成一個(gè)循序漸進(jìn)的體驗(yàn)活動(dòng)，學(xué)生浸潤(rùn)其中，進(jìn)而“能在簡(jiǎn)單的真實(shí)情境中進(jìn)行合理估算，做出合理判斷”。

圖4

活動(dòng)三：談對(duì)三分之二的感覺。在練習(xí)強(qiáng)化中，教師可出示一組蘊(yùn)含分?jǐn)?shù)的數(shù)學(xué)信息（見圖5），在讓學(xué)生判斷出各題的“一個(gè)整體”后，提問：“對(duì)這兩個(gè)，你有什么感覺？”直面學(xué)生對(duì)相同分?jǐn)?shù)在不同現(xiàn)實(shí)情境中的直觀感悟，讓學(xué)生沉浸其中。對(duì)于第一條信息，學(xué)生的主要觀點(diǎn)是“太多”——睡眠不足的占全班同學(xué)的；而對(duì)于第二條信息，學(xué)生的主要觀點(diǎn)是“太快”“太好看”——10分鐘讀了繪本故事書的。同一個(gè)分?jǐn)?shù)，在不同現(xiàn)實(shí)情境中蘊(yùn)含著不一樣的認(rèn)知體驗(yàn)，也讓學(xué)生在數(shù)學(xué)交流中豐富對(duì)分?jǐn)?shù)的多元感知。

圖5

三、啟悟式，讓“數(shù)感”有光可閃

啟發(fā)式教學(xué)強(qiáng)調(diào)的是“不憤不啟、不悱不發(fā)”，學(xué)生在“憤悱”狀態(tài)中更易于激發(fā)、點(diǎn)燃數(shù)學(xué)思維，從而獲得認(rèn)知上的飛躍。在“數(shù)感”的培養(yǎng)中，通過啟悟式的教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)，直面數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中的“盲區(qū)”，讓學(xué)生產(chǎn)生困惑，然后教師再給予循序漸進(jìn)的“啟”與“悟”，從而促使學(xué)生有更多數(shù)學(xué)思維的靈光閃現(xiàn)。在這里，學(xué)習(xí)“憤悱”的方式可以是教師的提問、待解的問題、挑戰(zhàn)的任務(wù)等，教師可以在其中投一些“石子”、設(shè)一些“堤壩”，不求深?yuàn)W，但求通透。

例如，北師大版數(shù)學(xué)五年級(jí)上冊(cè)“分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)”一課，本課教學(xué)重點(diǎn)是對(duì)“等值分?jǐn)?shù)”的理解，即有規(guī)律地改變分子、分母的數(shù)值而保持分?jǐn)?shù)的大小不變。從本質(zhì)上講，分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)與商不變的規(guī)律雖名稱不同，實(shí)則數(shù)理相通。但是，想把預(yù)設(shè)的“理想”轉(zhuǎn)變?yōu)樯傻摹罢鎸?shí)”，需要設(shè)計(jì)啟悟式的數(shù)學(xué)活動(dòng)，從而促成學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)的通透感悟。

活動(dòng)二：你熟悉嗎？在歸納概括出分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)后，教師讓學(xué)生再慢慢地讀一遍，然后追問：“對(duì)這個(gè)規(guī)律，你是否感到很熟悉？”創(chuàng)設(shè)“憤悱”的問題情境，喚醒學(xué)生對(duì)商不變規(guī)律的記憶。利用課件把二者并排放在一起，梳理其中的相同點(diǎn)。借由分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系進(jìn)行再次舉例強(qiáng)化，從而把二者深度地連接在一起，學(xué)生發(fā)現(xiàn)：“它們是一樣的！”如此，在不同中尋找相同，把新知與舊知聯(lián)系、融合起來，學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)的感悟得到了升華。

活動(dòng)三：敢挑戰(zhàn)嗎？根據(jù)“等值分?jǐn)?shù)”的特點(diǎn)，教師有序出示和相等的5個(gè)分?jǐn)?shù)，先讓學(xué)生從這個(gè)“家族”中選出一個(gè)數(shù)作“代表”，多數(shù)學(xué)生支持，因?yàn)樽詈?jiǎn)單；其他分?jǐn)?shù)都是從“生”出來的。接著，再請(qǐng)學(xué)生利用直尺在數(shù)線圖上標(biāo)出，然后布置挑戰(zhàn)性任務(wù)：“在30秒內(nèi)，把剩下4個(gè)分?jǐn)?shù)都標(biāo)到數(shù)線圖上。”在學(xué)生緊張操作的同時(shí)，教師還可以看著手表進(jìn)行倒計(jì)時(shí)報(bào)數(shù)——還有20秒、10秒、5秒，時(shí)間到！營(yíng)造時(shí)間緊迫的氣氛，從而“迫使”學(xué)生從最初“先平均分，再在合適的位置寫上分?jǐn)?shù)”的慣性思維中“掙脫”出來，意識(shí)到問題所在——“這樣的平均分太慢了，來不及”，進(jìn)而直接抓住這組分?jǐn)?shù)“它們一樣大”的特點(diǎn)，靈光一閃，快速地把剩下4個(gè)分?jǐn)?shù)寫在所在位置的下方，“初步感受數(shù)學(xué)表達(dá)的簡(jiǎn)潔與精確”。如此，實(shí)現(xiàn)了從原來數(shù)線圖上的一個(gè)點(diǎn)表示一個(gè)分?jǐn)?shù)，到現(xiàn)在數(shù)線圖上的一個(gè)點(diǎn)可以表示無數(shù)個(gè)的等值分?jǐn)?shù)，發(fā)展學(xué)生的“數(shù)學(xué)直覺”，獲得對(duì)分?jǐn)?shù)直觀感悟的再次升華。

當(dāng)然，“數(shù)感”的培養(yǎng)還要關(guān)注數(shù)量關(guān)系、運(yùn)算結(jié)果等方面的直觀感悟，需要在有關(guān)“數(shù)與運(yùn)算”教學(xué)主題下的每一節(jié)課中都有意識(shí)地加以培養(yǎng)、發(fā)展與深化，這樣才能不斷提高學(xué)生對(duì)數(shù)與數(shù)量關(guān)系等的“數(shù)學(xué)化反應(yīng)”，為學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)的發(fā)展提供營(yíng)養(yǎng)，并奠定厚實(shí)的經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)。其中，以上三種培養(yǎng)方式仍適用，只是要針對(duì)具體課例具體分析，并做出具體調(diào)整與優(yōu)化，從而使看似“虛”與“玄”的“數(shù)感”得以生動(dòng)、深刻地生長(zhǎng)于學(xué)生的數(shù)學(xué)理解之中。