Lagrange插值對相滲曲線歸一化方法的改進
——以M油田相滲曲線為例

路 強,任宜偉,尹彥君,張 震,王中華,陳秋月

(中海油能源發展股份有限公司工程技術分公司,天津 300457)

相對滲透率指巖石孔隙中飽和多相流體時,巖石對每一相流體的有效滲透率與巖石絕對滲透率的比值。油水相對滲透率與含水飽和度的關系曲線稱為相對滲透率曲線[1],即相滲曲線。該曲線是研究儲層多相流動的重要參數,是油田開發動態分析、開發方案設計、油藏數值模擬等工作的基礎資料[2]。油藏開采初期,實驗室需要測定多條相對滲透率曲線,為了獲得一條能夠準確反映儲層流體滲流特征的相對滲透率曲線,需要對相對滲透率曲線進行必要的插值,以得到一條歸一化的曲線。對于不同類型的相滲曲線應該如何進行插值計算,針對這一問題,本文剖析了Lagrange插值對相滲曲線歸一化的改進。

1 相滲曲線的分類

不同儲層的油相相滲曲線變化趨勢基本一致,表現為一條光滑的單調遞減曲線,而水相相滲曲線則差異較大,王國先[3]按照水相相滲曲線形態將相滲曲線分為五類,中高滲儲層常見的是水相上凹型(圖1a),低滲儲層常見的是水相上凹型和水相直線型(圖1b),低滲敏感性儲層常見的是水相下凹型(圖1c)和水相上凸型(圖1d),低滲裂縫型儲層主要是水相靠椅型(圖1e)。

圖1 不同類型相滲曲線

水相上凹型:實驗室測得的相滲曲線絕大多數都是水相上凹型,這類曲線為標準型油水相對滲透率曲線。隨含水飽和度增加,水相曲線光滑、無拐點、單調遞增,曲線近三次多項式。

水相直線型:曲線形態與水相上凹型曲線相似,也較為常見,受儲層孔隙填充物膨脹影響,曲線不上凹,隨含水飽和度增加,水相曲線光滑、無拐點、單調遞增,曲線近一次多項式。

水相下凹型:曲線反映出儲層黏土礦物含量高且已發生鹽(水)敏,黏土礦物遇水膨脹堵塞喉道,水相流動阻力增大,隨含水飽和度增加,水相曲線光滑、無拐點、單調遞增,曲線近二次多項式。

水相上凸型:水相上凸型的水相曲線與水相下凹型曲線相似,但尾部明顯下掉,曲線形態近似駝峰,隨含水飽和度增加,水相曲線光滑、一個拐點,曲線近二次多項式。

水相靠椅型:裂縫較發育儲層的相滲曲線多表現為水相靠椅型,隨含水飽和度增加,水相曲線光滑、兩個拐點,曲線近三次多項式。

由于一次多項式和二次多項式是三次多項式的特殊形式,因此,五類相滲曲線的水相曲線形態均與三次多項式曲線近似。

2 相滲歸一化處理方法及改進

相滲歸一化處理有三種方法:平均法、經驗公式法[4-8]、相對滲透率特征曲線法[9]。平均法是相滲曲線歸一化處理的一種常用方法,該方法不需要對實驗數據進行擬合,能最大程度地保存原始相滲曲線的形態,但是潘婷婷[10]認為該方法精度低且曲線不光滑。

2.1 平均法

平均法包括平均相對滲透率法和平均飽和度法[11],兩種處理方法類似,處理過程如下:

1)選取具有代表性的油水相對滲透率曲線數據;

2)對各巖心樣品的實驗數據進行無因次化處理(式1),并繪制無因次后的油水相對滲透率曲線;

(1)

(2)

4)將各樣品的相滲曲線特征值分別進行算術平均(式3),并將平均值作為平均相滲曲線的特征值;

(3)

5)將求得的平均無因次相對滲透率曲線換算成無因次化之前的相滲曲線,其公式為:

(4)

2.2 平均法的改進

Lagrange插值法原理是:在插值點的附近選取若干合適的結點,構造一個簡單的插值函數y=L(x),要求L(x)穿過選取的結點。在所選數據區間用L(x)作為原函數f(x)的值,使得f(xi)=L(xi)(i=0,1,…,n-1)成立[16]。

1)構建Lagrange插值基函數。給定n個結點xi(i=0,1,…,n-1)上的函數值yi=f(x),則插值基函數的表達式為:

(5)

基函數滿足lj(xj)=1,lj(xi)=0(i≠j)。

2)n個結點構建的Lagrange多項式L(x),其表達式為:

(6)

其特點是滿足L(xi)=yi(i=0,1,…,n-1)。

2.3 Lagrange插值法的改進及實現

鄭洪印[17]1993年提出利用Lagrange插值法進行插值,插值時選取距離插值點最近的三個相鄰結點進行Lagrange插值,但該方法存在以下問題:三個插值結點構造成二次多項式,如果多項式對稱軸介于三個插值結點之間,曲線會出現拐點。

一般情況下,插值結點越多,預測結果越準確,但插值次數越多,越容易出現龍格現象。五類相滲曲線的形態均與三次多項式曲線近似,4個結點可以確定唯一的三次多項式,因此在n個結點中選取距離插值點最近的4個結點進行插值,且使指定插值點t位于4個結點之間。

3 實例分析

以M油田相滲曲線為例,實驗室共測得四塊巖心的相滲曲線數據(表1),每塊巖心選取三個實驗數據點作為盲點,對比線性插值法、四點Lagrange插值法、三點Lagrange插值法的精度。

表1 H油田巖心相滲曲線數據

結果表明:線性插值法盲點最高相對誤差可達40%,油相相對滲透率平均誤差為6.13%～17.95%,水相相對滲透率平均誤差為0.88%～4.83%;三點Lagrange插值法盲點最高相對誤差為13.33%,油相相對滲透率平均誤差為0.83%～4.99%,水相相對滲透率平均誤差為0～0.1%;四點Lagrange插值法盲點最高相對誤差為0.41%,油相相對滲透率平均誤差為0～0.14%,水相相對滲透率平均誤差為0～0.09%(表2)。因此,Lagrange插值法的精度明顯高于線性插值法,而四點Lagrange插值法精度高于三點Lagrange插值法。

表2 不同插值法相對誤差對比

4 結論

1)五類典型相滲曲線形態與三次多項式曲線形態類似,Lagrange插值法可以構建一個多項式,保證實驗數據點誤差為零,并且能夠最大程度保持每一類相滲曲線的形態。

2)采用線性插值法的相對誤差最高,而Lagrange插值法的相對誤差較小。相較于三點Lagrange插值法,四點Lagrange插值法構造的曲線為三次多項式,曲線形態更符合五類相滲曲線的形態,計算精度更高。