利用計算機數值模擬探究懸鏈線的形狀

楊一鳴 劉博文 石 磊

(1. 南京師范大學附屬中學,江蘇 南京 210000; 2. 復旦大學物理學系,上海 200433)

《抱銀貂的女人》是達·芬奇所畫的世界名畫.在創作此畫的過程中,如何寫實地描繪畫中主人公脖頸上所戴的一串黑色珍珠項鏈,讓達·芬奇陷入了沉思:固定項鏈的兩端,使其在重力的作用下自然下垂,項鏈所形成的曲線應該是什么?在高中階段學習了力學和曲線方程的情況下,高中學生可能對這個問題感到好奇,但因為缺乏微積分知識,無法進一步探究.

計算機在當今科學研究中起到重要作用,利用計算機輔助解決問題的思路也有很大價值.盡早讓高中生提前接觸這類思想可以幫助他們自主探究一些原本在高中階段難以討論的問題,拓展思維寬度,益處良多.[1]在本文中,我們將主要介紹如何利用計算機數值計算,處理原本需要高階變分數學技巧才能解決的懸鏈線問題.在此過程中,我們還將介紹與懸鏈線問題相關的最小作用量原理和最小勢能原理.這將有助于高中生開闊視野,理解書本上的物理知識背后的圖像和原理,形成一種完整統一的物理觀.

1 最小作用量原理、最小勢能原理

物理學家們有一個信念:“大自然不會做徒勞無功的事情(Nature does nothing in vain).”即一切物理現象的發生一定是因為這樣發生最為“省勁”,大自然傾向于以“作用量”最小的方式運行,這就是“最小作用量原理”.[2]

物理學家們始終在探討何為“作用量”.不同的科學家提出了各種不同的“作用量”.費馬提出“最短時間原理”,即光線移動的路徑是用時最少的路徑.莫佩爾蒂提出作用量為質量和速率的積在運動路徑上的積分.哈密頓提出作用量為動能與勢能的差在運動時空上的積分等.而針對靜力學問題,伯努利提出了“最小勢能原理”:當一個體系處于穩定平衡狀態時,其系統的勢能最小.本文將依據此原理進行探討.

2 懸鏈線問題

懸鏈線問題是一個非常古老的問題,伽利略認為是拋物線但并未證實,達·芬奇提出問題后還沒有找到問題的答案便去世了,最終伯努利利用最小勢能原理解決了懸鏈線問題.[3]懸鏈線問題的具體描述是:兩端固定的一條均勻(粗細與質量分布)、柔軟(不能伸長)的鏈條,在重力的作用下所具有的曲線形狀.在本文中,不考慮繩子的彈性勢能,僅僅考慮重力勢能.在實際的教學探索中,也可以鼓勵學生自主探究考慮彈性勢能的情況.本質上,從最小勢能原理出發,懸鏈線問題是一個數學上的變分問題,在高中階段原本是難以討論處理的.但事實上,高中生可以借助計算機數值計算,在避開微積分的情況下,將積分問題轉化為求和問題,直接計算機模擬得到懸鏈線問題的近似解.

如圖1,將懸鏈線分成很多小段,設每一小段水平長度為Δx,豎直長度為Δy,坐標為(x,y),繩子密度為ρ=ml,并且其數值被設定為1.則對于每一小段,它的長度為

(1)

這一小段質量為

(2)

因此該小段的勢能ΔV為

(3)

將每一小段的勢能累加求和,便得到整個懸鏈線的總勢能,為

(4)

根據最小勢能原理,懸鏈線應是總勢能取最小值時的曲線.對于這樣一個求和問題,學生可以借助于計算機很容易地實現.同時,也能夠利用交互式的界面,通過改變曲線的形狀,直觀地感受不同形狀對應的勢能大小,以及符合最小勢能情況下的懸鏈線曲線.

具體而言,學生可以在計算機顯示屏上生成一個交互式界面,界面中創建許多滑動條,每一個滑動條對應于懸鏈線上的一個點,而兩點之間的橫縱坐標差即是Δx和Δy,并利用式(4)實時計算出總勢能并顯示在屏幕上.通過調整曲線形狀、觀察勢能值,就可以認識到懸鏈線的形狀以及深刻理解最小勢能原理.

3 使用計算機數值模擬懸鏈線形狀

下面介紹具體的代碼實現過程.本文以mathematica為例,其他的程序語言,例如python等均可完成任務.

定義懸鏈線的兩固定端的坐標為(-1,0)和(1,0),從-1到1每0.2取一個點.該點的橫坐標和縱坐標在程序中分別為x和y.這里,為了方便起見,沒有賦予數字的具體單位.教師可以根據實際需要定義.首先,利用公式(4)計算總勢能的程序為:

為了更加直觀,也增加程序與學生的交互性,如前所述,我們可以制作交互式界面,通過滑動條控制構成懸鏈線上的點,進而調節懸鏈線形狀.通過在屏幕上實時顯示曲線形狀和所計算的總勢能,體現形狀和勢能的關系.具體可以利用mathematica中的ListLinePlot函數和manipulate函數實現.具體程序實現如下:

值得注意的是,確保探究正確的基本條件是保證總繩長不變.如果直接從-1到1設立多個滑動條會導致總繩長受到影響,進而影響結果.一種解決方法是,空出中間橫坐標為0的點,自動改變它的位置以保證總長不變.設它左右兩側點的縱坐標為y1,y2,當前總長度與總長度的差值為Δl,得到方程

(5)

只要解出方程(5),即可得到此時中間點的縱坐標,以保證總長度l相同.可以用如下語句解出方程,并將輸出作為函數calcmid的定義(程序中的y/.可以將Solve函數的輸出中的y替代為calcmid):

然后我們可以定義len函數來計算y1和y2,并利用它計算中間坐標.

定義好函數后,可以按如下方式計算中間點的坐標:

為了方便,在實際的編程中,教師可以預先利用已知的懸鏈線曲線獲得懸鏈線的總長度l.最終的程序交互式界面如圖2所示.運行程序后,在調整圖像形狀的同時,界面上可以直接顯示總勢能的變化.可以看出,當曲線逐漸接近懸鏈線時,總勢能也在不斷減小.最終得到的曲線即為近似的懸鏈線.

圖2

圖2為最小勢能模擬計算機界面.左側的滑動條分別對應著右側圖中點的縱坐標,可以通過拖動滑動條改變點的位置。右圖會顯示出所有點的位置,并計算出此時對應的勢能。(假設,橫縱坐標單位為m)

4 做實驗進行驗證

為了驗證在實際生活中很多固定兩端的懸鏈線的形狀的確是符合最小勢能原理,可以使用珍珠項鏈等進行簡單實驗.以珍珠項鏈為例,測量出項鏈長度后,控制兩端點間的距離為15 cm和20 cm,將程序中l設為總長與短點距離比值的兩倍(因為程序中將兩端點距離設為2).觀察項鏈形狀,并與擬合出的形狀進行比較.可以發現曲線是幾乎重合的(如圖3),因此可以認為得到的懸鏈線曲線的確是最小勢能情況.也可以讓學生運用相同方法自主探究兩端點不等高的情形,拓展思維.

圖3

圖3將珍珠項鏈兩端點距離控制為15 cm和20 cm,并輸入到程序中,模擬出勢能最小時的曲線,并與原圖進行對比.圖像坐標軸單位為任意單位.

5 與拋物線的區別

懸鏈線和拋物線看起來非常相似,相信有很多學生會猜測懸鏈線曲線形狀實際上就是拋物線.但是我們通過程序模擬,可以排除掉懸鏈線是拋物線的可能性.

如圖4,先通過上述方法調整出懸鏈線圖案(實線),然后分別作出過曲線兩端點和極值點(A、B、C3點)的拋物線(虛線).因為3點可以確定一個這樣的拋物線,如果懸鏈線曲線為拋物線,實線和虛線形狀應相近.然而可以發現懸鏈線長度與兩端點距離的比值越大(懸鏈線豎直方向上越長),它的圖像和拋物線差異越大,因此可以排除懸鏈線為拋物線的可能性.

圖4

6 生活中的懸鏈線

進一步,還可以組織學生尋找生活中的懸鏈線并進行自主探索.例如,找到生活中的懸鏈線并拍照.通過測量估算出大致繩長后,輸入到程序中,通過拖動各個節點找到最小勢能曲線,再將曲線與實際情況進行比較.

例如,圖5是一張常見的河邊石墩間鐵鏈的照片.設兩端點距離數值為2,則可以用棉線測出它的對應的長度數值約為17/8.將程序中的長度數值設為17/8,再不斷拖動點,達到勢能最小時,觀察線的形狀.最終可以發現與圖片中懸鏈線形狀相似.

圖5

7 結語

本文主要介紹如何通過計算機模擬的方式,結合最小作用量原理在高中教學中探討懸鏈線問題.利用計算機數值計算的強大能力,將積分轉變為求和,并借助交互式界面這樣一個有趣的方式,彌補高中生現階段數學知識的不足,使高中生對懸鏈線問題和最小作用量原理有較為直觀的理解.

更為重要的是,本論文的嘗試說明了利用計算機模擬的思路在高中學習中將會起到重要作用.鼓勵高中學生在遇到無法憑借自己現有知識解決的問題時,運用信息技術,通過計算機模擬的方式得到近似結果,將有助于學生創新素養的培養.

本文受到復旦大學“步青計劃學術見習課程:物理學中的作用量”課程的支持.