也談自制簡易密度計(jì)的豎直漂浮問題

鄔啟超

(蘇州工業(yè)園區(qū)星灣學(xué)校,江蘇 蘇州 215021)

1 密度計(jì)的穩(wěn)定平衡狀態(tài)

漂浮在水中的物體有兩個(gè)心,重心與浮心,重心是重力的作用點(diǎn),浮心是浮力的作用點(diǎn),浮心的位置就是那部分被排開液體重心的位置,[2]對于密度均勻的浮體,當(dāng)其處在豎直漂浮狀態(tài)時(shí)會有部分露出水面,故重心一定高于浮心,如圖1所示.密度計(jì)屬于非均勻浮體,且質(zhì)量集中在底部,密度計(jì)豎直漂浮時(shí)便存在浮心高于重心的情況,[3]當(dāng)豎直漂浮的密度計(jì)受到擾動時(shí),重力與浮力的力偶矩是恢復(fù)力矩,如圖2所示,因此平衡態(tài)穩(wěn)定.生活中常見的密度計(jì),上段細(xì)且粗細(xì)均勻,中下段稍大呈泡狀,底部裝有小鉛粒或水銀(密度大),這樣可以在滿足精確度的前提下盡量地提高浮心并降低重心,從而讓密度計(jì)能夠穩(wěn)定豎直漂浮.

圖1

圖2

2 密度計(jì)浮心與重心間距與配重的關(guān)系

在實(shí)際制作簡易密度計(jì)時(shí)會發(fā)現(xiàn)當(dāng)密度計(jì)豎直漂浮后繼續(xù)增加配重密度計(jì)會更穩(wěn)定,這是為何呢?我們可以建構(gòu)如圖3所示的模型進(jìn)行說明,假設(shè)密度計(jì)未加配重時(shí)的質(zhì)量為m0,重心(C1)距密度計(jì)底部為h1,加入配重(以細(xì)沙為例)的重心(C2)距密度計(jì)底部為h2,此時(shí)密度計(jì)的總質(zhì)量為M,密度計(jì)的重心距密度計(jì)底部距離可表示為

圖3

(1)

由配重的質(zhì)量與密度以及密度計(jì)的底部半徑可以將h2近似表示成

(2)

將式(2)代入式(1),化簡后得

(3)

若密度計(jì)在水中豎直漂浮,根據(jù)浮力等于重力易得浮心與密度計(jì)底部的距離為

(4)

由于密度計(jì)在液體中漂浮時(shí)(浮力等于重力),必有浮心與重心在同一鉛直線上,否則無法滿足力矩的平衡.式(4)-式(3)得兩心距離為

(5)

因?yàn)楦⌒母哂谥匦臅r(shí)密度計(jì)可以豎直漂浮,可以把浮心等于重心看作是此狀態(tài)的極限情況,令式(5)等于0,解得此時(shí)密度計(jì)的質(zhì)量為

(6)

(7)

由式(7)可知,當(dāng)M≥M1時(shí)L隨M增大是單調(diào)遞增的,因此在密度計(jì)質(zhì)量達(dá)到M1后隨著配重的增加,當(dāng)密度計(jì)受到擾動后恢復(fù)力矩將更大,使得豎直漂浮狀態(tài)更穩(wěn)定.

3 浮心低于重心時(shí)豎直漂浮狀態(tài)的討論

(8)

將式(3)與式(4)代入式(8),使式(8)成立,密度計(jì)質(zhì)量M須滿足

(9)

M2k+2cM-2(a+b)≥0,

(10)

表1

事實(shí)上,對于一個(gè)漂浮體,其穩(wěn)定平衡的充分必要條件是重心與浮心的高度差在浮力等于重力這一限定下取極小值.[3]在實(shí)際制作簡易密度計(jì)時(shí),隨著配重的增加密度計(jì)靜止時(shí)的狀態(tài)逐漸趨于豎直方向,可見,隨著配重質(zhì)量的變化密度計(jì)會通過調(diào)整傾斜角度來實(shí)現(xiàn)極小值的滿足,而極小值趨近于0.