中空玻璃在動荷載作用下的主參數共振分析

潘應桂, 田 水, 谷 倩, 劉治國, 胡 飛, 成 鵬, 彭云濤

(1. 武漢理工大學 土木工程與建筑學院, 武漢 430070; 2. 中建三局集團有限公司工程總承包公司, 武漢 430070)

“中空玻璃”是使用高強度高氣密性復合黏結劑將兩層或多層平板玻璃與內含干燥劑的鋁合金框架黏結而制成的高效能隔音隔熱玻璃。在國家大力聚力節能減排,推動綠色低碳發展,實現碳中和的情況下,中空玻璃由于其隔音、隔熱、防結霜、防潮效果好、抗風壓強度大等優點而在建筑幕墻中被越來越廣泛的應用。

研究中空玻璃的受力變形規律是安全、適用、經濟地利用其性能的基礎,研究成果可以為設計中空玻璃幕墻結構提供依據。為了使中空玻璃在建筑幕墻中更好地應用,國內外學者對中空玻璃進行了一系列研究。龔昌基等[1-3]研究了中空玻璃的空腔內氣體對內、外層玻璃的傳力的影響;吳曉等[4-5]通過對風荷載作用下中空玻璃的非線性性能研究,得出單層玻璃的中面位置只與玻璃的彈性模量、泊松比及厚度有關,同時分析了玻璃雙模量特性對撓度變形的影響;史博等[6-9]采用有限元軟件模擬了荷載形式、邊界條件、玻璃形狀等對玻璃撓度變形的影響;童麗萍等[10-11]等研究了風壓分布及幕墻玻璃的受力性能;Feng等[12-13]研究了索網幕墻中玻璃面板的受力性能及其影響因素;彭震等[14-16]研究了各參數對共振系統的影響;楊志安等[17-18]分析了各因素對矩形板主參數共振的影響;高永毅等[19-21]建立并求解了矩形板的非線性動力學方程,同時分析了矩形板的非線性振動特性。在受到脈動風等動荷載的作用時,玻璃常常會出現抖振、顫振,從而造成玻璃構件的開裂損壞;目前,在動荷載作用下中空玻璃的力學性能研究中,多數研究均只考慮單一因素對玻璃力學性能的影響,沒有綜合考慮空腔氣體體積和空腔氣體壓強變化、玻璃的雙模量特性、大撓度變形時產生的中面拉力、玻璃的阻尼以及慣性力等因素。本工作將綜合考慮空腔氣體體積和空腔氣體壓強變化、玻璃的雙模量特性、大撓度變形時產生的中面拉力、玻璃的阻尼以及慣性力等多因素對動荷載作用下玻璃力學性能的影響,并通過伽遼金方法建立了單片玻璃的動力方程計算公式;采用多尺度法求解,得到了動荷載作用下單片玻璃的幅頻響應方程和相頻響應方程,并通過繪制玻璃的主共振響應曲線,分析不同參數對響應曲線的影響,以期為研究玻璃實際受力性能提供參考數據。

1 矩形玻璃的動力學方程

玻璃、混凝土、石墨、塑料、合金等諸多材料的拉、壓彈性模量不同。對于拉、壓彈性模量不同的雙模量材料,彈性系數不僅依賴于結構材料,還根據結構各點位移或應力狀態的不同而不同,亦即與結構材料、形狀、邊界條件及外載荷有關。玻璃是典型的雙模量材料,在發生彎曲變形時玻璃受拉區與受壓區的彈性模量、泊松比均不相同,因此在計算玻璃的變形和抗彎剛度時需考慮玻璃的雙模量特性,本文通過考慮中空玻璃的空腔氣體體積和空腔氣體壓強變化、玻璃的雙模量特性、大撓度變形時產生的中面拉力、玻璃的阻尼以及慣性力等因素的影響,建立玻璃的動力學方程。

圖1 矩形玻璃模型Fig.1 Rectangular glass model

(1)

圖1中:Nx,Ny為玻璃發生撓度變形時的中面拉力;Fp為中空玻璃空腔氣體壓力;F=qcosωt是橫向均勻分布的簡諧力。在計算玻璃的抗彎剛度時,需要考慮到玻璃的雙模量特性,h1為單片玻璃的受壓區高度;E1、E2分別為玻璃受壓時的彈性模量和受拉時的彈性模量;μ1、μ2分別為玻璃受壓時的泊松比和受拉時的泊松比。

四邊簡支的邊界條件:

為了便于求解矩形玻璃的動力學方程,選取滿足邊界條件的函數

ω(x,y,t)=T(t)W(x,y)

(2)

(3)

中空玻璃內、外層玻璃撓度變形與空腔氣體體積及壓強變化示意圖,如圖2所示。

圖2 中空玻璃變形圖Fig.2 Deformation of insulating glass

通過考慮玻璃的力平衡方程、玻璃撓曲時的幾何變形方程、應力與應變之間的物理方程,推導出內層玻璃的撓度微分方程

(4)

式(4)可以簡化表示為

D?4ω2(x,y)=Fp

(5)

通過求解內層玻璃的撓度微分方程,內層玻璃的撓度表達式為

(6)

式中,ΔP為空腔氣體壓強變化量,玻璃的最大撓度是在中心處,將x=a/2,y=b/2代入式(6)可以求得

上式的級數收斂很快,計算時可以只取m=1和n=1就能夠得到令人滿意的近似值[22]。將式(6)簡化為

(7)

即中空玻璃空腔氣體壓力為

(8)

中面拉力Nx和Ny的表達式為

(9)

(10)

式中,σx和σy為沿玻璃厚度方向均勻分布的正應力[23]。

由Galerkin 原理可得

(11)

將式(2)、式(3)和式(8)代入式(11)積分可得矩形玻璃的動力方程

(12)

2 玻璃的主參數共振研究

(13)

因為阻尼項,非線性項與慣性力項相比是較小項,又由于是研究系統的主共振性能,故在阻尼項,非線性項和外激勵項前冠以小參數ε,則式(13)可化為

(14)

在簡諧力作用下對玻璃結構的主共振研究時為了簡化研究過程,保證研究結果具有一般性,可令

ω=ω0+εσ

(15)

式中,σ為調諧值,采用多尺度法,取兩個時間刻度t0和t1。設主參數共振情況下的一次近似解為

T(t)=T0(t0,t1)+εT1(t0,t1)

(16)

將式(16)代入式(14),與式(15)比較ε同次冪的系數可得

(17)

(18)

式(17)的解是

T0(t0,t1)=A(t1)eit0+cc

(19)

式中,cc為等式右邊函數的共軛復數部分,其中

(20)

將式(19)代入式(18)右端,并消去長期項得

(21)

即得

(22)

將式(20)代入式(22)得

(23)

將式(23)的實部和虛部分離可得

(24)

(25)

(26)

(27)

(28)

(29)

(30)

(31)

式(30)為幅頻響應方程,式(31)為相頻響應方程。

3 計算實例

為了具體分析不同參數對振幅響應曲線的影響,應用幅頻響應方程繪制出玻璃主共振響應的曲線。現取玻璃的參數為:玻璃邊長a=b=1.5 m,h=0.006 m,μ=0.2,E=7.2×1010Pa,ρ=2.5×103kg/m3,c=0.1,Fp=500 N/m2,q=1 000 N/m2。采用控制變量法,分別以阻尼系數、玻璃邊長、玻璃厚度等因素為變量,研究其對玻璃主共振的影響。

阻尼系數是影響結構共振的重要參數之一,為了研究阻尼系數對振幅的影響,繪制振幅與阻尼系數的關系,如圖3所示。從圖3 可以看出,在不同阻尼系數幅頻響應曲線中,隨著阻尼系數的增大,曲線中振幅的峰值變小;調諧值σ從0增加至2時,振幅減小速度較快;調諧值σ大于2后,隨著σ的增加,振幅依舊減小,但其減小速度較為平緩。在同一外荷載作用下,隨著阻尼系數的增大,振幅的數值隨之減小;隨著外荷載的增大,振幅也隨之增大,如圖4所示。

圖3 不同阻尼系數幅頻響應Fig.3 Amplitude-frequency response of different damping coefficients

圖4 不同阻尼系數力幅響應σ=0Fig.4 Force amplitude response of different damping coefficients

為了驗算玻璃邊長對振幅的影響,繪制不同玻璃邊長的幅頻響應曲線,如圖5和圖6所示。從圖5和圖6可以看出,隨著玻璃邊長的增大,振幅隨之減小,說明了玻璃的邊長在一定程度上影響結構的共振特性。

圖5 不同玻璃邊長幅頻響應Fig.5 Amplitude-frequency response of different glass edge lengths

圖6 不同玻璃邊長力幅響應σ=0Fig.6 Force amplitude response of different glass edge lengths

圖7和圖8是驗算玻璃厚度對振幅的影響,分析圖7可知,隨著玻璃厚度的增加,振幅隨之減小;如圖8所示,三種不同玻璃厚度的力頻響應曲線近似疊合成一條,其原因是玻璃厚度對振幅的影響相對于玻璃的邊長、阻尼等參數為較小值。綜合分析圖7和圖8可知,玻璃的厚度對共振特性有一定的影響,但其影響不大,當同時考慮玻璃的邊長、阻尼系數等參數時,可以忽略玻璃厚度對振幅的影響。

圖7 不同玻璃厚度幅頻響應Fig.7 Amplitude-frequency response of different glass thickness

圖8 不同玻璃厚度力幅響應σ=0Fig.8 Force amplitude response of different glass thickness

為了綜合考慮阻尼系數與玻璃厚度對振幅的影響,繪制了不同阻尼系數下的玻璃厚度與振幅關系曲線,如圖9所示。分析圖9可知,與阻尼系數相比,玻璃厚度對振幅的影響較小,可忽略不計。另一方面,為了更好的反映阻尼系數與玻璃邊長對振幅的影響,同時改變阻尼系數與玻璃邊長的大小,振幅的變化趨勢如圖10所示;對圖10進行分析可知,隨著玻璃邊長的增加,不同阻尼系數對應的振幅曲線的變化趨勢基本一致,同時可以看出隨著阻尼系數的增加以及玻璃邊長的增加,振幅在持續減小,這與圖3和圖5所得出的結論相一致。

圖9 不同阻尼系數玻璃厚度與振幅關系σ=0Fig.9 Relationship between glass thickness and amplitude with different damping coefficients

圖10 不同阻尼系數玻璃邊長與振幅關系σ=0Fig.10 Relationship between edge length and amplitude of glass with different damping coefficients

圖11繪制了調諧值σ與相位角β的關系,隨著調諧值σ的增大,相位角β的絕對值會相應的減小,調諧值σ從0增加至1的過程中,相位角β的絕對值減少速度較快;當調諧值σ大于1以后,相位角β的絕對值的減小速度逐漸平緩。

圖11 調諧值σ與相位角的關系Fig.11 The relationship between the tuning value σ and the phase angle

為了量化各因素對動力響應的影響程度,假設調諧值σ=0.1,現采用控制變量法對各個影響因素分別增加100%、200%、300%,并求出相應的振幅變化量,如表1所示。

表1 各因素對振幅的影響分析Tab.1 Analysis of influence of various factors on amplitude

為了更加直觀地展示各影響因素對動力響應的影響程度,并比較不同影響因素對玻璃動力響應影響程度,繪制出不同因素對振幅的影響對比圖,如圖12所示。

圖12 各因素對振幅的影響Fig.12 Influence of various factors on amplitude

由圖12可知,在各影響因素增加占比相同時,阻尼系數對振幅的影響小于板邊長、板厚度對振幅的影響;板邊長和板厚度對振幅的影響較為接近;隨著三種影響因素的增大,振幅減少量也隨之增加。

4 結 論

(1) 本文在推導矩形玻璃動力學方程時,綜合考慮了空腔氣體體積和空腔氣體壓強變化、玻璃的雙模量特性、大撓度變形時產生的中面拉力、玻璃的阻尼以及慣性力等因素對玻璃受力性能的影響,同時采用伽遼金原理求解了矩形玻璃的動力學方程。

(2) 在研究玻璃的主共振性能時,本文采用了多尺度法建立了振幅a和相位角β的表達式。

(3) 隨著阻尼系數、玻璃板邊長、玻璃板厚度的增大,振幅的峰值均減小;說明阻尼系數、玻璃板邊長、玻璃板厚在一定程度上影響結構的共振特性。

(4) 玻璃板邊長和板厚度的增大占比相同時,兩者的振幅減小占比皆增大,并且較為接近。

(5) 在工程實際中,相對于改變玻璃的阻尼系數,對玻璃的板邊長和板厚度進行改變更方便且效果更佳,當邊長或者板厚增加一倍時,玻璃的振幅便會減小一半。