基于相對熵和二元熵的多粒度直覺語言TODIM決策方法

郭奉佳　高建偉　陳煒

摘 要：針對評估信息為多粒度直覺語言集的決策問題，提出一種基于相對熵和二元熵的TODIM方法。該方法首先定義了直覺語言數的相對熵和二元熵，以度量決策信息的差異和不確定性；其次，構建了基于相對熵和二元熵的專家賦權模型，并建立了主觀權重完全已知、部分已知和完全未知場景下的屬性賦權模型；最后，為集結多粒度群體決策信息，提出了多粒度直覺語言加權算術平均（MIL-WAA）算子。算例分析表明，該方法能夠較好地度量決策信息的不確定性和差異性，并考慮了決策者的有限理性行為，具有一定的合理性和有效性。

關鍵詞：多屬性決策； 直覺語言集； 賦權模型； 相對熵； 二元熵

中圖分類號：C934 文獻標志碼：A 文章編號：1001-3695（2023）10-009-2939-06

doi：10.19734/j.issn.1001-3695.2023.02.0059

Multi-granular intuitionistic linguistic TODIM method based on

relative entropy and binary entropy

Guo Fengjia1， Gao Jianwei2， Chen Wei1

（1.School of Management & Engineering， Capital University of Economics & Business， Beijing 100070， China; 2.School of Economics & Mana-gement， North China Electric Power University， Beijing 102206， China）

Abstract：To solve the decision problem in which the evaluations are multi-granular intuitionistic linguistic sets， this paper proposed a TODIM method based on relative entropy and binary entropy. Firstly， this method defined relative entropy and binary entropy of the intuitionistic linguistic sets to measure the difference and uncertainty of decision information. Secondly， it built an expert weighting model on the basis of relative entropy and binary entropy， and proposed attribute weighting models under the scenarios where the subjective weight was completely known， partially known and completely unknown. Finally， in order to gather the information of multi-granularity group decision information， this paper developed a multi-granular intuitio-nistic linguistic weighted arithmetic average （MIL-WAA） operator. The example analysis shows that this method can better measure the uncertainty and difference of decision information， and it considers the limited rationality behavior of decision-makers， so it is reasonable and effective.

Key words：multi-attribute decision-making; intuitionistic linguistic set; weighting model; relative entropy; binary entropy

0 引言

鑒于決策環境的復雜性和人類思維的模糊性，決策者傾向于采用“好”“一般”“差”等定性語言表述評估信息。Zadeh［1］首次定義了語言術語集以描述定性信息；Xu等人［2］提出了虛擬語言術語集，將離散的語言術語集拓展為連續形式。為合理量化語言術語集，同時避免決策信息的丟失和扭曲，Herrera等人［3］給出了二元語義變量。然而，語言術語集和二元語義變量僅反映了決策者的語義評估，未能體現決策者對自身評估的把握程度。為此，王堅強等人［4］定義了直覺語言集的概念，即在語言術語集的基礎上增加了決策者對該語義評估的支持度、反對度和猶豫度。采用直覺語言集描述專家評估信息，既可表述語義評估值又可反映決策者對該語義評估的信心水平和猶豫程度，實現決策者不確定評估的細致表述。直覺語言集以其良好的信息表征特質，被應用于廠址優選、風險評估和投資選擇等多屬性決策問題中［5］。

目前，針對直覺語言集的多屬性決策方法已引起國內外學者的廣泛關注，現有方法主要包括間接排序模型、直覺語言集結算子和直接排序模型三類。間接排序模型將直覺語言集轉換為精確數或數值型模糊集，借助其決策方法實現方案的排序優選。例如劉寧元［6］將直覺語言評估信息轉換為區間數，結合區間可能度函數提出直覺語言PROMETHEE決策方法；Gao等人［7］借助記分函數將直覺語言集轉換為精確數，進而確定方案排序。間接排序模型具有計算簡單的優勢，但信息轉換時存在原始信息的缺失和扭曲。直覺語言集結算子直接集成多維決策信息以獲取備選方案的綜合效益值。例如Wang等人［8］構建直覺語言集的有序加權幾何算子和混合幾何算子，據此集結多屬性決策信息；楊藝等人［9］定義了帶參數的Hamacher直覺語言算子，進而提出基于信息集結算子的多屬性決策方法。基于集結算子的排序模型無須對原始信息進行轉換，可有效避免原始信息的扭曲，然而該類方法通常基于期望效用理論，忽略了決策者的有限理性行為。直接排序模型借助直覺語言集的距離測度實現了方案的排序優選。例如高建偉等人［10］定義了直覺語言集的R-距離公式，進而提出基于累積前景理論的多屬性決策方法；劉寧元［11］利用直覺語言集的距離測度提出了直覺語言TODIM方法。直接排序法既可刻畫決策者的風險偏好態度，又可避免轉換過程中的信息扭曲，可有效提高決策結果的合理性。

值得注意的是，直覺語言距離測度是直接排序模型的核心，然而，現有直覺語言集距離公式的測算精度仍有待提高。一方面，專家在實際決策評估時可能會選擇不同粒度的語言術語集，而現有直覺語言距離公式無法度量多粒度直覺語言信息之間的差異；另一方面，現有距離公式通常將直覺語言集中包含的元素進行集成運算，未能合理度量各個元素的偏差。例如，文獻［4］所提距離公式未考慮直覺語言集的猶豫度偏差；文獻［10］將語言術語的下標與相對隸屬度的乘積視為一個整體，據此度量直覺語言數之間的差異，當語言術語的下標與相對隸屬度的乘積相同，而兩個直覺語言數所含語言術語、隸屬度和非隸屬度存在偏差時，該公式無法度量其差異。此外，權系數的取值對決策結果至關重要。在專家賦權方面，現有方法可歸納為兩類：a）利用個體決策矩陣與理想決策矩陣或其他個體決策矩陣的差異度確定專家重要度［12］；b）根據個體評估矩陣的不確定程度確定決策者在方案評估時的把握程度［13］。目前尚未有學者結合差異度和不確定度來研究多粒度直覺語言環境下的專家賦權模型。屬性權重的確定方法主要分為主觀、客觀和組合賦權法三類［14］，其中組合賦權法綜合了主、客觀因素，可有效提高權重確定的合理性。然而，組合賦權法通常采用簡單的加權平均或幾何平均的方式對主客觀因素進行組合處理，當主觀權重信息部分已知或完全未知時，該類模型失效。

針對以上問題，本文首先定義直覺語言集的相對熵測度，以度量多粒度直覺語言集之間的差異，該相對熵可綜合反映直覺語言集中語言評估值、隸屬度、非隸屬度和猶豫度的差異，有效提高現有距離公式的測算精度；針對專家賦權問題，定義直覺語言集的模糊熵及猶豫熵（二元熵），以量化評估信息的不確定性；進而結合二元熵和相對熵確定決策者的重要度，該賦權方法綜合考慮了直覺語言信息的差異度和不確定度。針對屬性賦權問題，分別建立了主觀權重完全已知、部分已知和完全未知情景下的優化模型，然后結合專家賦權模型、屬性賦權模型和多粒度直覺語言加權平均（MIL-WAA）算子提出多粒度直覺語言環境下的TODIM群體決策方法。最后將該方法應用于企業的投資決策中，驗證了該方法的合理性和有效性。

1 預備知識

1.1 直覺語言集的基本概念

3 算例分析

某投資公司準備對六個方案進行擇優投資，該公司采用經濟收益C1、社會效益C2、環境影響C3、資源條件C4、可持續效益C5和風險因素C6六個屬性對各投資方案進行評估。決策者對于屬性權重的主觀偏好W={0.3，0.1，0.2，0.25，0.1，0.15}，試確定投資公司的最佳選擇。專家1和3采用7標度語言術語集{h0（很差），h1（差），h2（較差），h3（一般），h4（較好），h5（好），h6（很好）}給出決策矩陣1和3，專家2采用5標度語言術語集{h0（很差），h1（差），h2（一般），h3（好），h4（很好）}給出決策矩陣2。決策矩陣如表1～3所示。

a）計算決策者權重。利用式（7）計算方案評估值的模糊熵、式（10）計算猶豫熵、式（17）計算二元熵；利用式（4）計算方案間的對稱相對熵。根據式（18）計算決策者權重λ1=0.35，λ1=0.26，λ1=0.39。

b）集結群體決策信息。利用MIL-WAA算子集結多粒度直覺語言評估矩陣，得到7粒度群體決策矩陣如表4所示。

c）本算例中，主觀屬性權重完全已知，利用式（19）（令φ1=φ2=0.5）得到屬性權重為w={0.221 5，0.079 6，0.279 1，0.198 9，0.054 3，0.166 6}。

d）計算指標Cj相對于指標C+j的相對權重Rj={0.793 8，0.285 2，1.000 0，0.712 8，0.194 7，0.597 0}。

e）令θ的取值為1［11］，計算方案Ai相對于Al的優勢度。

f）計算總體優勢度。計算方案Ai的總體優勢度Z（A1）=－0.28，Z（A2）=－4.47，Z（A3）=0.22，Z（A4）=－1.85，Z（A5）=－0.28，Z（A6）=－0.71。

g）計算方案排序值。計算方案的排序值S（A1）=0.89，S（A2）=0.00，S（A3）=1.00，S（A4）=0.56，S（A5）=0.89，S（A6）=0.80。據此對備選方案排序為A3>A1>A5>A6>A4>A2，因此，公司選取A3為最優投資方案。

為驗證所提決策方法的合理性和優越性，本文采用直覺語言加權平均算子［4］、直覺語言PROMETHEE方法［6］以及直覺語言TODIM方法［11］對本算例進行求解。因為上述方法均未涉及多粒度群體信息的集結，所以令群體決策信息為輸入矩陣；此外，為保證決策結果的可比性，令指標權重為w={0.221 5，0.079 6，0.279 1，0.198 9，0.054 3，0.166 6}。方案優選結果如表5所示。

由表5可知，本文方法所得計算結果與利用直覺語言TODIM方法計算所得決策結果一致，但是，當利用文獻［4］中的集結算子和記分函數計算該算例時，方案A4的排序結果與其他兩種方法的排序不一致。此外，利用PROMETHEE方法無法計算本算例的排序結果，具體分析如下：

a）文獻［4］基于集結算子和記分函數的決策方法認為方案A4為最優決策方案。由表4專家決策信息可知，方案A4在屬性C1、C3、C4和C6下具有最優的表現值，而在屬性C2和C5下的表現最差，若決策者完全理性，方案A4在C1、C3、C4和C6方面的優勢可以彌補其在C2和C5方面的不足，因此，A4為最優決策方案。但是，該方法未考慮決策者的風險厭惡心理和損失規避態度，在實際決策中，A3在屬性C2和C5下具有最優的表現值，同時在屬性C1、C3、C4和C6下的表現處于中上水平，此時，決策者更偏向于選擇方案A3來規避風險。本文提出的基于熵和二元熵的改進TODIM方法和文獻［11］均有效度量了決策者的心理偏好行為，認為方案A3為最優方案。

b）直覺語言PROMETHEE方法首先將直覺語言數轉換為區間數，并據此展開運算，然而當直覺語言數的猶豫度為0時，直覺語言數轉變為實數，此時該方法在度量直覺語言數距離時失效。本文定義了基于直覺語言對稱相對熵的距離測度，該測度可全面量化兩個直覺語言數在語義值、隸屬度、非隸屬度以及猶豫度方面的偏差。

c）本文分別針對主觀屬性權重完全已知、部分已知和完全未知場景構建了優化賦權模型，而文獻［4，6，11］中的決策方法直接給出了屬性權重，但未給出科學的賦權模型，當屬性權重未知時，決策模型失效。本文決策方法的適用范圍更廣。

d）本文考慮了屬性值為多粒度直覺語言數的決策問題，而文獻［4，6，11］均未考慮不同決策矩陣的評估粒度應有所不同。

4 結束語

本文提出了一種基于相對熵和二元熵的多粒度直覺語言TODIM群決策方法。為提高直覺語言信息測度的有效性，該方法首先定義了直覺語言數的對稱相對熵，該公式度量了兩個直覺語言集包含的語義值、隸屬度、非隸屬度和猶豫度之間的偏差，具有良好的測算精度，可有效解決現有距離測度在度量信息差異時出現的計算失準現象；其次，給出了直覺語言數的二元熵，模糊熵可以度量語義評估的模糊程度，猶豫熵可以刻畫決策者對該語義評估的猶豫程度，二元熵結合了模糊熵與猶豫熵，可全面量化決策信息的不確定性。針對賦權問題，結合相對熵和二元熵構建了計及信息差異性和不確定性的專家賦權模型；同時建立了主觀權重完全已知、部分已知、完全未知場景下的屬性賦權模型，所建模型綜合考慮了主、客觀因素，可有效提高權重計算的合理性。最后，為集結多粒度直覺語言決策矩陣，定義了多粒度直覺語言加權算術平均（MIL-WAA）算子，結合集結算子和賦權模型，給出了直覺語言TODIM群決策方法，該方法有效刻畫了決策者的有限理性行為特征。此外，鑒于群體決策規模的日益擴張，在未來的研究中將針對多粒度直覺語言環境下的大規模群體信息聚類共識展開分析。

參考文獻：

[1]Zadeh L A. The concept of a linguistic variable and its applications to approximate reasoning［J］.Information Sciences，1975，8（3）：199-249.

［2]Xu Zeshui， Wang Hai. On the syntax and semantics of virtual linguistic terms for information fusion in decision making［J］.Information Fusion，2017，34（2）：43-48.

［3]Herrera F， Martinez L. A 2-tuple fuzzy linguistic representation mo-del for computing with words［J］.IEEE Trans on Fuzzy Systems，2000，8（6）：746-752.

［4]王堅強，李寒波.基于直覺語言集結算子的多準則決策方法［J］.控制與決策，2010，25（10）：1571-1574，1584.（Wang Jianqiang， Li Hanbo. Multi-criteria decision-making method based on aggregation operators for intuitionistic linguistic fuzzy numbers［J］.Control and Decision，2010，25（10）：1571-1574，1584.）

［5]Gao Jianwei， Guo Fengjia， Ma Zeyang， et al. Multi-criteria decision-making framework for large-scale rooftop photovoltaic project site selection based on intuitionistic fuzzy sets［J］.Applied Soft Computing，2021，102（4）：107098.

［6]劉寧元.基于PROMETHEE方法的直覺語言多屬性群決策方法［J］.統計與決策，2019，35（2）：49-53.（Liu Ningyuan. Intuitionistic linguistic multi-attribute group decision-making method based on PROMETHEE method［J］.Statistics and Decision，2019，35（2）：49-53.）

［7]Gao Jianwei， Guo Fengjia， Ma Zeyang， et al. Multi-criteria group decision-making framework for offshore wind farm site selection based on the intuitionistic linguistic aggregation operators［J］.Energy，2020，204（8）：117899.

［8]Wang Xinfan， Wang Jianqiang， Deng Shengyue. Some geometric opera-tors for aggregating intuitionistic linguistic information［J］.International Journal of Fuzzy Systems，2015，17（2）：268-278.

［9]楊藝，李延來，丁恒，等.直覺語言Hamacher加權集結算子及其應用［J］.運籌與管理，2021，30（1）：87-93.（Yang Yi， Li Yanlai， Ding Heng， et al. Intuitionistic linguistic Hamacher weighted aggregation operators and their application［J］.Operations Research and Management Science，2021，30（1）：87-93.）

［10]高建偉，劉慧暉.基于累積前景理論的直覺語言風險型多屬性決策方法［J］.數學的實踐與認識，2016，46（23）：57-65.（Gao Jianwei， Liu Huihui. Intuitionistic linguistic risky multiple attribute decision making method based on cumulative prospect theory［J］.Mathematics in Practice and Theory，2016，46（23）：57-65.）

［11]劉寧元.考慮決策者心理行為的直覺語言多屬性決策方法［J］.運籌與管理，2019，28（7）：11-16.（Liu Ningyuan. Multiple attribute decision-making method of intuitionistic linguistic considering psychological behavior of decision-maker［J］.Operations Research and Management Science，2019，28（7）：11-16.）

［12]劉久兵，彭莉莎，李華雄，等.考慮權重信息未知的區間直覺模糊三支群決策方法［J］.運籌與管理，2022，31（7）：50-57.（Liu Jiu-bing， Peng Lisha， Li Huaxiong， et al. Interval-valued intuitionistic fuzzy three-way group decisions considering the unknown weight information［J］.Operations Research and Management Science，2022，31（7）：50-57.）

［13]馬珍珍，朱建軍，張世濤，等.面向猶豫模糊語言信息的大型群體分類集結模型［J］.控制與決策，2019，34（1）：167-179.（Ma Zhenzhen， Zhu Jianjun， Zhang Shitao， et al. Classification-based aggregation model on large scale group decision making with hesitant fuzzy linguistic information［J］.Control and Decision，2019，34（1）：167-179.）

［14]肖勇，徐俊.基于組合賦權與TOPSIS的儲能電站電池安全運行風險評價［J］.儲能科學與技術，2022，11（8）：2574-2584.（Xiao Yong， Xu Jun. Risk assessment of battery safe operation in energy storage power station based on combination weighting and TOPSIS［J］.Energy Storage Science and Technology，2022，11（8）：2574-2584.）

［15]王堅強，王佩.基于直覺模糊熵的直覺語言多準則決策方法［J］.控制與決策，2012，27（11）：1694-1698.（Wang Jianqiang， Wang Pei. Intuitionistic linguistic fuzzy multi-criteria decision-making method based on intuitionistic fuzzy entropy［J］.Control and Decision，2012，27（11）：1694-1698.）

［16]高建偉，李響珍.基于概率語言術語信息的前景決策方法［J］.計算機應用研究，2021，38（7）：1973-1978.（Gao Jianwei， Li Xiangzhen. Prospective decision-making method based on probabilistic language terminology［J］.Application Research of Computers，2021，38（7）：1973-1978.）

［17]Ahn B S. Extreme point-based multi-attribute decision analysis with incomplete information［J］.European Journal of Operational Research，2015，240（3）：748-755.

收稿日期：2023-02-16；修回日期：2023-04-10

基金項目：國家自然科學基金資助項目（72071134，72071076）；北京市屬高校高水平科研創新團隊建設支持計劃資助項目（BPHR20220120）

作者簡介：郭奉佳（1996-），女，山東臨沂人，講師，博士，CCF會員，主要研究方向為系統優化與決策；高建偉（1972-），男，河北無極人，教授，博導，博士，主要研究方向為新能源電力與低碳發展、系統優化與決策；陳煒（1975-），男（通信作者），寧夏固原人，教授，博導，博士，主要研究方向為量化金融與風險管理（chenwei@cueb.edu.cn）.