基于Prim-DMGA算法的閉環供應鏈網絡魯棒優化研究

孫軍艷　陳澤飛　陳智瑞　李曉朋

摘 要：針對不確定環境下的閉環供應鏈網絡優化問題，在需求不確定及設施中斷風險的條件下，基于魯棒對等優化方法建立了一種以閉環供應鏈網絡總成本最小為目標的魯棒優化模型，以解決供應鏈網絡中的不確定性問題，并提出了Prim-DMGA。首先基于Prim算法得到高質量的初始種群，其次讓路徑規劃方案和設施選址方案在兩層自適應GA的不斷反饋中達到最優。實驗結果表明，Prim-DMGA得到的目標函數值優于單層Prim-MGA與傳統GA，且在求解大規模算例時，求解結果優于CPLEX軟件。研究結論表明，Prim-DMGA能以較少的計算時間獲得質量更優的解，魯棒優化模型可以有效減少不確定因素帶來的不利影響，提高閉環供應鏈網絡的魯棒性能。

關鍵詞：閉環供應鏈網絡； 需求不確定； 設施中斷風險； 魯棒優化； Prim-DMGA算法

中圖分類號：TP302 文獻標志碼：A 文章編號：1001-3695（2023）10-016-2984-09

doi：10.19734/j.issn.1001-3695.2023.02.0087

Robust optimization of closed-loop supply chain network based on Prim-DMGA algorithm

Sun Junyan， Chen Zefei， Chen Zhirui， Li Xiaopeng

（School of Mechanical & Electrical Engineering， Shaanxi University of Science & Technology， Xian 710021， China）

Abstract：This paper proposed a robust peer-to-peer optimization method in the context of uncertain environments to address the uncertainty in closed-loop supply chain networks while considering demand uncertainty and facility disruption risk. This paper formulated a robust optimization model to minimize the total cost of the closed-loop supply chain network. Additionally， this paper proposed a Prim-DMGA that firstly identified high-quality initial solutions using the Prim algorithm and then optimized the routing and facility selection solutions in a two-layer adaptive GA feedback loop. The experimental results demonstrate that the Prim-DMGA generates better objective function values than the single-layer Prim-MGA and traditional GA with less computational time. Further， the results obtained from the algorithm are superior to those obtained by using the CPLEX software in solving large-scale scenarios. It concludes that the proposed robust optimization model effectively reduces the adverse effects caused by uncertainty and improves the robustness of closed-loop supply chain networks. Moreover， the Prim-DMGA generates better solutions with less computational time.

Key words：closed-loop supply chain network; demand uncertainty; facilities disruption risk; robust optimization; Prim-DMGA

0 引言

近年來，隨著全球化進程的不斷推進，企業面臨的競爭越來越激烈，不僅要面臨復雜多變的市場競爭環境和社會環境，還要面臨無法預知的不確定風險與挑戰。因此，研究不確定環境下的閉環供應鏈網絡的魯棒性能，對于提高供應鏈應對不確定風險的能力、降低運作成本、增強環境友好性具有一定的理論和實際意義。

國內外學者對于不確定環境下的閉環供應鏈網絡的研究方向多集中在成本、價格、需求等運營過程中參數不確定方面。Azizi等人［1］考慮需求及利潤的不確定性，針對逆向物流網絡優化問題建立了兩階段隨機規劃模型。Goodarzian等人［2］考慮設計參數中設施建設、運輸、庫存持有成本的不確定性，針對藥品供應鏈網絡問題建立了雙目標混合整數模糊規劃模型。Yu等人［3］考慮了客戶需求、退貨率和退貨品質量的不確定因素，針對選址問題建立了模糊隨機多目標優化模型。Pudasaini［4］基于需求不確定的供應鏈網絡優化問題，以運輸成本及產品損失成本最小，為目標建立了多目標兩階段隨機規劃模型。You等人［5］在考慮需求和運費不確定的情況下，建立以總成本最小為目標的兩階段隨機規劃模型。Peidro等人［6］采用三角模糊數描述需求、成本和供應的不確定性，建立以采購、庫存、運輸成本最小為目標的混合整數模糊規劃模型。以上研究在考慮供應鏈網絡中的不確定因素上，只考慮運營過程中參數的不確定，而忽略了突發事件的不確定性對供應鏈網絡的影響。

部分學者在考慮供應鏈網絡運營過程中參數不確定時，同時考慮了供應鏈網絡中突發事件的不確定性因素。Tolooie等人［7］考慮了客戶需求不確定與設施中斷的影響，建立了兩階段隨機混合整數規劃模型。Vali-Siar等人［8］針對設施中斷風險和成本不確定性的供應鏈網絡問題，利用模糊隨機規劃方法建立了多目標的模糊隨機混合規劃模型。Yin等人［9］采用情景法描述不確定需求與中斷情景，設計了總成本最小的兩階段隨機優化模型。王振等人［10］針對閉環物流網絡中需求和回收品質量不確定問題以及供應中斷的影響，建立了總成本最小的模糊機會約束模型。狄衛民等人［11］考慮兩級設施中斷與需求不確定的情況，建立總成本最小化的隨機規劃模型。以上學者在考慮供應鏈網絡中的不確定因素上，同時考慮了運營過程中參數的不確定和突發事件的不確定性對供應鏈網絡的影響，但是他們在供應鏈優化問題中，采用隨機規劃、模糊規劃方法來解決供應鏈網絡中的不確定性問題，仍具有一定的局限性。

魯棒優化的核心思想是求得所有參數在最壞情形下的最優解，用集合的形式對不確定參數進行描述，不增加問題求解的復雜性。Bertsimas等人［12］針對不確定環境下的閉環供應鏈網絡優化問題，在2004年提出了一種新的魯棒優化方法，即每個不確定參數只需簡單用一個具體區間來表示，且可以通過最小最大方法來保證解的可行性，該方法被廣泛應用于不確定問題的優化研究中。于冬梅等人［13］采用文獻［12］的魯棒優化方法，建立以最小設施選址及運輸成本為目標的魯棒優化模型，并采用蝙蝠算法求解。Gholizadeh等人［14］以網絡總利潤最大為優化目標，構建需求不確定的情景魯棒優化模型，結果表明該模型可以有效地應對需求和供應不確定性對網絡的影響。Attia［15］采用情景法描述石油市場需求及價格的不確定性，建立石油供應鏈網絡魯棒優化模型，結果表明，與確定性、隨機規劃以及基于風險的建模方法相比，魯棒優化模型能源消耗率較高、成本較低。邱若臻等人［16］建立以供應鏈績效最大為目標的魯棒優化模型，數值仿真驗證模型在需求和成本的擾動下仍表現出良好的魯棒性。董海等人［17］采用多面體魯棒優化方法設計多目標魯棒優化模型，其結果表明，多面體魯棒優化模型能有效降低不確定因素帶來的不利影響。

不確定供應鏈網絡優化問題需要考慮的變量及約束條件較多，已被證明為NP-hard問題。目前該領域的最新研究多采用智能算法來求解此類問題。尉遲群麗等人［18］采用改進的禁忌搜索算法求解構建的集成優化模型，結果表明，改進的禁忌搜索算法在可接受的時間內得到的解質量更高。Abbassi等人［19］提出一種可變鄰域搜索啟發法改進多目標粒子群算法，可以在較短的時間內得出最優的設施布局及路徑規劃方案。Liao等人［20］分別采用遺傳模擬退火算法、遺傳算法、模擬退火算法求解，算例表明混合算法展現了更好的求解效果。Tirkolaee等人［21］設計一種多目標灰狼算法來求解多目標優化模型，結果表明多目標灰狼算法解的質量優于非支配排序遺傳算法2%。Li等人［22］利用差分進化算法改進NSGA-Ⅱ變異算子，增加種群多樣性與全局搜索性，實驗表明改進算法提高了個體分布的均勻性。遺傳算法（genetic algorithms，GA）是通過數學仿真模擬生物遺傳學中自然進化的過程來尋找問題最優解的方法，被廣泛用于求解供應鏈網絡優化問題中。但傳統GA普遍采用隨機結構進行初始化種群選擇，導致了選擇種群極有可能不符合約束條件，從而降低種群質量與收斂速度。因此可將遺傳算法與其他算法或理念相結合，以提高該算法的種群質量與收斂速度。

通過對上述文獻的梳理發現，在不確定因素的考慮上，同時考慮運營過程中參數的不確定和突發事件不確定性的文獻較少，且大多數學者只考慮宏觀選址問題，微觀層面的路徑規劃、流量分配等問題很少考慮；并且在模型求解方面，多數學者采用的傳統啟發式算法存在效率較低的問題。面對越來越復雜的市場環境，消費終端需求面臨著極大的不確定性，本文將考慮閉環供應鏈網絡消費終端需求量與退貨量的不確定性與設施中斷的影響，對閉環供應鏈網絡設施選址、路徑規劃、物流量分配等問題進行集成優化研究。利用文獻［12］的魯棒優化方法處理不確定性因素，構建供應鏈網絡總成本最小的魯棒優化模型，針對傳統遺傳算法在選擇種群過程中極有可能降低種群質量，使得算法陷入局部最優且過早收斂的情況，設計了Prim-DMGA求解模型，以提升供應鏈網絡應對風險的能力，實現供應鏈網絡降本增效，魯棒性、經濟效益的綜合提升。

1 模型建立

1.1 問題描述

本文將研究由多個候選制造中心、多個候選配送中心、若干客戶需求點組成的閉環供應鏈網絡系統，如圖1所示。其供應鏈網絡運行如下：首先，產品由制造中心運至多個配送中心，再由配送中心運往各客戶需求點；當客戶提出退換貨需求時，不滿意的產品被退回并交由配送中心進行檢查處理，再將需要返回制造中心的部分產品運至制造中心進行維修或再加工。其中，客戶點的需求量與退貨量處于不確定性的狀態，且考慮制造中心的設施中斷風險。

1.2 模型假設

a）客戶需求為單一品種的產品。

b）候選制造中心、配送中心位置已知，且擁有足夠的運輸能力。

c）制造中心發生中斷的概率不確定且相互獨立，中斷發生后制造中心剩余一定的生產能力，配送中心不存在中斷風險。

d）客戶位置已知，每個客戶僅由一個配送中心為其服務；在為客戶需求點提供正向配送服務的同時兼顧逆向收集退換貨產品的服務。

e）退換貨產品無質量缺陷，配送中心檢查再包裝后可重新進行銷售。

1.3 符號說明

1） 集合說明

I為候選制造中心集合，i∈I；J為候選配送中心集合，j∈J；K為需求點集合，k∈K；S為制造中心設施中斷情景集合，s∈S。

2）參數定義

Fi為制造中心i的建設成本；MFi為制造中心i每單位產品的生產成本；TCij為制造中心i到配送中心j的單位產品運輸成本；αi為制造中心i的狀態參數，制造中心i非中斷狀態工作為1，否則為0；pi為制造中心i發生設施中斷的概率；bi為制造中心i中斷發生后剩余產能補給能力的比例；Cmaxi為制造中心i的產能上限；disij為制造中心i到配送中心j的距離；disjk為配送中心j到客戶需求點k的距離；Fj為配送中心j的建設成本；NFj為配送中心j每單位產品正向處理成本；VFj為配送中心j每單位產品的回收處理成本；TCjk為配送中心j到需求點k的單位運輸成本；Cmaxj為配送中心j的產品處理能力上限；Cmaxjv為配送中心j的回收處理能力上限；dk為客戶需求點k實際的市場需求量；ek為客戶需求點k實際的退貨產品數量。

3）決策變量

Vsij為情景s下制造中心i向配送中心j供應的產品數量;Vjk為配送中心j給客戶k配送的產品數量;Zjk為配送中心j回收客戶k的產品數量。

1.4 基本模型構建

以供應鏈網絡總成本最小為目標，包括設施建設的固定成本、產品制造成本、產品正向處理成本和回收處理成本及產品運輸成本。因此，目標函數可以表示為

式（2）中，第一項表示制造中心i固定建設成本；第二項表示配送中心j建設固定成本。式（3）表示情景s下制造中心i的產品制造成本。式（4）第一項表示配送中心j對產品的正向處理成本，包括產品的分撥、裝箱成本；第二項表示配送中心j對產品的回收處理成本。式（5）中，第一項為制造中心i到配送中心j正向物流的運輸成本，第二項為配送中心j到需求點k正向物流的產品運輸成本，第三項表示需求點k到配送中心j逆向物流的產品運輸成本。

式（6）代表只有選擇建設的制造中心才向配送中心提供服務，式（7）代表只有選擇建設的配送中心才向客戶需求點提供服務；式（8）～（11）為網絡物流平衡約束，式（8）代表制造中心供給配送中心的產品數量等于配送中心供給客戶點的產品數量；式（9）（10）代表市場需求量與退貨量全部被滿足；式（11）代表配送中心回收客戶點的產品數量都是其供給數量的一部分；式（12）～（14）為設施能力約束；式（12）代表制造中心供應產品數量不超過其生產能力上限；式（13）代表配送中心供應產品數量不超過其最大容量；式（14）代表配送中心回收產品數量不超過其最大服務能力；式（15）～（17）為車輛路徑規劃約束；式（15）（16）代表每個客戶僅由一個配送中心為其服務；式（17）代表每個配送中心僅服務分配給該設施的客戶；式（18）～（25）為決策變量約束。

2 不確定參數處理

2.1 不確定需求量與退貨量處理

對于式（9）（10）中需求量dk、退貨量ek，采用Box不確定集描述。假設每個客戶需求點的需求量與退貨量取值于有界的對稱區間集合，定義dk∈［dk－dk^，dk+dk^］；ek∈［ek－ek^，ek+ek^］。其中，dk為需求量dk的名義值，dk^為需求量dk的變化范圍，ek為退貨量ek的名義值，ek^為退貨量ek的變化范圍。帶有不確定參數的式（9）（10）可以進一步描述為

其中：m為發生中斷的制造中心。

3 Prim-DMGA設計

3.1 Prim-DMGA設計框架

遺傳算法是通過數學仿真模擬生物遺傳學中自然進化的過程來尋找問題最優解的方法，是最為經典的一類智能優化算法。傳統GA普遍采用隨機結構進行初始化種群選擇，這導致了選擇種群極有可能不符合約束條件，從而降低種群質量與收斂速度。同時在進化過程中，在復雜的約束條件下，傳統的交叉或變異方法可能會破壞掉優秀個體的基因結構，或是導致種群多樣性丟失，使得算法陷入局部最優，過早收斂。

Prim算法運用了貪婪算法的思想，通過逐步擴大最小生成樹中包含的節點數，尋找圖中的頂點集合U和其補集頂點U-V之間權值最小的邊，構建出邊權值最小的一棵生成樹。Prim算法只與圖的頂點有關，與邊數無關。

在供應鏈網絡中，將制造中心、配送中心、客戶點看成有向圖G（V，E），V表示節點值，V=I∪J∪K，I、J、K分別表示制造中心、配送中心、客戶點集合，E表示路徑集，E={（i，j）|i，j∈V，i≠j}。制造中心、配送中心及客戶點在有向圖G上一一對應，則其中必然有一最小生成樹能使供應鏈網絡成本最低。基于這種思想，本文設計了Prim-DMGA，該算法在傳統GA上引入Prim算法，改良了傳統GA種群質量較低、種群收斂速度較慢的問題。

集設施選址、關系分配及路徑規劃決策的閉環供應鏈網絡優化問題屬于混合整數規劃問題，在求解時難度較大。基于這種情況，本文設計的Prim-DMGA算法結構分為內外兩層：外層采用Prim算法與自適應GA相結合的方式（Prim-MGA）得到選址及設施關系分配結果，內層自適應遺傳算法（MGA）根據外層Prim-MGA得到的選址及設施規劃方案進行路徑單獨編碼優化。目標函數在內外層算法的不斷反饋中得到最優解，達到降低搜索空間的同時不破壞模型整體性的目的。

算法的具體設計步驟如下：

a）隨機產生設施選址與關系分配方案的初始化種群C0，種群大小為N1，計算種群內個體的適應度。

b）改善初始種群，基于Prim算法得到更新后的種群Ci，i=1，2，3，…，N1，令迭代次數t=0。

c）內層MGA優化配送路徑。將Ci所對應的選址及關系分配方案獨立編碼作為輸入參數傳遞給內層MGA，令Ci=Cn產生內層初始種群Cn（n=1，2，3，…，N2），種群大小為N2，令內層MGA的迭代次數g=0。

d）計算Cn適應度值f2，選擇、自適應交叉遺傳產生子種群Cn+1，判斷是否符合停止條件g≥Gmax2，若是，停止運算，轉向步驟f）；否則，令g=g+1，繼續步驟d）。

e）判斷Ci中所有配送中心是否都完成內層路徑優化，若是，繼續步驟f），否則，返回步驟c）。

f）計算Cn+1中個體適應度值f1，自適應遺傳操作產生新子代，判斷是否符合停止條件t≥Gmax1。如滿足則停止運算，轉向步驟g）；否則，令t=t+1，繼續步驟f）。

g）輸出最優規劃方案。

Prim-DMGA的具體流程如圖2所示。

3.2 外層Prim-MGA設計

1）編碼及種群初始化

外層算法得到選址及設施關系分配結果，根據模型特點，采用0-1編碼和實數編碼兩種方式對染色體進行編碼，生成規模為N1的初始種群C0。每條染色體由4個基因段構成，基因段1、2為0-1編碼，基因位代表設施編號，基因值為二進制串（0或1），表示制造中心、配送中心是否被選擇。基因段3、4采用實數編碼，基因位代表設施編號，第j個基因位表示制造中心i給配送中心j供應產品的量及配送中心j分配給需求點k產品的數量，具體編碼方式如圖3所示。

2）Prim算法改善初始種群設計

a）C0中每一個個體對應的配送中心、客戶點形成的連通圖為NG=（V1，e1），V1=J∪K，e1={（j，k）|j，k∈V1，j≠k}，從J中隨機選擇一個點j作為頂點，放入生成樹節點集U1中，選擇邊權值最小的節點k加入到最小生成樹節點集U1，從V1中刪去j、k。循環該過程，直至所有的客戶點k被分配給配送中心j。

b）判斷配送中心運輸至客戶點的產品數量以及回收的產品數量是否滿足需求，即式（9）與（10），若是，得到由配送中心、需求點組成的N個最小生成樹，最小生成樹集UN={U1，…，UN}，否則，重復步驟a）。

c）記由制造中心、配送中心、客戶點形成的連通圖NT=（V2，e2），V2=I∪UN，e2={（i，j）|i，j∈V2，i≠j}，從UN隨機選擇一個生成樹放入節點集合S1，選擇與這個頂點邊權值最小的節點i加入S1，從V2中刪去i、UN，直至所有的制造中心i分配給UN。

d）判斷制造中心運輸至配送中心產品數量是否滿足約束，即式（8）。若是，得到由制造中心、配送中心、需求點組成的N個最小生成樹SN={S1，…，SN}，否則重復步驟c）。

3）遺傳操作

a）適應度計算。在外層算法中，設適應度函數為總目標函數的倒數，方案總成本越小個體適應度越高，計算公式為

b）選擇算子。采用輪盤賭法，每個個體被選中的概率與適應度成正比，適應度越高，被選中的概率越大，設pi為第i個個體被選中的概率，則

c）自適應交叉、變異操作。假設種群中有N個個體，每個個體有M位基因，用一個N×M的矩陣表示該種群，計算第m列元素的標準差dm，表示第m列基因在該種群中的差異度：

其中：f′是適應度值較大的交叉個體的適應度值;f是適應度值較大的變異個體的適應度值;fave是種群平均適應度值。pc1>pc2，pm1>pm2 ，當個體適應度較小或種群相異度較小時，交叉變異概率較大，增加種群多樣性，避免陷入局部最優或過早收斂。

d）終止條件。按照以上步驟循環操作，當達到最大遺傳代數Gmax2時終止算法，得到選址及服務關系分配方案。

3.3 內層MGA設計

1）編碼

內層算法進行路徑優化，采用自然數編碼。按外層方案中配送中心對應的客戶點總數生成m位基因，對配送中心和客戶點依次進行編碼：1，2，3，4，5，…，m。假設有5個配送中心，編號依次為1～5，10個需求點編號為6，7，8，…，15。一條完整個體編碼形式為3→12→15→3，則表示為從配送中心3出發，依次經過了需求點12和15，最后返回配送中心3。具體編碼方式如圖4所示。令種群大小為N2，迭代次數g=0。

2）適應度計算

內層算法中，設適應度函數f2為配送中心至需求點的運輸成本的倒數，即方案運輸成本越小，個體適應度越高。計算公式為

3）遺傳操作

采用輪盤賭法，每個個體被選為父代的概率與其適應度成正比；采用自適應交叉變異算子。

4）終止條件

按照以上步驟循環操作，當達到最大遺傳代數Gmax2時終止算法，得到最優路徑方案。

4 算例分析

為了驗證不確定環境下的魯棒優化模型和Prim-DMGA的有效性，以某企業自營家電品牌為案例背景，進行算例分析。

4.1 算例描述

某企業自營家電品牌根據品牌發展戰略，欲拓展新的消費市場，企業篩選出三套算例進行分析：a）算例1篩選出3個制造中心，6個配送中心作為候選設施節點，12個客戶點（即客戶群）；b）算例2篩選出6個制造中心，12個配送中心作為候選設施節點，20個客戶點（即客戶群）；c）算例3篩選出20個制造中心，36個配送中心作為候選設施節點，96個客戶點（即客戶群）；各候選設施點位置及客戶點位置已知，不同制造中心的建設成本、生產能力、生產成本、與配送中心的單位運輸成本及中斷概率是不同的。供應鏈網絡參數值設置如表1、2所示。

4.2 算法有效性分析

求解模型運行在16 GB內存、IntelCoreTMI7-8550u CPU 1.80 GHz處理器的Windows上，將表1、2中的參數代入模型，對三套算例進行了四種測試。首先使用 CPLEX 軟件去求解模型，由于CPLEX收斂速度較慢，所以對CPLEX設置了最大運行時間，按照算例規模，分別設置為1 200 s、1 800 s和2 400 s，以便更快求出問題解。其次采用MATLAB R2021b編程計算，在相同軟硬件環境下，將傳統GA、外層Prim-MGA（即不對路徑進行單獨編碼優化）及Prim-DMGA各運行20次進行對比實驗。

首先使用算例1規模進行測試，最終CPLEX的求解結果與算法運算結果如表3所示，迭代圖如圖5所示。

由表3可知，計算算例1方案時，CPLEX軟件求解的最優目標函數值最小，傳統GA求得的最優目標函數值最大， Prim-DMGA求得的最優函數值解的質量優于外層Prim-MGA；且Prim-DMGA運行20次得到的平均目標函數值解的質量較外層Prim-MGA求得的平均目標函數值提升2.88%，較傳統GA提升5.85%。雖然CPLEX軟件求解時間過長，但是求解結果較Prim-DMGA解的質量提升1.69%。在算法運行時間方面，因為CPLEX軟件求解規模越大，收斂速度越慢，所以設置最大運行時間為1 200 s，而由于初始解質量較高，Prim-DMGA與外層Prim-MGA搜索效率均較高，運行時間明顯優于傳統GA。相對地，與外層Prim-MGA相比，Prim-DMGA的運行時間較長，但卻獲得了質量更高的解。

由圖5可知，CPLEX求解器求解在第80代左右獲得最優化解，GA在第63代左右獲得最優解，Prim-MGA在35代左右獲得最優解，Prim-DMGA在42代左右收斂。

其次使用算例2規模進行測試，最終CPLEX的求解結果與算法運算結果如表4所示，迭代圖如圖6所示。

由表4可知，當算例規模變大，即算例2規模經過1 800 s的計算，CPLEX軟件求解的最優目標函數值解的質量優于傳統GA，弱于外層Prim-MGA與Prim-DMGA，其中Prim-DMGA得到的最優值最小，且Prim-DMGA運行20次得到的平均目標函數值解的質量較外層Prim-MGA求得的平均目標函數值提升2.91%，較傳統GA提升5.89%。Prim-DMGA求得的最優目標函數值較CPLEX軟件提升2.84%。同樣地，Prim-DMGA與外層Prim-MGA搜索效率均較高，運行時間明顯優于傳統GA。

由圖6可知，CPLEX求解器求解在第79代左右獲得最優化解，GA在第62代左右獲得最優解，Prim-MGA在35代左右獲得最優解，Prim-DMGA收在40代左右收斂，Prim-DMGA能以較少的迭代次數獲得質量更優的解。

最后使用算例3的規模進行測試，最終CPLEX的求解結果與算法運算結果如表5所示，迭代圖如圖7所示。

由表5可知，計算算例3方案時，由于計算規模過大，CPLEX軟件求解的最優目標函數值最大，其次為傳統GA， Prim-DMGA求得的最優函數值小于外層Prim-MGA，且Prim-DMGA運行20次得到的平均目標函數值解的質量較外層Prim-MGA求得的平均目標函數值提升2.53%，較傳統GA提升6.01%。Prim-DMGA求得的最優目標函數值解的質量較CPLEX軟件提升7.49%。在算法運行時間方面，因為CPLEX軟件求解規模越大，收斂速度越慢，所以設置最大運行時間為2 400 s，Prim-DMGA與外層Prim-MGA搜索效率均較高，運行時間明顯優于傳統GA。

由圖7可知，CPLEX求解器求解在第80代左右獲得最優化解，GA在第65代左右獲得最優解，Prim-MGA在35代左右獲得最優解，Prim-DMGA在41代左右收斂，Prim-DMGA能以較少的迭代次數獲得質量更優的解。

由此可知，CPLEX軟件在求解小規模算例更有優勢，但是運行時間過長、收斂速度過慢。隨著算例規模的增加，Prim-DMGA表現出更好的優勢，且運行時間少于CPLEX求解器與傳統GA。

4.3 結果分析

結果分析選取算例2的方案，基于Prim-DMGA，計算出算例2規模的供應鏈最佳網絡規劃和流量分配方案，如圖8～11所示。圖形中的數字代表被選入供應鏈網絡的節點編號，線條代表節點之間建立產品供應關系或回收關系，線條上的數字代表節點之間分配的產品流量。

由圖8、9可知，Γdk=0，Γek=0時，即確定型網絡模型時，閉環供應鏈網絡選擇建設制造中心數量為5，編號分別為1，3，4，5，6；配送中心數量為5，分別為1，3，7，10，12。例如由制造中心1向配送中心1供應6 522件產品，由配送中心1為客戶點3，13，11，4依次提供服務。

由圖10、11可知，Γdk=20，Γek=20時，選擇建設的制造中心編號分別為1，2，3，4，5，6；選擇建設配送中心編號分別為1，4，7，11，12，選擇建設制造中心的數量比確定性網絡增加了一個；選擇建設配送中心數量與確定性網絡相同，但布局方案不同，關系分配及路徑規劃方面也發生了變化，例如由制造中心2，3向配送中心7總共供應7 986件產品，由配送中心7為客戶點10，8，14，9依次提供服務。

情景1為制造中心正常供應情況。情景2為一個制造中心發生設施中斷的情景，設施節點間關系分配結構不變，節點間物流量發生一定變化。情景3中制造中心3、5發生設施中斷，設施節點間關系分配及物流量均發生一定變化，此時選擇制造中心2、4為配送中心7分別補充供應產品數量887、955件，制造中心6為配送中心12補充供應1 957件。情景4中制造中心2、3、5發生中斷，選擇制造中心1為配送中心4補充供應969件產品。選擇制造中心4、6為配送中心7補充供應2266、887件產品。選擇制造中心4、6為配送中心12補充供應805、1152件。

由圖12可知，在相同的不確定程度下，不同的中斷情景，設施選址雖然一致，但關系分配、節點間產品流量決策有明顯的差異。當中斷的制造中心數量增加時，通過其他制造中心補充供應數量增加，決策者可采取不同的運作方案保證網絡有效運行，減少設施中斷對供應鏈網絡造成的影響。

4.4 靈敏度分析

4.4.1 不確定參數靈敏度分析

為探究不確定程度對網絡規劃方案的影響，基于算例2的結果分析，令需求量不確定程度控制參數Γdk=0、4、8、12、16、20，退貨量不確定程度控制參數Γek=0為第一組實驗；Γdk=0，Γek=0、4、8、12、16、20為第二組實驗。基于算例2方案，采用Prim-DMGA求解模型，令γ=Γdk/K，β=Γek/K，分別代表需求量及退貨量的不確定程度，得到不同不確定程度下網絡設施選址方案如表6、7所示，網絡總成本隨不確定程度變化趨勢如圖13和14所示。

由表6可知，當退貨量不確定程度不變，需求量不確定程度γ增加時，對制造中心I、配送中心J的數量和布局均有一定影響。當γ<0.6時，建設制造中心數量為5；當γ≥0.6時，建設制造中心的數量增加到6；當γ∈［0，1］時，配送中心的數量均為5，但布局發生一定變化。例如，γ=0.4與γ=0.2相比，制造中心選址均為1，2，3，5，6，配送中心選址均為1，4，7，10，12。當γ=0.6時，制造中心的數量增加，制造中心選址為1，2，3，4，5，6，配送中心選址沒有變化。

由表7可知，當需求量不確定程度不變，退貨量不確定程度β增加時，對配送中心的布局有一定影響，對設施選址數量影響不大。例如β=1與β=0相比，制造中心數量均為5，編號為1，3，4，5，6，配送中心的數量均為5，但布局方案發生變化，當β=1時配送中心變為2，4，7，11，12。

由圖13可知，網絡總成本隨γ的增加而增加。當γ=0.6時，網絡總成本增幅較為明顯，網絡總成本增幅為10.16%。這是因為，此時網絡通過增加設施選址數量來滿足由于制造中心中斷所造成的供給短缺，設施選址成本增加。當γ持續增加時，網絡總成本增幅放緩，此時網絡通過增加生產、運輸成本維持系統魯棒性能。

由圖14可知，網絡總成本隨β的增加而增加，但網絡總成本增幅較小。當β=1時，網絡總成本增幅0.52%，這是因為當退貨量不確定程度增加時，網絡僅通過增加回收處理成本和運輸成本維持系統魯棒性能。由此可以得出結論，需求量不確定程度對網絡總成本的影響較大。

為探究模型魯棒性、約束違反概率以及經濟成本之間的關系，記P為約束式（9）和（10）的違反概率，GAP為總成本增量比，表達式如（57）和（58）所示。

其中：Frob為由魯棒優化模型確定的供應鏈網絡的成本值;FSC為確定模型（Γdk=0，Γek=0）的網絡總成本。令Γdk、Γek分別等于0、4、8、12、16、20，共產生36種不確定程度控制參數組合，不同不確定程度下約束違反概率、網絡總成本及總成本增量比，如表8所示。

由表8可知，無論是γ或β的增加，都會使約束違反概率降低，也會使網絡總成本增加。即當網絡不確定程度較高時，決策者作出了更加保守的決策，使得網絡的約束違反概率降低，網絡魯棒性增強，但決策結果可能過于保守導致網絡總成本增加過大。

在這樣的情況下，決策者可以根據表8中不同不確定程度組合對其約束違反概率與總成本進行權衡后作出決策，或是根據期望總成本和期望約束違反概率設置不確定程度得到網絡最佳規劃方案。例如當決策者希望約束違反概率小于5%時，即γ≥0.6或β≥0.6時，可將模型中不確定程度控制參數組合中Γdk、Γek設置為12、16、20得到約束違反概率小于5%的最佳閉環供應鏈網絡規劃方案。

綜上，在實際應用中，決策者可以根據不確定環境的實際情況，靈活調整不確定程度控制參數，尋找經濟成本與魯棒性相協調的網絡結構，實現閉環供應鏈網絡經濟性與魯棒性的綜合提升。

4.4.2 設施中斷不確定參數靈敏度分析

為探究不同不確定程度的需求量與設施中斷對網絡造成的影響，基于算例2方案的結果分析，在不確定程度控制參數Γdk=Γek=0，4，8，12，16，20，即γ=β=0，0.2，0.4，0.6，0.8，1時，分析各中斷情景發生對網絡總成本的影響，結果如圖15所示。

由圖15可知，當γ=β≤0.4時，不同的中斷情景對網絡的總成本影響不大。當γ=β>0.4時，從情景2到3，即設施中斷數量從1個增加到2個時，網絡總成本增加。其中，γ=β=0.6時增加了3.74%，γ=β=0.8時增加了3.96%，γ=β=1時增加了4.15%。因此，決策者可將設施中斷的比例控制在40%以內，保證網絡運營成本在可控的范圍之內。

由此可見，需求不確定與設施中斷的疊加影響下，網絡規劃方案有著較大的差異，決策者可以根據對需求不確定與設施中斷的風險偏好設置最優的網絡規劃方案，選擇產能充足的制造中心加入供應鏈網絡以滿足市場需求，對未來可能發生的設施中斷風險時，決策者可采取不同的運作方案保證網絡有效運行。

5 結束語

本文針對需求量、退貨量的不確定性以及設施中斷的影響，構建了以供應鏈網絡總成本最小為目標的魯棒優化模型；并設計了Prim-DMGA，得到不同不確定程度控制參數和不同設施中斷情景下的最優網絡規劃方案。結果表明：

a）Prim-DMGA得到的目標函數值優于單層Prim-MGA與傳統GA，且在求解大規模算例時，求解結果優于CPLEX軟件。證明了該算法在求解閉環供應鏈網絡優化問題時具有一定的優越性。

b）在需求量、退貨量不確定與設施中斷風險的疊加影響下，不確定程度控制參數對網絡設施選址、流量分配及路徑規劃均有一定影響，其中不確定的需求量對設施選址的數量影響明顯。

c）魯棒優化模型可以有效減少不確定因素帶來的不利影響，決策者可以通過實際需求設置合理的不確定程度控制參數，權衡閉環供應鏈網絡的經濟性與魯棒性，得到最佳閉環供應鏈網絡規劃方案。

綜上所述，本文設計的Prim-DMGA能以較少的計算時間獲得質量更優的解，魯棒優化模型可以有效減少不確定因素帶來的不利影響，提高閉環供應鏈網絡的魯棒性能。今后的研究工作擬從以下三方面展開：a）響應國家低碳政策，考慮閉環供應鏈網絡經濟效應和環境效應建立雙目標魯棒優化模型；b）在考慮市場需求量及退貨量的不確定性時，同時考慮運輸成本、回收成本、物流信息的不確定性對供應鏈網絡的影響；c）考慮制造中心中斷情況時，配送中心及運輸過程中面臨的中斷風險，研究多級設施中斷對供應鏈網絡的影響。

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收稿日期：2023-02-16；修回日期：2023-04-20

基金項目：陜西省科技廳項目（2023YBGY408）；陜西省社會科學基金資助項目（2020R043）；西安市科技局項目（21RKYJ0023）;陜西省重點研發計劃項目（2023-YBGY-408）；西安市科技計劃項目（23RKYJ0026）

作者簡介：孫軍艷（1978-），女，陜西大荔人，副教授，碩導，博士，主要研究方向為物流信息、供應鏈管理；陳澤飛（1999-），男（通信作者），山西運城人，碩士研究生，主要研究方向為供應鏈管理（1173243421@qq.com）；陳智瑞（1997-），女，陜西漢中人，碩士，主要研究方向為供應鏈管理；李曉朋（1999-），男，河北邢臺人，碩士研究生，主要研究方向為車間調度.