“說數(shù)學(xué)”在教學(xué)中的應(yīng)用研究

? 山東省青島第二中學(xué) 牟慶生

說數(shù)學(xué)是指學(xué)習(xí)者用口頭表達的方式闡述自己對數(shù)學(xué)問題的認(rèn)識、解題思路、思想方法與情感體會等的過程,一般可概括為:說知識、說過程、說異見、說體會.說數(shù)學(xué)是數(shù)學(xué)交流的基本形式,能讓學(xué)生在表達中獲得良好的交流能力,為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的形成奠定基礎(chǔ).鑒于此,筆者以“函數(shù)的零點”教學(xué)為例,具體談?wù)勅绾螌ⅰ罢f數(shù)學(xué)”應(yīng)用于實際教學(xué)中.

1 選擇說的內(nèi)容

學(xué)生認(rèn)知發(fā)展的過程并不一定與教學(xué)過程相符合,其認(rèn)知常常隨著最近發(fā)展區(qū)的發(fā)展而發(fā)展.因此,在說數(shù)學(xué)的內(nèi)容選擇上,應(yīng)契合學(xué)生的認(rèn)知經(jīng)驗,只有著眼于學(xué)生認(rèn)知的生長點,才能讓說數(shù)學(xué)起到真正的教學(xué)作用.教師應(yīng)精心設(shè)計教學(xué)過程,為學(xué)生搭建“說”的平臺,并積極配合學(xué)生的“說”,讓師生、生生之間通過對話的方式,完成教學(xué)任務(wù),實現(xiàn)教學(xué)相長.

“函數(shù)的零點”教學(xué)是在函數(shù)概念的基礎(chǔ)上進行的,可利用函數(shù)的性質(zhì)、圖象等解決方程問題,將函數(shù)的零點和方程的根融合在一起進行思考、分析.但在數(shù)形結(jié)合的對應(yīng)上,學(xué)生常會出現(xiàn)偏差,有時因過分倚重一方面,導(dǎo)致其他因素被弱化,所捕捉到的信息不全,出現(xiàn)圖形不準(zhǔn)確或數(shù)據(jù)偏差等問題;也有學(xué)生因等價轉(zhuǎn)化不合理,導(dǎo)致思維出現(xiàn)混亂等情況.

事實證明,解題不僅需要嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎季S能力,還要有良好的直覺思維,而用語言表達則是訓(xùn)練學(xué)生直覺思維的良好方法.

綜上分析,筆者認(rèn)為本節(jié)課的教學(xué),訓(xùn)練學(xué)生的“說數(shù)學(xué)”能力可選取以下內(nèi)容:①回顧零點的概念與判定方法;②排查教學(xué)活動過程中產(chǎn)生的問題,根據(jù)問題擬定解決方案;③課前自測,驗證擬定的方案是否有效,提升學(xué)生的思辨能力;④練習(xí)訓(xùn)練,培養(yǎng)解題表達能力;⑤及時反饋,獲得信心.

2 制定說的方法

筆者在研究“說數(shù)學(xué)”的過程中,共經(jīng)歷了以下三個階段:①自由階段,教師鼓勵學(xué)生大膽地說,但迫于教師的壓力,效果甚微;②問題階段,教師根據(jù)教學(xué)活動需要,設(shè)計系列化的問題鏈,讓學(xué)生針對問題,一個個地說思路,這種教學(xué)效果雖然不錯,但存在教師牽著學(xué)生鼻子走的嫌疑,制約了學(xué)生的自主發(fā)揮;③循序漸進階段,結(jié)合教學(xué)內(nèi)容與學(xué)生的認(rèn)知水平,遵循一定的規(guī)律、次序,將說數(shù)學(xué)規(guī)劃成說、議、辨、練、評,五個層次.

筆者以第三階段的“說數(shù)學(xué)”教學(xué)為例,針對“分段(復(fù)合)函數(shù)的零點”的教學(xué),具體談?wù)劇罢f數(shù)學(xué)”的操作過程與方法.

2.1 說開放話題,制造認(rèn)知沖突

此環(huán)節(jié)的目的在于引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)零點的概念與性質(zhì),強化零點可多元表征的特性.教學(xué)中,筆者發(fā)現(xiàn)學(xué)生在概念的表征上存在模糊性、不靈活性、分散性與不一致性等問題.這些問題會阻礙學(xué)生的思維發(fā)展.為了幫助學(xué)生從高層次理解這些概念,教師可展開以下教學(xué)活動.

(1)設(shè)計開放話題.封閉式的問題只會禁錮學(xué)生的思維,無法達到發(fā)散學(xué)生思維的目的.本節(jié)課,教師可提出:“請大家說說對函數(shù)零點的理解.”這是一個典型的開放式問題,學(xué)生在回答過程中,思維角度會比較寬泛,在學(xué)生暢所欲言時,同伴進行補充,教師在適當(dāng)?shù)臅r候進行引導(dǎo).若學(xué)生說對了,緊接著詢問理由;若學(xué)生說錯了,則鼓勵同伴進行修正、完善.如此群策群力,即可幫助學(xué)生建立完整的知識網(wǎng)絡(luò).

(2)制造認(rèn)知沖突.每個學(xué)生對零點的認(rèn)識都有所區(qū)別,教師可根據(jù)學(xué)生認(rèn)知的差異性,通過一定的教學(xué)手段激發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突,以激活學(xué)生思維的深度與廣度.如緊扣“零點不是點”的話題,詢問:零點不是點,那是什么?它的本質(zhì)是什么?有什么作用?等等.學(xué)生在對認(rèn)知沖突的處理中,逐漸實現(xiàn)函數(shù)的零點與方程的根的互相轉(zhuǎn)化(見圖1).

圖1

2.2 議議新問題,擬定解決方案

這是一個容易被忽視的環(huán)節(jié),而此環(huán)節(jié)卻是確定研究對象,激發(fā)學(xué)生產(chǎn)生學(xué)習(xí)內(nèi)驅(qū)力的重要機會.首先要建立多元化的對話機制,確定研究對象.如可用:“你們在解決關(guān)于零點的問題時,曾經(jīng)遇到過哪些障礙?”在學(xué)生的表達中,師生共同設(shè)計解決方案.

通過上述問題的解決,學(xué)生弄清楚了初等函數(shù)的零點問題是怎么變成復(fù)合分段函數(shù)的零點問題.

2.3 辨析新材料,驗證解題方案

數(shù)學(xué)教學(xué)并不純粹是解題教學(xué),而是數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué).“說數(shù)學(xué)”說的是思維,到底該用怎樣的方式來辨析新材料,驗證解題方案呢?

首先,在新材料的選擇上,可考慮以下幾個方面:①可用零點相關(guān)知識來解釋、分析并解決這個材料;②材料需有新意;③材料要有明確的針對性.其次,在話題的選擇上,可從以下流程出發(fā):課前自測、展示錯誤、錯題歸因、思考對策、完善解題.再次,在話題的引領(lǐng)上可提出:你用了哪些方法?為什么選擇這種方法?還有其他方法嗎?這些解題方法錯在哪兒?等等.學(xué)生親歷思考、辨析過程,可獲得思維的升華.

本節(jié)課,筆者選擇了以下材料:

(2)函數(shù)f(x)=|lnx|,如果g(x)=f(x)-ax在區(qū)間(0,4)上存在三個零點,那么實數(shù)a的取值范圍是什么?

以第(2)個材料為例,從多角度進行“說數(shù)學(xué)”,以培養(yǎng)學(xué)生思維的發(fā)散性與廣闊性.

師:針對第(2)個材料,你們會選擇怎樣的解題方法?并說說理由.

生1:構(gòu)造h(x)=ax,分析函數(shù)h(x)與f(x)=|lnx|這兩個函數(shù)的圖象(過程略).

師:還有沒有其他方法?

師生都為生3的解題思路喝彩.觀察以上解題思路,會發(fā)現(xiàn)區(qū)間端點特別容易被忽略掉,但學(xué)生依然能依靠自主分析完善解題過程.

2.4 練典型例題,培養(yǎng)表述能力

因思維水平的差異,學(xué)生的表述能力也有較大差異.為了讓學(xué)生能想得明白、說得清楚,教師可引導(dǎo)學(xué)生通過例題訓(xùn)練、小組交流、同伴互評等方式檢驗學(xué)習(xí)成效.如本節(jié)課,筆者安排了以下例題進行教學(xué):

這是兩道關(guān)于零點問題的典型例題,學(xué)生在這兩題的探究過程中,交流合作,最后獲得統(tǒng)一結(jié)論.筆者要求學(xué)生將自己的解題思路、過程與方法分享給大家,如此不僅鍛煉了學(xué)生的口頭表達能力,還讓學(xué)生在表達的過程中捋清了自己的思路,完善對知識的認(rèn)知.

2.5 評教學(xué)反饋,增強解題信心

及時反饋評價是教學(xué)活動不可或缺的一個環(huán)節(jié),同一節(jié)課,從不同價值觀角度出發(fā),會有不一樣的評價方式.而不同的評價又會帶領(lǐng)學(xué)習(xí)者朝著不同的方向前進.從教學(xué)的時效性出發(fā),回顧與反饋可結(jié)合在一起用“說數(shù)學(xué)”的方式進行.評價方式可多層次、多角度、多元化與多樣化.除師生的評價以外,還可吸納更多外界人士參與到評價中來,以擴大評價元,提高評價效果,增強學(xué)生的解題信心.

總之,師生、生生以及生本的“說數(shù)學(xué)”過程,是多層次的對話過程,也是多維度的思考過程.學(xué)生在交流中反饋,又在反饋中交流,最終獲得思維的發(fā)展與能力的提升,為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的形成奠定堅實的基礎(chǔ).